第七章(更新含作业)

1、 动态元件的动态元件的VCR为微分或积分形式，故线性、为微分或积分形式，故线性、非时变动态电路要用线性常系数微分方程来描述。非时变动态电路要用线性常系数微分方程来描述。分析动态电路即是求解线性、常系数微分方程。分析动态电路即是求解线性、常系数微分方程。 含有一个独立的动态元件的电路，要用线性、含有一个独立的动态元件的电路，要用线性、常系数一阶微分方程来描述，故称为常系数一阶微分方程来描述，故称为一阶电路一阶电路。 本章重点讨论一阶电路在本章重点讨论一阶电路在直流激励下直流激励下的动态的动态分析。分别介绍分析。分别介绍换路定律换路定律、零输入响应零输入响应、零状态零状态响应响应和和全响应全响应，

2、并推导出一阶电路在直流激励下，并推导出一阶电路在直流激励下求解任一变量响应的一般方法求解任一变量响应的一般方法 三要素法三要素法。本章还将介绍本章还将介绍瞬态瞬态和和稳态稳态的概念。的概念。1. 动态电路的初始值确定动态电路的初始值确定2. 掌握一阶电路的一般分析方法，掌握一阶电路的一般分析方法， 熟悉零输入熟悉零输入响应、零状态响应、全响应；响应、零状态响应、全响应；3. 理解线性动态电路响应的叠加（全响应）理解线性动态电路响应的叠加（全响应）;4. 掌握阶跃响应；掌握阶跃响应；5. 熟练掌握一阶电路的三要素分析法熟练掌握一阶电路的三要素分析法 ；6. 理解瞬态和稳态的概念；理解瞬态和稳态的

3、概念；7. 了解正弦电路的过渡过程。了解正弦电路的过渡过程。到目前为止到目前为止, 我们已经掌握了电阻电路的分析方法我们已经掌握了电阻电路的分析方法,如果电路中含有动态元件如果电路中含有动态元件(电容电容、电感电感), 这就是本篇要解决的问题。这就是本篇要解决的问题。电路将会出现什么新的现象电路将会出现什么新的现象 ? 应该如何分析应该如何分析?问题的引出问题的引出1. 汽车汽车:实际生活中的物理现象实际生活中的物理现象40公里公里/小时匀速小时匀速加速过程加速过程稳态稳态1稳态稳态2过渡过程过渡过程为什么会有过渡过程为什么会有过渡过程?2. 照相机照相机: 闪光灯充电闪光灯充电电容充电需要时

4、间电容充电需要时间利用电容储存电能利用电容储存电能物体惯性的存在物体惯性的存在电磁惯性的存在电磁惯性的存在过渡过程过渡过程为什么电容充电会有过渡过程为什么电容充电会有过渡过程?从静止状态从静止状态S未动作前未动作前,电路原已稳定电路原已稳定i = 0 , uC = 0i = 0 , uC = Usi+uCUsRC两种稳态：两种稳态：S接通电源后很长时间接通电源后很长时间达到稳定达到稳定两种稳态电路之间的过渡过两种稳态电路之间的过渡过程各物理量是如何变化的程各物理量是如何变化的?设开关设开关S在在t=0时时,a b+uCUsRCi S(t = 0)ab电容的充电已经完成电容的充电已经完成例例-初

5、始稳态初始稳态-新稳态新稳态初始状态初始状态过渡过程过渡过程变化规律变化规律新稳态新稳态USuct0?含有动态元件（电感或者电容）的电路含有动态元件（电感或者电容）的电路: 动态电路动态电路i此过程称为电路的过渡过程此过程称为电路的过渡过程 当动态电路的结构发生变化时，需要经历一个变化过程才当动态电路的结构发生变化时，需要经历一个变化过程才能达到新的稳态能达到新的稳态:+uCUsRCi S(t = 0)ab续续只有了解过渡过程只有了解过渡过程, 才能全面的了解动态电路的性质。才能全面的了解动态电路的性质。 电路不处于稳态即处于瞬态（暂态、非稳电路不处于稳态即处于瞬态（暂态、非稳 态），或叙述为

6、：电路从一个稳态到另一态），或叙述为：电路从一个稳态到另一 个稳态之间的过渡过程。个稳态之间的过渡过程。 当描述动态电路的变量成为不随时间而变当描述动态电路的变量成为不随时间而变 的常量，或为随时间而变的周期量时，称的常量，或为随时间而变的周期量时，称 此电路进入了稳定状态，用此电路进入了稳定状态，用 y( )表示。表示。 电路的电压、电流为常量；电路的电压、电流为常量； 电路的电压、电流瞬时值为随时间而电路的电压、电流瞬时值为随时间而 变的周期量时，而幅值和有效值为常量。变的周期量时，而幅值和有效值为常量。 合上合上(断开断开)电源、电源、换路换路元件参数改变、元件参数改变、 电路结构改变电

