数据压缩霍夫曼编码算术编码

1、算术编码算术编码 Arithmetic Coding主要内容 图像压缩编码简介 Huffman编码 算术编码简介 算术编码原理 算术编码的发展及应用一 图像压缩编码简介 霍夫曼编码 霍夫曼编码(Huffman coding) 根据给定数据集中霍夫曼(D.A. Huffman)在1952年提出和描述的“从下到上从下到上”的熵编码方法 各元素所出现的频率来压缩数据的一种统计压缩编码方法。这些元素(如字母)出现的次次数越多数越多，其编码的位数就越少位数就越少 广泛用在JPEG, MPEG, H.26X等各种信息编码标准中 熵(entropy) 按照香农(Shannon)的理论，在有限的互斥和联合穷举

2、事件的集合中，熵为事件的信息量的平均值，也称事件的平均信息事件的平均信息量量(mean information content) (依概率平均依概率平均) 用数学表示为熵是数据压缩的极限霍夫曼编码(1) 计算该字符串的霍夫曼码步骤：按照符号出现概率大小的顺序对符号进行排序排序步骤：把概率最小概率最小的两个符号组成两个符号组成一个节点P1步骤：重复重复步骤，得到节点P2，P3，P4， PN，形成一棵树，其中的PN称为根节点步骤：从根节点PN开始到每个符号的树叶，从上到下 标上0(上枝)和1(下枝)，至于哪个为1哪个为0则 无关紧要，但通常把概率大的标成1，概率小的 标成0.(标记标记)步骤：从根

3、节点PN开始顺着树枝到每个叶子分别写出 每个符号的代码.(反向编码反向编码)霍夫曼编码 霍夫曼编码举例1 现有一个由5个不同符号组成的30个符号的字符串：BABACACADADABBCBABEBEDDABEEEBB 计算(1) 该字符串的霍夫曼码(2) 该字符串的熵(3) 该字符串的平均码长(4) 编码前后的压缩比霍夫曼编码符号出现的次数 log2(1/pi）分配的代码 需要的位数B101.585?A81.907?C33.322?D42.907?E52.585?合计30符号出现的概率符号出现的概率霍夫曼编码符号B (10)A (8)E (5)D (4)C (3)P1 (7)P2 (12)P3

4、(18)P4 (30)01101010代码代码B(11)A(10)E(00)D(011)C(010)霍夫曼编码符号出现的次数log2(1/pi）分配的代码需要的位数B101.5851120A81.9071016C33.3220109D42.90701112E52.5850010合计306730个字符组成的字符串需要个字符组成的字符串需要67位位5个符号的代码霍夫曼编码 (2) 计算该字符串的熵计算该字符串的熵 其中， 是事件 的集合， 并满足1 ,nXxx1( )1niip x(1,2, )ix in211()( ) ( )( )log( )nniiiiiiH Xp x I xp xp x H

5、(S) =(8/30)log2(30/8) + (10/30)log2(30/10) + (3/30)log2(30/3) + (4/30)log2(30/4) + (5/30)log2(30/5) = ( 44.313624.5592)/ 9.0308 2.1874 (Sh) 理论上可获得的压缩比为：理论上可获得的压缩比为： 3:2.1874=1.37霍夫曼编码(3) 计算该字符串的平均码长 平均码长： (28210333425)/30 2.233 位/符号 压缩比压缩比: 90/67=1.34:11( )Niiill p l 平均码长：平均码长：67/30=2.233位位(4) 计算编码前

6、后的压缩比计算编码前后的压缩比n编码前：5个符号需3位，30个字符，需要90位n编码后：共67位算术编码简介算术编码(Arithmetic Coding )：和霍夫曼编码不同，算术编码跳出。分组编码的范畴, 从全序列出发, 采用递推形式的连续编码不是将单个信源符号映射成一个码字, 而是将整个输入符号序列映射为实数轴上0,1)区间内的一个小区间, 其长度等于该序列的概率, 再在该小区间选择一个代表性的二进制小数, 作为实际的编码输出。算术编码 算术编码(arithmetic coding) 给已知统计信息的符号分配代码的数据无损数据无损压缩技术 基本思想是用0和1之间的一个数值范围数值范围表示输

