第三章 微波传输线

1、第三章第三章 微波传输线微波传输线3-1 均匀平行双线传输线 用于3.1.13-2 同轴线 用于3.1.23-3 微带线 用于3.2.13-4 金属波导（矩形截面波导） 用于3.3.13.3.33 31 13-5 金属波导（圆形截面波导） 用于3.4.13.4.43-6 光波导 用于3.5.13 32 2典型传输线的基本结构3 33 33 34 4n 平行双线与同轴线（软结构同轴线通称同轴电缆）是典 型的导行导行TEM波的传输线波的传输线。n 带状线、微带线是导行TEMTEM波和准波和准TEMTEM波波的传输线。n 金属波导是导行TETE波和波和TMTM波波的传输线。引言引言电磁波传输的三种主

2、要模式：电磁波传输的三种主要模式：TEMTEM模：模：TETE模：模：TMTM模：模：0zE0zH0zH0zH0zE0zE3 35 5 平行双线传输线的导线由金属良导体制作，是一种平衡传输线。根据电磁场理论可以求出它的单位长分布电路参量。3-13-1 均匀平行双线传输线均匀平行双线传输线3 36 6 其中 , 为线的导体外空间介质的导磁系数和介电常数，当介质为空气时可取 , 。003. 平行双线传输线的波阻抗为（不计损耗时）00000ln1RRDCLZ0000lnlnRDRRDC0000lnlnRDRRDL1. 分布电感：2. 分布电容： 当线外介质为空气时， ，且考虑到双线中心距D远大 于导

3、线截面半径 ，则3 37 7120000R000lg246ln120RDRDZ一般情况下波阻抗 在400600 。0Z当不计损耗时平行双线的传播常数 ，相移常数 ，因此无损耗的平行双线传输线是无色散的传输线无损耗的平行双线传输线是无色散的传输线。j00CL3 38 8 4. 导行波的相速度 ，因此001CLvp1100CLvp 当线外介质为空气时， ，与自由空间中的平面电磁波相速度 相同，即为光速。 平行双线所导行的电磁波场量集中于双线附近空间，场量幅值为不均匀分布，因此平行双线传输线导引的是不均匀平面电磁波。m/s10318000vvp0v3-23-2 同轴线同轴线3 39 9 同轴线是一种

4、应用非常广泛的可以导引TEM波的双线传输线，它的最大优点是外导线圆筒可以完善地屏蔽周围电磁场对同轴线本身的干扰和同轴线本身传送信号向周围空间的泄漏。它是一种不平衡传输线。 1.由电磁场理论可以得出计算同轴线分布电路参量的公式： 其中 , 是同轴线内外导体间介质的电磁参数，d为同轴线的内导体截面直径，D为其外导体的内直径。 2.当不计损耗时，同轴线的波阻抗为 3 31010dDLln20dDCln20dDdDCLZrrrrlg138ln60000 同轴线内外导体间往往填充高分子材料作为绝缘支撑介质。例如，填充聚苯乙烯介质时，其 , ，可以计算出同轴线的波阻抗 。若介质为空气 ， ，可计算出同轴线

5、波阻抗 。 3.不计损耗时同轴线传输TEM波时的相速度等于 3 311116 . 3lg1386 . 3ln600rrrrZ1r25. 2r2 .510Z1r1r8 .760ZrrpvCLv00011在最小衰减常数条件下，同轴线的波阻抗 3 31212当同轴线内填充空气介质时， ；当填充聚苯乙烯介质时， , ，可计算得 ，与自由空间的电磁波速差异就很大了。 4.若以 表示频率为 f 的电磁波在自由空间的波长，那么在同轴线中 m/s1038pv1r25. 2rm/s1028pv0rrppfv0 无损耗的同轴线无损耗的同轴线当它导引TEM波时，其 , ，因此是无色散传输线是无色散传输线。由图所示的

6、同轴线导引TEM波时的场结构可知，此TEM波也不是均匀的平面电磁波。000CL3 313133-3 3-3 微带线微带线微带传输线，是半敞开式部分填充介质的双导体传输线。 它是根据理论设计，由Z0确定导带宽度W，一般要由使用者根据设计，利用类似印刷电路制作工艺把微带坯板作成电路。000000000001111CvCLCCLZvCLvprprprpv平行双线和同轴线，其导体周围为均一填充介质，介质相对介电常数为 ，则TEM波的相速度 ，波长 及波阻抗 分别为：p0Z3 314143 31515 微带线导行含有较小纵向分量的电磁波，可近似为近似为TEM模模（称准（称准TEM模）模）。其传播特性分析

