学案3圆的方程

1、圆的方程圆的方程1.掌握确定圆的几何要素掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程和一般方程掌握圆的标准方程和一般方程. 从近两年的高考试题来看从近两年的高考试题来看,求圆的方程或已知圆的求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径等是高考的热点，题型既有选方程求圆心坐标、半径等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题；客观题突出了择题、填空题，又有解答题；客观题突出了“小而小而巧巧”，主要考查圆的标准方程、一般方程，主观题往，主要考查圆的标准方程、一般方程，主观题往往在知识交汇处命题，除考查圆的标准方程、一般方往在知识交汇处命题，除考查圆的标准方程、一般方程外，还考查待定系数法、方程思想

2、等程外，还考查待定系数法、方程思想等. 预测预测2012年高考仍将以求圆的方程为主要考查点年高考仍将以求圆的方程为主要考查点,重点考查运算能力以及逻辑推理能力重点考查运算能力以及逻辑推理能力. 1.圆的标准方程 设圆心为设圆心为C(a,b)，半径为，半径为r，则圆的标准方程，则圆的标准方程为为 ， 当圆心在坐标原点时，圆的标准方程当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为为 .(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 2.圆的一般方程 （1）当）当 时，方程时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，它表示圆心叫做圆的一般方程，它表示圆心为为 ，半径为，半径为 的圆的圆. （2）

3、当）当D2+E2-4F=0时，方程时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示表示一个点一个点 ; （3）当）当D2+E2-4F0时，方程时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 .D2+E2-4F0 2 24 4F F- -E ED D2 22 2+( )2 2E E,-,-2 2D D- -不表示任何图形不表示任何图形 ( )2 2E E,-,-2 2D D- -3.3.点点P P（x x0 0,y,y0 0）与圆）与圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的位置关系的位置关系(1)当当(x0-a)2+(y0-b)2 r2时，点时，点P在圆外在圆外;(2)当当(

4、x0-a)2+(y0-b)2 r2时时,点点P在圆上在圆上;(3)当当(x0-a)2+(y0-b)2 r2时，点时，点P在圆内在圆内. = 已知圆已知圆C的圆心是直线的圆心是直线x-y+1=0与与x轴的交点轴的交点,且圆且圆C与与直线直线x+y+3=0相切相切,则圆则圆C的方程为的方程为 .先由条件确定选用圆的标准方程先由条件确定选用圆的标准方程,后由条后由条件确定圆心坐标与半径件确定圆心坐标与半径. 【解析】【解析】直线直线x-y+1=0与与x轴的交点为轴的交点为(-1,0),即圆即圆C的圆的圆心坐标为心坐标为(-1,0).又圆又圆C与直线与直线x+y+3=0相切相切,圆圆C的半径为的半径为

5、 .圆圆C的方程为的方程为(x+1)2+y2=2.22|30-1|r 求圆的方程时，据条件选择合适的方程形式求圆的方程时，据条件选择合适的方程形式是关键是关键. （1）当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用）当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数. （2）当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上、）当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式.根据下列条件求圆的方程根据下列条件求圆的方程:(1)经过点经过点P(1,1)和坐标原点和坐标原点

6、,并且圆心在直线并且圆心在直线2x+3y+1=0上上;(2)圆心在直线圆心在直线y=-4x上上,且与直线且与直线l:x+y-1=0相切于点相切于点P(3,-2);【解析】【解析】 (1)设圆的标准方程为设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, a2+b2=r2 (a-1)2+(b-1)2=r2 2a+3b=1=0， a=4 b=-3 r2=25.圆的标准方程是圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解得解得由题意列出方程组由题意列出方程组 (2)解法一：设圆的标准方程为解法一：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, b=-4a (3-a)2+(2-b)2=r2 =

7、r,解得解得a=1,b=-4,r=2 .圆的方程为圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.21ba 则有则有 2解法二：过切点且与解法二：过切点且与x+y-1=0垂直的直线为垂直的直线为y+2=x-3,与与y=-4x联立可求得圆心为（联立可求得圆心为（1，-4）.半径半径r=2 ,所求圆的方程为所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.2已知实数已知实数x,y满足方程满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值;(2)求求y-x的最大值和最小值的最大值和最小值;(3)求求x2+y2的最大值和最小值的最大值和最小值.方程方程x2+y2-4x+1=0表示圆心

8、为表示圆心为(2,0)，半径，半径为为 的圆的圆; 的几何意义是圆上一点与原点连线的几何意义是圆上一点与原点连线 的的 斜斜率，率，y-x可看作直线可看作直线y=x+b在在y轴上的截距轴上的截距,x2+y2 可看作可看作是圆上一点与原点距离的平方是圆上一点与原点距离的平方 ， 可借助于平面几何知可借助于平面几何知识，利用数形结合求解识，利用数形结合求解.x xy y3 3x xy y解法一解法一:（1）原方程化为）原方程化为(x-2)2+y2=3，表示以点表示以点(2,0)为圆心，以为圆心，以3为半径的圆，设为半径的圆，设 =k，即，即y=kx.当直线当直线y=kx与圆相切时，斜率与圆相切时，