7、路结构改变 等等。等等。定义换路前后的瞬时定义换路前后的瞬时, 0t 0t换路换路0t为了讨论上的方便为了讨论上的方便,忽略了开关忽略了开关的动作时间的动作时间综上所述综上所述,动态电路会产生过渡过程动态电路会产生过渡过程:1. 电路中含有动态电路中含有动态 (储能储能)元件元件L 、C3. 电磁能量的储存和释放都电磁能量的储存和释放都需要一定的时间需要一定的时间来完成来完成 twp 电路结构、元件参数发生变化电路结构、元件参数发生变化电磁惯性电磁惯性(内因内因)(外因外因)2. 换路换路:过渡过程过渡过程实质实质:是电路的能量从一种分布状态到是电路的能量从一种分布状态到另一种分布状态的变化过

8、程另一种分布状态的变化过程。除非电路中具有无穷大功率。除非电路中具有无穷大功率。描述方程为描述方程为微分方程微分方程描述方程为描述方程为代数方程代数方程SccUutdduRC 323232133RRRRRRRUiRuS /动态电路动态电路电阻电路电阻电路iu3+-UsR1R2R3S(t=0)回顾回顾静态电路静态电路0 t0 t+uCUsRCi S(t = 0)abdtduCiC 元件元件SCUuRi KVL换路后，用一阶微分方程描述的电路换路后，用一阶微分方程描述的电路: 一阶电路一阶电路suutuRCtuLC CC2C2dddd+ uCiCL+RusS(t=0)换路后，用二阶微分方程描述的电

9、路换路后，用二阶微分方程描述的电路: 二阶电路二阶电路换路后，用换路后，用n阶微分方程描述的电路阶微分方程描述的电路: n阶电路阶电路001111 tuiadtdiadtidadtidasnnnnnn动态电路的动态电路的阶数阶数+uCUsRCi S(t = 0)abSccUutdduRC 含有含有n个动态元件的电路个动态元件的电路 - n阶电路阶电路? 思考题思考题:独立动态独立动态元件个数元件个数)()( 00ff1. 初始条件定义初始条件定义设换路在设换路在 t=0时刻进行时刻进行,0- 换路前一瞬间换路前一瞬间 0+ 换路后一瞬间换路后一瞬间)(lim)(tfftt000 )(lim)(

10、tfftt000 0-0+0tf(t)电路的初始条件（初始值）：电路的初始条件（初始值）：求解微分方程的边界条件求解微分方程的边界条件:电路变量的初始值电路变量的初始值 如何求如何求初始条件初始条件?在在 t =0点连续点连续:)()( 00ff在在 t =0点不连续点不连续:电路的变量（电压或电流）及电路的变量（电压或电流）及（n-1）阶导数在阶导数在 t = 0+时刻的值时刻的值 。在在0点有跃变点有跃变线性电容线性电容所以所以令令 t0= 0 ， t = 0+ iCucC +- 000diC)(uC (0+) = uC (0-)换路瞬间，若换路瞬间，若电容电流电容电流为为有限值有限值，2

11、.换路定则换路定则 ttCCCdiCtutu010)()()( 00100diCuuCCC)()()(说明说明:则有则有则则电容电压电容电压换路前后瞬时的值换路前后瞬时的值保持不变保持不变。若为有限值若为有限值线性电感线性电感令令t0= 0 ， t = 0+ iLuLL+-iL(0+)= iL(0-)说明说明: 换路瞬间，若换路瞬间，若电感电压电感电压为为有限值有限值， ttLLLduLtiti010)()()( 000duL)( 00100duLiiLLL)()()(则有则有所以所以则则电感电流电感电流换路前后瞬时的换路前后瞬时的值保持不变值保持不变。同理同理若为有限值若为有限值 L (0+

12、)= L (0-)qc (0+) = qc (0-)换路定则换路定则换路定则换路定则成立的条件成立的条件: 换路瞬间，电感电压为有限值。换路瞬间，电感电压为有限值。 换路瞬间，电容电流为有限值换路瞬间，电容电流为有限值;uC (0+) = uC (0-)iL(0+)= iL(0-) L = L iLqC = C uC由于由于可知可知换换路路定定则则推广推广常数常数3.换换路定则的应用路定则的应用电路初始值的计算举例电路初始值的计算举例1. 换路定律只适用于状态变量换路定律只适用于状态变量 和和 ；2. 非状态量非状态量 iC, uL, iR和和 uR例例1(2) 由换路定则由换路定则 uC (