7、，采用等效方法，即把上为空气( )，下为介质( )的结构等效为 的均匀介质分布。此 要通过逐次逼近方法来求取。1r1rrcrc 微带线导带周围并非填充均一介质，微带线导带周围并非填充均一介质，导带上方是空气，导带下方是介质基片。显然在介质不连续的界面上下电磁在介质不连续的界面上下电磁波的相速度不同。波的相速度不同。3 31616是微带线结构尺寸h和W的函数。 的计算公式为 rcrc) 1(1rrcq式中 称为填充系数。当 时， ，表示导带周围全部填充空气；当 时 ，表示导带周围全部填充与介质基片一样的介质材料。 的取值范围是 ， 的计算公式为 0q1rc1qrrcq10 qqq21101121

8、Whq 图是微带线的 及导带周围全填充空气时的波阻 与 的关系曲线。其中 为导带宽度， 为介质片厚度（多数规格的微带坯片 ）。 00ZhWWhmm8 . 0hq3 31717 微带线特性阻抗Z0和相对等效介电常数与尺寸的关系 （ ） 9r3 318183 31919 微带线导行的电磁波，其场量主要集中于介质基片，波的纵向分量比横向分量要小得多，因此微带线中的电磁波与TEM波相差很小，所以称之为准准TEM波波。这样，如上我们用相对介电常数 的均一介质填充的双线（导带与金属底板）传输线等效替代真实的微带线，不仅仅是一种方法，也有上述准TEM波的物理含义。 微带线的工程计算，通常是由给定的 ， 和要

9、求的 ,求导带宽度 。 hrrc0ZW 例3-1 微带线介质基片厚度 ，介质相对介电常数 ，要求微带线波阻抗 ，计算微带线的导带宽度 。 mm8 . 0h9r 500ZhWqZ与 ,00WW 首先以 代替 计算出近似值 ，在曲线上横坐标 为150 处垂直向上作直线与 特性曲线相交，由此交点向右作与横轴平 rrc150000rZZ00Z00Z解：解：利用 的关系曲线用逐次逼近法来确定 。3 32020行线与 特性曲线相交，得交点处 。 计算等效相对介电常数的初值q615. 01q92. 5) 19(615. 01) 1(111rrcq1rc00Z7 .12192. 5501000rcZZ利用所得

10、 计算 值1rc由此 值重复查曲线步骤，得 。 635. 02q00Z由所得 再次计算等效相对介电常数2q2rc08. 6) 19(635. 01) 1(122rrcq2rc00Z3 .12308. 6502000rcZZ利用所得 再次计算 值由此 值再次查曲线，得 。 00Z63. 03q3 32121, , 3q04. 6) 19(63. 01) 1(133rrcq3rc2rc0066. 004. 604. 608. 6332rcrcrc04. 6rc63. 0q05. 1hWmm84. 08 . 005. 105. 1hW由所得 计算出计算到现在 与前次计算值 差值已很小已经足够精确了，

11、取最后一轮计算结果最后可求出minminmin2241rrrhh (二)微带尺寸设计考虑 当工作频率提高时,微带线中除了传输TEM模以外,还会出现高次模。据分析,当微带线的尺寸w和h给定时,最短工作波长只要满足 就可保证微带线中只传输TEM模。 3 322223 32323 信号进入微带线后相速度、相波长都要发生改变（变小），即 rcprcrcpvv080m/s1031rcr0Z式中的等效相对介质常数 ，要根据具体微带线（即确知其介质的 、导带宽W、介质基片厚度h）和设定的波阻抗 值来求得（见例3-1）。 微带线作为一种导行电磁波的机构其使用频率范围一般在515GHz之间，由于其自身结构特点而

12、不能用于大功率传输系统中，而且也不适合用于长距离作为传输线。微带线更适合于构造成各种微波电路元件，并与其他微波器件、元件组合，作为小型平面化和集成微波电路单元。这对于微波电路和设备的小型化、集成化具有重要的意义。 3-4 3-4 带状线带状线带状线中传输的主模为TEM模。 3 324243 325253-53-5 耦合带状线和耦合微带线耦合带状线和耦合微带线3 32626n 对于耦合传输线的分析,由于边界条件比较复杂,采用场解法比较麻烦,通常采用奇偶模参量法进行分析,即采用如图所示的叠加原理进行分析。 3 32727n耦合带状线和耦合微带线在奇、偶模激励情况下的电场分布如图所示。其中图(a)为

13、奇模激励下的奇模场型,其对称面为电壁;图(b)为偶模激励下的偶模场型,其对称面为磁壁。 3 328283-6 3-6 金属波导（矩形截面波导）金属波导（矩形截面波导） 波导管作为定向导引电磁波传输的机构，是微波传输线的一种典型类型，它已不再是普通电路意义上的传输线。虽然电磁波在波导中的传播特性仍然符合传输线的普遍性概念和规律，但是深入研究导行电磁波在波导中的存在模式及条件、横向分布规律等问题，则必须从场的角度根据电磁场基本方程来分析研究。 导行电磁波的传输形态受导体或介质边界条件的约束，边界条件和边界形状决定了导行电磁波的电磁场分布规律、存在条件及传播特性。常用金属波导有矩形截面和圆截面两种基