7、入流中的一个字符（串），字符（串），而不是给输入流中的每个字符分别指定一个码字 实质上是为整个输入字符流分配一个“码字”，因此它的编码效率可接近于熵接近于熵 算术编码算术编码(1)(1)基本思想：基于递归概率区间划分的二进制编码具体过程：基本思想：基于递归概率区间划分的二进制编码具体过程： 把信源符号序列把信源符号序列Xi|i=1,2,Xi|i=1,2,n,n发生的概率用实数区间发生的概率用实数区间 00，11上的间隔（上的间隔（XiXi的取值范围）来表示的取值范围）来表示 按符号概率大小来分配符号间隔，按符号概率大小来分配符号间隔， 使使00，11随迭代计算次数的增加而逐次变窄；随迭代计算次

8、数的增加而逐次变窄；所求最后范围便是替代所求最后范围便是替代XiXi符号串编码的取值范围符号串编码的取值范围 应用实例：待编码符号串为应用实例：待编码符号串为X X1 1,X,X2 2,X,X3 3,X,X4 4,X,X5 5 算术编码处理过程的编码区间分配可用图解法表示：算术编码处理过程的编码区间分配可用图解法表示： 以少代多思想：用最终求得的编码表示范围子区间的以少代多思想：用最终求得的编码表示范围子区间的 任何值（如：任何值（如：0.106030.10603），来替代被编码符号串），来替代被编码符号串X X1 1X X2 2X X3 3X X4 4X X5 5无论是否是二元信源，也不论数

9、据的概率分布如何，算术编码可以二进制小数表示，其平均码长可以接近无损压缩的熵极限。因此：算术编码的发展历史：1960年，P. Elias首先提出把这种依附Shannon编码概念推广到对符号序列直接编码上，推出了所谓的算术编码（Arithmetic Coding）；1948年， Shannon提出将信源依其概率降序排序, 用符号序列累积概率的二进制表示对信源的编码; 1976年, R. Pasco和J.Rissanen 分别用定长的寄存器实现了有限精度的算术编码; 1979年, Rissanen 和G.G. Langdon将算术编码系统化，并于1981年将AC推广应用到二值图像编码上,大大提高了

10、起压缩效率；1987年, Witten等人发表了一个实用的算术编码程序(CACM87,后用于H.263); 同期IBM公司发表了著名的Q-编码器 (后用于JPEG和JPIG); 设一个信源，它有两个符号a和b，出现的概率分别是p和1p，设有一个基准区域0，1，对它进行划分，以便与信源输出序列相对应。abp1aabap1p+p(1-p)bbabaabap2bbab图A 符号序列与区域划分示意算术编码的基本原理ab0.81aaba0.810.96bbabaaba0.64bbabaaabab0.810.960.64bbaaba0.5120.7680.9920.928bbbbaaabbaab例设一个信

11、源，它有两个符号a和b，出现的概率分别是0.8和0.2，有3个符号输出时，符号序列与区域划分的对应关系。图B 3符号输出时的 符号序列与区域划分示意字符串 aabaa对应的区域为0.512，0.59392)该区域的二进制表示0.1000001，0.1001100 )二进制数0.1001输出编码 1001因此对于这个信源：H（X）=0.7219Huffman编码:算术编码:%19.72%24.90平均码长 R=0.8平均码长 R=1相比Huffman编码，算术编码的编码效率有明显提高。对于长序列，理论上算术编码可以达到信源的熵。RH /编码效率算术编码过程:依据字符的发生概率对码区间的分割过程(

12、即子区间宽度与正编码字符发生概率相乘的过程)。算术解码过程:只需知道最终编码区间中的某一个值就可以解码。算术编码每次递推都要做乘法，而且必须在一个信源符号的处理周期内完成，有时难以实时，为此采用了查表等许多近似计算来代替乘法。小结：固定编码模式概率统计与区间分配直接影响编码效率。自适应模式各符号的概率初始值都相同，但依据实际出现的符号而相应地改变。两种编码模式：算术编码的发展及应用 jpeg、mpeg-1和mpeg-2等国际标准采用的图像压缩编码方案都是传统的“DCT+运动补偿+算术编码”模式 JPEG2000、MQ算术编码器 嵌入位平面图像编码器EZW、SPIHT和SPECK中也采用这种通用算法编码器 算术码评述 能够自适应地估计条件概率, 从信源的统计特性 出发, 建立数据的概率模型。它不必预先定义信 源的概率模型, 尤其适用