13、0+) = uC (0-) = 8Vic(0+)+-10Vi+8V-10k0+等效电路等效电路(1) 由由0-电路求电路求 uC(0-)+-10V+uC(0-)-10k40kuC(0-) = ?(3) 由由0+等效电路等效电路,求求 iC(0+)iC(0-) iC(0+)电路原已稳定电路原已稳定,开关在开关在t=0打开打开，求求iC(0+) 。iC(0+)mA2 . 0100010810 ?0 dtduC0-等效电路等效电路解解CiC)0(8V注意注意:+-10ViiC+uC-S10k40kC开路开路等值电压等值电压源替代源替代例例2?0 dtdiL0)0( Lu 0)0(Lu iL(0+)=

14、 iL(0-) =2AVuL842)0( 电路原已稳定电路原已稳定, t = 0时闭合开关时闭合开关S, 求求 uL(0+) 。iL+uL-L10VS1 4 +uL(0+)-0+电路电路:10V1 4 2A先求先求)0(Li由换路定则由换路定则解解由由0_电路电路:10V1 4 iL(0_)LuL)0(A24110短路短路等值电流等值电流源替代源替代例例300 CiC)(iL(0+) = iL(0-) = ISuC(0+) = uC(0-) = RISuL(0+)= - uC(0+) = - RIS0+等效电路等效电路:iC(0+)uL(0+)+ 0)0( RRIIiSsC电路原已稳定电路原已

15、稳定, t = 0时闭合开关时闭合开关S,求求 iC(0+) , uL(0+) 。S(t=0)+uLiLC+uCLRISiC解解+ + uC(0-)CLRIS0-等效电路等效电路:iL(0-) = ISuC(0-) = RISiL(0-)RiL(0+)+ uC(0+)由换路定则由换路定则所以所以 0tuddC 0tiddLLRILuSL )(0练习练习:初始值计算步骤初始值计算步骤换路前电路已稳定换路前电路已稳定:电容开路电容开路、电感短路电感短路、uC (0+) = uC (0-),uC (0-)由由0-电路求电路求和和 iL(0-) ；iL(0+) = iL(0-)由换路定则求由换路定则求

16、 0+电路电路 C、L 的处理的处理uC (0+)0 0 iL (0+)0 0 电容用等值电容用等值电压源替代电压源替代电容短路电容短路电感开路电感开路电感用等值电感用等值电流源替代电流源替代由由0+电路求变量及相应电路求变量及相应(n-1)阶导数的初值。阶导数的初值。由上举例可知由上举例可知小小 结结1. 动态电路的特点动态电路的特点含有动态元件含有动态元件(L、C)用微分方程来描述用微分方程来描述, 方程阶数方程阶数=电路阶数电路阶数2. 产生过渡过程产生过渡过程过渡过程的物理现象过渡过程的物理现象换路换路外因外因动态元件动态元件内因内因实质实质在有限功率下在有限功率下, 能量分布状态能量

17、分布状态的改变的改变, 不能立即完成。不能立即完成。电磁惯性电磁惯性3. 换路定则换路定则有限值有限值 条件条件:uC (0+) = uC (0-)iL(0+) = iL(0-)4. 初始条件的计算初始条件的计算?电路的初始值是求解微分方程的必要条件，电路的初始值是求解微分方程的必要条件，给定动态电路给定动态电路, 如何如何列写列写电路的微分方程并电路的微分方程并求解求解 ?动态电路的分析动态电路的分析?求求: 初始值初始值 iL(0+), uL(0+)。iL(0+) = iL(0- -) = 2 AuL(0+) = iL(0+)(R2+R3) = 90V iL(0- -) = 2A， (1)

18、 画出画出的等效电路，的等效电路，L 短路短路uL(0- -)= 0 (2) 画出画出 的等效电路的等效电路iL 等效为电流源等效为电流源 KLR2t = 05A20 15 30 R3R1IS+iLuLbat = 0- - 等效电路等效电路5A20 30 R3R1ISiL(0- -)uL(0- -)+t = 0+ 等效电路等效电路2AR215 30 R3+uL(0+)iL(0+)练习练习 图示电路原已稳定图示电路原已稳定,求开关打开后的各量初值。求开关打开后的各量初值。S(t=0)R1R2USLCuLuCuR2iLiC解解)0()0( ccuu0)0( Lu0+电路电路: )0(Ci )0(2

19、Ru)0( cu 0dtduC 0dtdiL21RRUS SURRR212 21)0(RRUiSL SLURRRiR2122)0( ?211)0(1RRUCiCSC 0)0(1 LuL)0()0( LLiiR2uR2(0+)iL(0+)uC(0+)iC(0+)uL(0+)C+uC(t)i(t) 利用戴维南定理或诺顿定理，可将二端含源电阻利用戴维南定理或诺顿定理，可将二端含源电阻网络网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。C+uC(t)i(t)R0uOC(t)+C+uC(t)i(t)G0iSC(t)C+uC(t)i(t) 利用戴维南定理或诺顿定理，可将二