14、本类型。 3 329291 1. . 矩形截面波导中场方程的求解矩形截面波导中场方程的求解 讨论问题的前提讨论问题的前提 设波导内壁面为理想导体，沿其管长方向，波导内横截面形状、尺寸及填充介质分布状况及其电磁参量均不变化，波导管为无限长。这样的波导我们称之为规则波导。 3 330303 33131 波导内腔中介质，其导磁系数 、介电常数 皆为常标量，导电系数 （则 ），无自由电荷分布，即 。 我们还设定波导内腔中的电场和磁场为正弦时变规律。 显然求解矩形截面波导的问题，采用直角坐标系更加方便。z为波导轴线方向，xoy面及其平行平面为横截面。 在以上前提条件下，波导内腔中麦克斯韦方程为 00EJ

15、000jjHEHEEH矢量波动方程矢量波动方程 把方程组化为只含一个待求函数E或H的方程。由第二式解出 3 33232EH1j将H代入第一方程，得 EEj1jEE2)(22k令并运用矢量运算公式 EEE2)()(3 33333同时考虑第三方程 ，则得 0E同样的步骤，我们可以得到关于H的方程022EEk022HHk 就是关于正弦时变矢量函数E和H的波动方程，或称赫姆霍赫姆霍兹（兹（Helmholtz）方程方程。 标量波动方程及其分离变量法求解标量波动方程及其分离变量法求解 把矢量波动方程在直角坐标系中展开来写，即0)()()(222222zzzyyyxxxEkEEkEEkEaaa0)()()(

16、222222zzzyyyxxxHkHHkHHkHaaa这两个等式都是三个坐标方向分量之和为零，则须每个坐标方向分量为零，则得 3 33434000000222222222222zzyyxxzzyyxxHkHHkHHkHEkEEkEEkE 称为标量赫姆霍兹方程。这组方程并不需要逐一求解，我们可选择两个场分量求出解后，其余场分量可利用场分量之间的关系写出它们的解式。 从由边界条件定解方便考虑，我们这里选择求解场的两个纵向分量 和 。把关于 和 的方程在直角坐标系展开写 3 33535zEzHzEzH02222222zzzzEkzEyExE02222222zzzzHkzHyHxH这两个偏微分方程可用

17、通常求解数学物理方程的分离变量法求解。 那么对于 或 的解式，根据正弦时变的假定，解式中应含有 因子；它们沿波导轴线方向应是传输波，在不考虑波衰减的情况下，解式中应含有 因子，其中 为相移常数；它们在波导横向分布规律可设为 和 。这样我们可设定 和 的解式 tjezje)(xX)(yYzEzHzEzH将所设解式代回方程，并注意到 3 33636)( je )()(ztzzyYxXHEzzzzHEHEz222令22222 kkc则得0e )()(e)()(e )()()( j2)( j22)( j22ztcztztyYxXkyyYxXyYxxX22222)()(1)()(1ckyyYyYxxXx

18、X这是两个独立变量x与y的函数之和，它们的和为常数 ，则它们应各等于一常数，即 3 337372ck222)()(1xxXxX222)()(1yyYyY222ck则0)(d)(d0)(d)(d222222yYyxYxXxxX3 33838所得到的两个结构完全相同的二阶线性齐次常微分方程，它们的解式为 由场的纵向分量求横向分量由场的纵向分量求横向分量 xxCCxXj2j1ee)(xAxAsincos21yByByYsincos)(21)( j2121e )sincos)(sincos(ztzzyByBxAxAHE 在求解出场的纵向分量 和 后，我们可由第一、第二方程找出各横向分量与纵向分量的关系

19、，从而求得横向分量。由zEzHEHj 得到3 33939zxyyzxxyzEyHxHExHzHEzHyHjjj而由 在直角坐标系展开可得 HEjzxyyzxxyzHyExEHxEzEHzEyEjjjzejzEzH 因为已设定场量沿z方向为传输波，各横向分量和纵向分量一样，解式中变量z的因子为可化简。我们仅取式中有关和的四个式子 ，所以上两式中场量对z的偏导数yzxxyzyzxxyzHxEEHEyEExHHEHyHjjjjjjjj3 34040由以上四个方程联立求解，可得到用 和 表示的场的各横向分量，即 zEzH边界条件定解边界条件定解 3 34141xEyHkHyExHkHxHyEkEyHx

20、EkEzzcyzzcxzzcyzzcxjj1jj1jj1jj12222 已设定波导内壁面为理想导体，因此其表面切向电场 , 在四个壁面都是切向场。0tEzE0 xzE0e )sincos)(01()( j2121 ztyByBAA01A当时，应为零，即3 34242当 时， 也应为零，即 ax zE0e )sincos)(sin()( j212 ztyByBaA0sin2aA0sina , 2 , 1 , 0 , mam由 ，因 ，可确定 by , 00zE01B , 2 , 1 , 0 , nbn令 ，则 220BAE )( j000e )sin()sin(ztnmzybnxamEE 对于