9、斜率k取最大值和最小取最大值和最小值，此时值，此时 ，解之得，解之得k= .故故 的最大值为的最大值为 ，最小值为，最小值为- . (2)设设y-x=b，即，即y=x+b，当，当y=x+b与圆相切时，纵与圆相切时，纵截距截距b取得最大值和最小值，此时取得最大值和最小值，此时 ，即，即b=-2 . 故故y-x的最大值为的最大值为-2+ ，最小值为，最小值为-2- .x xy y3 31 1k k| |0 0- -2k2k| |2 2=+3 3x xy y3 33 33 32 2| |b b0 0- -2 2| |=+6 66 66 6 (3)x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面表示圆上

10、的点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点及圆心连线与圆的两个交点处取几何知识知它在原点及圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为又圆心到原点的距离为2, 故故(x2+y2)max=(2+ )2=7+4 , (x2+y2)min=(2- )2=7-4 .3 33 33 33 3:（1）同上）同上. x=2+ cos y= sin y-x= sin- cos-2= sin（- ）-2.y-x的最大值为的最大值为 -2,最小值为最小值为- -2.(3)由由(2)知知x2+y2=（2+ cos）2+( sin)2=4+4 cos+3=7+4 cos.x2+

11、y2的最大值为的最大值为7+4 ，最小值为，最小值为7-4 .(2)令令(R).3 33 33 33 36 64 46 66 63 33 33 33 33 33 3 与圆有关的最值问题，可借助图形性质，与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解利用数形结合求解.一般地一般地:形如形如 的最值问题，的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题;形如形如t=ax+by的最的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题值问题，可转化为动直线截距的最值问题;形如形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题等

12、平方的最值问题等.a a- -x xb b- -y y= =u u已知点已知点P（x，y）是圆（）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点上任意一点.（1）求）求P点到直线点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小的距离的最大值和最小 值值.（2）求）求x-2y的最大值和最小值；的最大值和最小值；（3）求）求 的最大值和最小值的最大值和最小值.1 1- -x x2 2- -y y(1)圆心圆心C（-2，0）到直线）到直线3x+4y+12=0的距离为的距离为P点到直线点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为的距离的最大值为d+r= +1= ，最小值为，最小值为d - r= -1= .5 5

13、6 64 43 3| |12120 04 4(-2)(-2)3 3| |d d2 22 2=+=5 56 65 511115 56 65 51 1（2）设）设t=x-2y，则直线，则直线x-2y-t=0与圆（与圆（x+2）2+y2=1有公共点有公共点. 1.- -2t -2,tmax= -2,tmin=-2- .（3）设）设k= ，则直线，则直线kx-y-k+2=0与圆与圆 （x+2）2+y2=1有公共点，有公共点， 1. k ,kmax= ,kmin= .2 22 22 21 1| |t t- -2-2| |+5 55 55 55 51 1- -x x2 2- -y y 1 1k k| |2

14、 2- -3 3k k| |2 2+4 43 3- -3 34 43 33 3 +4 43 33 3 +4 43 3- -3 3点点P（4，-2）与圆）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方上任一点连线的中点轨迹方程是程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1【分析】【分析】用代入法求解用代入法求解. 【解析】【解析】设圆上任一点坐标为设圆上任一点坐标为(x0,y0),则则x02+y02=4,连线中点坐标为连线中点坐标为(x,y), 2x=x0+4 x0=2x-4 2y=y0-2 y

15、0=2y+2，代入代入x02+y02=4中得中得(x-2)2+(y+1)2=1.故应选故应选A.则则 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：件的不同常采用以下做法： 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. 定义法：根据圆、直线等定义列方程定义法：根据圆、直线等定义列方程. 几何法：利用圆与圆的几何性质列方程几何法：利用圆与圆的几何性质列方程. 代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等知点满足的关系式等. 此外还有交轨法、参数法等此外还有交轨法、

16、参数法等.不论哪种方法，充分不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键是解题的关键.设定点设定点M（-3，4），动点），动点N在圆在圆x2+y2=4上运动，以上运动，以OM,ON为两边作平行四边形为两边作平行四边形MONP，点，点P的轨迹方程的轨迹方程_. 【解析】【解析】如图所示，设如图所示，设P(x,y),N(x0,y0),则线段则线段OP的中点的中点坐标为坐标为 线段线段MN的中点坐的中点坐标为标为 2y,2x 24y,23x00 因为因为平行四边形的对角线互相平分，故平行四边形的对角线互相平分，故 x0=x+3 y0=y-4.N(x+3,y-4)在圆上，故在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求因此所求P点的轨迹方程为点的轨迹方程为(x+3