21、则不能直接利用理想导体表面的磁场边界条件，因为在壁面上 不是法向磁场而使其值为零。但注意到3 34343zHzHyzxExHHjj当 , a时，壁面法向磁场 ，切向电场 ，则0 x0 xH0yE0 xHz。)( j2121e )sincos)(cossin(ztzyByBxAxAxH当 时,0 x0e )sincos)(cossin()( j2121 ztyByBxAxA当 时，ax , 2 , 1 , 0 , mam02A3 34444由 xyzEHyHjj当 ，b时，法向磁场 ，切向电场 ， 。 0y0yH0 xE0yHz)( j2121e )cossin)(sincos(ztzyByBx

22、AxAyH将 ，b分别代入上式并使为零，可确定 0y02B, 2 , 1 , 0 , nbn令 ，则110BAH)( j000e )cos()cos(ztnmzybnxamHH这样我们便求得了矩形截面波导内电磁波各分量的数学表达式。 而3 34545)(1)(1)(1)(1)cos()cos()sin()sin(2222)(000)(000 xEjyHjkHyEjxHjkHxHjyEjkEyHjxEjkEeybnxamHHeybnxamEEzzcyzzcxzzcyzzcxztjnmzztjnmz3 34646 2 2. . 对所得解式的讨论对所得解式的讨论 波导中不能存在TEM模（即不可 ，

23、）00zzHE 或 之一为零的情况，即正规模是可以存在的，其中 称TM模， 称TE模。 TMTM模，其标数模，其标数mm，n n均不可取零均不可取零。 TETE模，其标数模，其标数mm，n n不能同时取零不能同时取零。zEzH0zH0zE 模式标数模式标数m，n分别表示场量幅值沿宽边和窄边即分别表示场量幅值沿宽边和窄边即x，y方方向的驻波（从波节到波节，或从波腹到波腹）数。向的驻波（从波节到波节，或从波腹到波腹）数。 3 34747nmzjcynmzjcxnmzjcynmzjcxnmzjzeybnxamEamjkHeybnxamEbnjkHeybnxamEbnjkEeybnxamEamjkEe

24、ybnxamEE,02,02,02,02,0)sin()cos(1)cos()sin(1)cos()sin(1)sin()cos(1)sin()sin( TM模，其标数模，其标数m，n均不可取零均不可取零。TE模，其标数模，其标数m，n不能同时取零不能同时取零。nmzjcynmzjcxnmzjcynmzjcxnmzjzeybnxamHamjkEeybnxamHbnjkEeybnxamHbnjkHeybnxamHamjkHeybnxamHH,02,02,02,02,0)cos()sin(1)sin()cos(1)sin()cos(1)cos()sin(1)cos()cos(3 34848各模式存

25、在条件可由相移常数为实数还是虚数推出)()(222bnam22)()(21bnamfccc模式存在条件是信号波长短于该模式的截止波长模式存在条件是信号波长短于该模式的截止波长，即3 34949 对于给定尺寸（宽a，窄b）的矩形截面波导，可求出各模式的c，作出模式图，对于欲传输信号即可判定传输情况模式TE10TE20TE01TE30TE11 TM11TE02TE12 TM12.c2aa2b2a/3b222baab2)2(12baa3 35050n相同的指数相同的指数m m和和n n的的TETE模和模和TMTM模具有相同的截止波长模具有相同的截止波长, ,这这些模式称为简并模些模式称为简并模;矩形

26、波导中TE10模的截止波长最长,故称它为最低模式,其余模式均称为高次模。由于TE10模的截止波长最长且等于2a,用它来传输可以保证单模传输。当波导尺寸给定且有a2b时,则要求电磁波的工作波长满足22aab(3619) 当工作波长给定时,则波导尺寸必须满足22ab(3620) 3 35151矩形截面波导导行波的相移常数，不与角频率成正比关系，且与模式的c有关，因此波导是色散传输线。22)(1)(1cc其导行波的相速度p要大于自由空间中电磁波的相速（o），波长也要变长3 3525222)(1)(11ccp22)(1)(1/ccppff 这可以用部分波的概念加以解释：波导中的正规模，可看作是TEM模

27、斜入到波导壁面反射波与入射波叠加的结果。3 35353 TEM模表示如下图3 35454 斜入射的TEM模与其反射的TEM模叠加（H与纸面平行）成TE类模的情况如下图ErTEMrHrEiHiTEMiTE103 355553 35656 波导中传输模的相速p与TEM模相速0及波的能量传输速度g之间的关系如图示3 357572)(1cgdd3 358583 359593. 矩形截面波导中的主模矩形截面波导中的主模TE10模模 金属波导传输线的一个重要特点，就是它有可能以多种模式传送同一信号。而使用波导传输线的一个重要原则就是要用单模传输。对于矩形截面波导采用矩形截面波导采用TE10模单模传输模单模

28、传输最为有利。这是因为它是主模主模c c最长最长，最易与高次模分离；TE10模只有三个场分量，场结构最简单；TE10模单模传输带宽最宽。TE10模的场量表达式为zjyzjxzjzexaHajEexaHajHexaHH)sin()sin()cos(000 TE10模的场结构如下图3 360603 361613 362623 363633 364643 365653 366663 367673 36868 对于对于TMTM模模, ,由于由于H Hx x=0,Ex0,=0,Ex0,则磁力线一定在横截面内自成则磁力线一定在横截面内自成闭合曲线。其闭合曲线。其最低模式为最低模式为TMTM1111模模,

29、,它的场分布沿波导的宽壁它的场分布沿波导的宽壁a a和窄壁和窄壁b b都有一个半驻波分布都有一个半驻波分布, ,即磁场在横截面内只有一即磁场在横截面内只有一组闭合曲线。组闭合曲线。图(a)表示TM11模在横截面内的场结构图。同理TMmn的场分布沿波导宽壁a和窄壁b分别有m个和n个TM11模场结构的基本单元。图(b)表示TM21模在波导模截面内的场结构图。只要掌握TM11模的场结构图,所有TMmn模的场结构图就全部了解了。 4. 矩形截面波导中的矩形截面波导中的TM模模3 36969 从前面给出的场结构图可以看出,波导内的场结构图必须遵守下列规则：波导壁上只有电场的法向分量和波导壁上只有电场的法

30、向分量和磁场的切向分量磁场的切向分量; ;电力线和磁力线一定相互垂直电力线和磁力线一定相互垂直; ;磁力磁力线一定是闭合曲线线一定是闭合曲线; ;电力线和磁力线的方向和波的传播电力线和磁力线的方向和波的传播方向一定满足右手螺旋法则。方向一定满足右手螺旋法则。 3 37070 矩形波导中矩形波导中TETE1010模的截止波长最长模的截止波长最长, ,故称它为最低故称它为最低模式模式,其余模式均称为高次模。由于TE10模的截止波长最长且等于2a,用它来传输可以保证单模传输单模传输。当波导尺寸给定且有a2b时,则要求电磁波的工作波长电磁波的工作波长满足22aab当工作波长给定时,则波导尺寸必须满足2

31、2ab5. 5. 矩形波导单模传输条件矩形波导单模传输条件3 37171 在波导传输线中，把传输模式的横向电场与横向传输模式的横向电场与横向磁场之比磁场之比定义为导行波的波阻抗。 TE模和TM模的波阻抗计算公式为xyyxTExyyxTMHEHEZHEHEZ6. 6. 波阻抗波阻抗3 3727222221()1()1()1()HcccEcZkkZ对于 模的波阻抗，10TE3 37373n对于TE10模,将c=2a代入，便得TE10模的波阻抗为1021()2TEZa 对于处理这类问题,必须引入波导的等效阻抗等效阻抗的概念。TE10模等效阻抗的计算公式为1021()2eTEbbZZaaa3 3747

32、4 (一)传输功率 在行波状态下,传输的平均功率可由波导横截面上的坡印亭矢量的积分求得,即22001Re()21221()2TTSTTSSabxyyxPEHdSZEdSEdSZE HE Hdxdy 7. 7. 矩形波导中传输功率和功率容量矩形波导中传输功率和功率容量3 37575 当传输TE10模时,Ex=0101002200020sin()sin()1sin()214ycabTETExxEHEkaaaxPEdxdyZaabEZ 若波导中填充空气介质,则 10201201()2TEZa3 37676 将上式代入则有 (二)功率容量 将式中E0用波导内媒质的击穿电场强度Ebr来代替(对于空气媒质

33、Ebr=30kV/m),便得到行波状态下波导传输TE10模的功率容量Pbr,即3 37777202021480aabEP20221480aabEPbr3 37878 上面功率容量的计算公式是在行波状态下导出的,实际传输线上总有反射波。在行驻波状态下,矩形波导传输TE10模的功率容量为221()4802brbrbrabEPa 3 37979波导壁电流分布与传输模式场结构相关，由tlHnJ TE10模的壁电流分布（一瞬间）如图3 380808. 8. 波导管壁电流波导管壁电流 由图明显可以看出,在宽壁上管壁电流有中断现象,似乎电流不连续。实际上除了波导壁上有壁电流以外,在波导内还存在位移电流。位移

34、电流与电场的关系为dJjE 即位移电流分布与电场分布相似,仅是时间相位上位移电流超前电场/2,因此只要把电场图形向z方向移动p/4,便得到位移电流分布图。可见在宽壁上的壁电流和空间的位移电流相连接构成全电流。 3 38181 了解波导中不同模式的管壁电流分布后，对于处理各种技术问题和设计波导元件具有指导意义。 （1）若需要在波导壁上开槽而不希望影响原来波导若需要在波导壁上开槽而不希望影响原来波导内传输特性或不希望能量向外辐射，则开槽位置必须内传输特性或不希望能量向外辐射，则开槽位置必须选在不切割管壁电流线的地方。选在不切割管壁电流线的地方。例如，对于TE01模在波导宽壁中心线上开纵向窄缝，在窄

35、壁上开横向窄缝，如a图所示。 （2）如果希望波导内传输的模式的能量向空间产生辐如果希望波导内传输的模式的能量向空间产生辐射（如波导的开槽天线），则开槽的位置必须选在切射（如波导的开槽天线），则开槽的位置必须选在切割管壁电流线的地方。割管壁电流线的地方。例如对于TE10模开槽位置如图b所示。3 382823 383839. 9. 脊波导脊波导为了增加矩形截面波导以 模单模工作的带宽，应用脊波导。相当于普通波导的宽壁弯折而增加了宽边的长度，使 模的截止波长变长。但是由于脊波导宽壁有向内突出的脊，该位置处的b减小将使其抗电场击穿能力下降，即功率容量变小。10TE10TE3 38484 3-5 3-5

36、 金属波导（圆截面波导）金属波导（圆截面波导）3 38585 1/圆截面波导中场方程的求解 分析圆截面波导导行电磁波的方法步骤，与分析矩形截面波导时相似，不过对于圆截面波导采用圆柱坐标系会更加方便。如图所示，圆截面波导轴线与坐标系z轴重合，其横向有变量r（最大值为横截面圆半径R）和。 在与分析矩形截面波导相同的前提条件下同样可以得到矢量波动方程 002222HHEEkk22k 我们可把矢量波动方程化为关于E和H的各三个标量方程，只有纵向分量 和 的方程仍具有矢量方程的形式，且只含一个待求函数。 3 38686002222zzzzHkHEkE以关于 的标量方程为例，在圆柱坐标系中展开来写应为 z

37、E01122222222zzzzzEkzEErrErrE用分离变量法求解，设方程解式为 )( je )()(ztzzrRHEzEzH3 38787将所设解式代入方程，并令 22222 kkc经过整理后可得 222222)()(1)()()()(rkrrRrRrrrRrRrc变量分离，得到如下两个常微分方程 0)()(d)(dd)(d222222rRmrkrrRrrrRrc0)(d)(d222m3 38888mBmBsincos)(21)cos(0mB而含参型贝塞尔（Bessel）方程，其解为 )()()(21rkNArkJArRcmcm 式中 是第一类m阶贝塞尔函数， 是第二类m阶贝塞尔函数（

38、亦称Neumann函数），它们的数学表达式很复杂，通常只给出函数曲线或函数表。这样就可写出 和 的通解 )(rkJcm)(rkNcm)( j2121e )sincos)()(ztcmcmzzmBmBrkNArkJAHE解式中的常数 要由波源及边界条件来确定。 2121, , , BBAAzEzH3 38989考察 3 39090mBmBsincos21)cos(0mB。当 2时函数值应不变，即 )cos(0m)2(cos0m那么参数m应为整数。 再则，当 0r，即波导轴线上，解式中 0| )(rcmrkN这不符合圆波导内导行波的场量为有限值的事实，因此 02A这样 zcmztcmzzmmrkJ

39、HEmBmBrkJAHEj00)( j211esincos)(e )sincos)( 由麦克斯韦方程中两个旋度方程在圆柱坐标系中的展开式，可得到圆截面波导内场的横向分量用纵向分量表示的关系式 。 3 39191)(j1)(j1)1(j1)(j12222rHrEkHrHrEkHrHErkErHrEkEzzczzcrzzczzcr2/圆截面波导中的正规模及其存在条件和传输特性3 39292 圆波导不能导行TEM波，因为 和 不可同时为零，否则将导致全部场量为零。这一点和矩形截面波导是一致的。 圆波导中也同样可以存在多种模式，因为参数m可以任取整数。在圆截面波导中 和 之一为零是可以的，这就是TM类

40、模和TE类模，统称为正规模。 zEzHzEzHTM类模（E波） 0zH当 ，即波导内壁面上，作为切向电场的 ，即 Rr0zEzE0esincos)(j0zcmmmRkJE 0)(RkJcm3 393930 , 0)( , zcmmncERkJPRk RPkmnczmnmzmmrRPJEEj0esincos)(其根，就是 曲线与横轴交点的横轴坐标值，它应有无穷多个，令为 ，即m阶第一类贝塞尔函数的第n个根。即当 )(RkJcmmnP3 39494nmzjmnmmnnmzjmnmmnrnmzjmnmmnnmzjmnmmnrnmzjmnmzerRPJEPRjHerRPJErPmRjHerRPJErP

41、mRjEerRPJEPRjEerRPJEEmmmmmmmmmm,0,022,022,0,0cossinsincossincoscossincossin圆波导中TM类模的场量表达式 由3 395952222)(RPkmnc 22)(RPmn若 为实数，即为传输波，其截止角频率为 )(1RPmnc用截止波长表示，TM类模式的截止波长 为 cmncPR2 这样对于每一组m和n的取值，就是一个确定的模式，记为TMmn。标数m和n，其中贝塞尔函数的阶数m表示在横面上圆周方向上场量幅值分布的驻波数，其中根序数n则表示半径方向上场量幅值分布的过零次数。这就是说圆波导中不同模式波的幅值横向分布式是不一样的。

42、3 39696那么，圆波导中导行TMmn波的条件是 cTE类模（H波） 0zE)(j12rHrEkHzzcr 当 时，管壁面上切向电场 ，法向磁场 ，则 ，即 Rr 0zE0rH0rHzrHz0esincos)(j0zcmmmRkJH 0)(RkJcm令 为方程的根，n为根序数，则 mnP0 , 0)( , rHRkJPRkzcmmnc由 RPkmnc3 39797 zmnmzmmrRPJHHj0esincos)(可得出圆波导中TE类模式的场量表达式 nmzjmnmmnnmzjmnmmnrnmzjmnmmnnmzjmnmmnrnmzjmnmzerRPJHPRjEerRPJHPrmRjEerRP

43、JHPrmRjHerRPJHPRjHerRPJHHmmmmmmmmmm,0,022,022,0,0cossinsincossincoscossincossin3 39898由2222)(RPkmnc可求得TE类模的截止波长为 mncPR2圆截面波导导行TEmn波的条件是 c 从以上分析可知，圆截面波导中正规模的截止波长 与波导口径尺寸R 有关。正规模场量幅值的横向分布，在圆周 方向服从正弦、余弦规律，在半径r方向服从第一类贝塞尔函数规律。 c 可以作出圆截面波导的模式图，为此须先求 和 ，之后求 ，如下表所示。 mnPmnPc3 39999模式Pmn,（TMmn） Pmn,（TEmn） TE1

44、1 1.8413.41RTM01 2.4052.62RTE21 3.0542.06RTE01, TM11 3.8323.8321.64RTM21 5.1351.22RTM02 5.5201.14RTE02, TM12 7.0167.0160.9R c 由模式图可知，圆截面波导中截止波长 最长的模式，即主模是TE11模，其截止波长 。以TE11模单模传输的波长范围是 3 3100100cRR41. 362. 2Rc41. 3 圆截面波导中的简并情况比较复杂。一类是极化简并，即同一组m，n取值的模式，沿圆周 方向存在 两种分布，二者传播特性相同而极化面相互垂直。显然除了TM0n和TE0n模之外，其

45、余所有模式都存在极化简并。另一类是模式简并，即两种不同模式的截止波长 相同。贝塞尔函数有这样的性质，即 ，就是说 与 有相同的根，所以TM1n和TE0n具有相同的截止波长 ，它们是简并模，如TE01与TM11模，TE02与TM12模，等等。 mmcossin和c)()(10 xJxJ)(0 xJ)(1xJc圆截面波导中相移常数为 22)(RPPmnmn或 因此圆截面波导也是色散的传输线。由其相移常数 ，我们可以导出圆截面波导导行波的相速度 及相波长 pvp3 31011012)(11cpv2)(1cppfv若波导内填充空气介质，则 20)(1cpvv200)(1cp3 3102102 即圆截面

46、波导中计算相速度 及相波长 的公式，与矩形截面波导时的公式形式完全一样。 与 都与模式的截止波长 有关，也与填充介质特性有关。在填充空气介质时， ，相波长 也要比无限大空气介质中平面电磁波的相波长要长。 pvppvpc0vvpp3/圆截面波导中三个重要模式TE11模模 TE11模是圆截面波导中截止波长最长的模式，其 ，容易实现单模传输，是圆截面波导中的主模。但是如果波导由于加工不完善造成微小的不均匀性时，TE11模往往会出现极化面偏转。TE11模存在极化简并问题。由于这些原因，一般情况下工作于TE11模的圆截面波导仅用做短距离传输。 Rc41. 33 3103103TE11模的场量表达式 zj

47、zjrzjzjrzjzerRJHRjEerRJHrRjEerRJHrRjHerRJHRjHerRJHHcossinsincossincoscossincossin841. 1841. 1841. 1841. 1841. 1841. 1841. 1841. 1841. 1101022102210103 3104104 如图所示为TE11模的三维场结构图，图中实线为电力线，虚线为磁力线。 3 3105105TM01模模 圆截面波导中的TM01模的截止波长 ，TM01模式的场量表达式 Rc62. 2zjzjrzjzerRJERjHerRJERjEerRJEE405. 2405. 2405. 2405

48、. 2405. 2101000 其场结构如图所示。TM01模的特点是其场结构以波导轴线为轴旋转对称，因此当两段工作于TM01模的圆截面波导相对转动时，并不影响其中电磁波的传输，不会发生传输模式的变化。所以当需要天线作机械转动搜索或跟踪目标时，天线馈线可采用工作于TM01模的圆截面波导。 3 31061063 3107107TE01模模 圆截面波导中另一重要模式是TE01模，它的截止波长为 ，TE01模式的场量表达式 Rc64. 1zjzjrzjzerRJHRjEerRJHRjHerRJHH832. 3832. 3832. 3832. 3832. 3101000 其场结构也是以波导轴线为基准旋转

49、对称的，如图所示。从场量表达式及场结构图可以看出TE01模的电场和磁场刚好与TM01模时的位置互换，不过TE01模的磁力线是纵向的闭合环线。 3 3108108 TE01模的场结构，使得该种模式同样可用于转动天线的可旋转馈线。而且由于TE01模的管壁电流是横向环流，其导体损耗随工作频率增高而单调下降，在毫米波段这是一个非常重要的优点。但是TE01模也不是圆截面波导中截止波长最长的模式，而且TE01模与TM11模简并，当采用TE01模工作时要设法抑制其他模式，所以TE01模的实际应用还存在很多困难。 3 3109109传输特点可多模式可多模式cTM: 2R/Pmn TE: 2R/Pmn*主模TE

50、10TE11p横向场分量正、余弦律 :第一类贝塞尔函数律 :正、余弦律应用11000GHz馈线特殊用途馈线（有极化不确定性缺点）abR22)()(2bnam2)(1c2)(1c* Pmn： m阶第一类贝塞尔函数第n根 Pmn：m阶第一类贝塞尔函数导函数的第n根r现将矩形及圆截面金属波导基本性能特点加以比较，列如下表 3 31101104/同轴线工作于TEM模的条件 从结构上说同轴线相当于圆截面波导中加入一纵向内导体，因此也可以把它称做同轴圆柱波导。 从电磁场的概念上说，同轴线的边界条件既满足传输TEM模，也能满足传输TE和TM模我们称它们为同轴线中的高次模。分析同轴线中TE和TM模的步骤方法与

51、分析圆截面波导类似。但因同轴线中内导体的存在致使边界情况发生了变化，电磁场存在于内外导体之间的空间区域，所以同轴线中TE和TM模的幅值横向分布要比圆截面波导复杂。 同轴线中高次模截止波长最长的模式是TE11，它的截止波长为 ，其中D为外导体内直径，d为内导体直径。那么同轴线避免高次模出现，即工作于TEM模的条件是)(2dDc)(2dD 3 3111111 例3-3 计算型号为YX50-155-1的硬结构同轴线，和型号SYV-75-7-1的同轴电缆，工作在TEM模的上限频率。 解：查YX50-155-1型号的硬结构同轴线，外导体内径D = 151.92 mm，内导体外径d = 66 m，则高次模

52、TE11的截止波长 为 那么为抑制高次模的条件是信号波长 ，或信号频率应低于876.4MHz。 查SYV-75-7-1的同轴电缆，外导体内径D=7.25mm，内导体外径d=1.2mm，则高次模TE11的截止波长 为则信号波长应满足 ，或信号频率应低于22.6GHz。 cmm3 .342)6692.151(21)(2dDcmm3 .342cmm27.13)2 . 125. 7(21)(2dDcmm27.133 31121123-6光波导（光纤） 光波导是一个统称，其中光导纤维光导纤维（光纤光纤）是目前在信息技术中应用最广泛的导波机构。光波导属于介质波导，我们已经知道，两种媒质的界面具有导引电磁波

53、的可能。但是光纤与一般微波段使用的介质波导相比，其工作频率要高得多（光波长为微米级），横截面的尺寸也小得多，所以称其为光导纤维，简称为光纤。 1/光纤的基本结构及导光原理 图示为光纤的结构。作为传输线用的光纤绝大多数是用石英（SiO2）材料高温熔化后拉制而成的，它由芯线芯线、包层包层和保护层做成圆柱体结构，芯线的介电常数大于包层的介电常数，最早制作的光纤芯线内和包层中的折射率都是均匀分布的，由于芯线和包层界面发生折射率n的突变，故称阶跃折射率光纤阶跃折射率光纤。 3 3113113 材料的折射率n表示光在真空中传播的速度 与在该材料中传播速度v的比值，即 0vrrvvn11000石英玻璃的导磁系数 ，这样光在石英玻璃中的折射率为 03 3114114 是石英玻璃的相对介电常数。若以 和 分别表示光纤芯线与包层的折射率，那么光纤要求 ，也就是要求 。 rnr1n2n21nn 21rr 光的传输媒质远大于光波长时，我们可把光看成是传播方向的射线。根据斯涅尔定律，光从芯线斜入射到芯线与包层界面时应满足 tiirnnsinsin21式中 , 和 分别为入射角、反射角和折射角。因为光纤中要求 ，所以当 时对应 。只要 ，芯线与包层界面上将发生全反射，那么光将限制在界面及芯线中传播，这就是光纤导行光的原理。