20、端含源电阻利用戴维南定理或诺顿定理，可将二端含源电阻网络网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。uR0 + uC = uOC由由KVL，有，有R0 i + uC = uOCtuCiddC OCCC0dduutuCR 代入代入得到一阶线性、常系数微分方程得到一阶线性、常系数微分方程C+uC(t)i(t)R0uOC(t)+ uR0(t) 利用戴维南定理或诺顿定理，可将二端含源电阻利用戴维南定理或诺顿定理，可将二端含源电阻网络网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。C+uC(t)i(t)i + iG0 = iSC由由

21、KCL，有，有i + G0 uC = iSCtuCiddC SCC0CddiuGtuC 代入代入得到一阶线性、常系数微分方程得到一阶线性、常系数微分方程C+uC(t)i(t)G0iSC(t)iG0(t)利用电容与电感的对偶性，可将电容换成电感。利用电容与电感的对偶性，可将电容换成电感。iG0 + iL= iSC由由KCL，有，有G0 uL + iL = iSCtiLuddLL SCLL0ddiitiLG 代入代入得到一阶线性、常系数微分方程得到一阶线性、常系数微分方程L+uL(t)iL(t)L+uL(t)G0iSC(t)iG0(t)iL(t) 虽然电路中无电源，但由于电虽然电路中无电源，但由于

22、电容有初始状态，仍能引起电流。容有初始状态，仍能引起电流。+uC(t)i(t)RCuC(0)+u1(t)+为了简便起见，令为了简便起见，令 t0 = 0，则电路，则电路的初始条件为的初始条件为 uC(0) = U0。0ddCC utuCR tuCuutCtuCidd)0(ddddCCC1 考虑到考虑到电路可用一阶齐次微分方程描述电路可用一阶齐次微分方程描述外加激励外加激励(独立电源独立电源)为零为零，仅由储能元件的初始储能，仅由储能元件的初始储能(条件条件)作用于电路产生的响应。作用于电路产生的响应。最终得最终得00C)0(UKeKuCR 代入初始条件代入初始条件 uC(0) = U0，CRt

23、eUtu 0C)( t 0利用直接积分法利用直接积分法 tCRuud1dCCCRutuCCdd CRtu ClnCRteKtu )(C故有故有0ddCC utuCR积分得积分得解的形式：解的形式：uC(t) = KestRCsKest + Kest = 0RCs +1 = 0特征方程的根特征方程的根（固有频率）（固有频率）代入原方程代入原方程 特征方程特征方程CRs1 一阶线性常系数齐次微分方程一阶线性常系数齐次微分方程由由VCR、KVL可得响应可得响应CRteRUtuCti 0Cdd)( t 0CRteUtutu 0CR)()( t 0随时间变化的曲线随时间变化的曲线otU0U0RiCRte

24、Utu 0C)( t 0 各个响应各个响应 uC (t)、i (t)、uR (t)的波形均为按指数规律衰减的的波形均为按指数规律衰减的曲线，其曲线，其取决于电取决于电路参数路参数 RC 的乘积，与初始值的乘积，与初始值U0 的大小的大小无关。无关。+uC(t)i(t)RCuC(0)+u1(t)+ uR(t)时间常数时间常数 Fs单位单位tuC /U0 (%) 36.82 13.53 4.984 1.835 0.6746 0.09127 0.004548 3.72 10 420100C368. 0)(UeUeUuCR 从理论上讲，电路只有在从理论上讲，电路只有在 t 时时才能衰减到零。但在工程上

25、，通常才能衰减到零。但在工程上，通常认为认为 t(45) 时，电容放电过程基本结束。时，电容放电过程基本结束。时间常数时间常数 越大，越大，衰减衰减越慢；越慢；时间常数时间常数 越小，越小，衰减衰减越快。越快。uCotU00.368 U0 1 2 3 3 2 1 将电感电流初始值将电感电流初始值 iL (t0) = I0 等效为一个初始电流为零的电感等效为一个初始电流为零的电感与电流源与电流源 I0 的并联。的并联。0ddLL iRtiL一阶微分方程一阶微分方程求解得求解得 tLLeIRtiLu 0dd teIti 0L)(tLReI 0 t 0 t 0RL电路的时间常数电路的时间常数 ，与与

26、RC电路的时间常数电路的时间常数不同。不同。随时间变化的曲线随时间变化的曲线otI0L+uL(t)RiL(0)iL(t)已知：已知：iL(0 ) = 0，uC(0 ) = 0， 试求：开关试求：开关K闭合瞬间，电路中闭合瞬间，电路中各电压、电流的初始值。各电压、电流的初始值。KCLR2R1+ USt = 0uC(0+) = uC(0 ) = 0iL(0+) = iL(0 ) = 0u2(0+) = 0uL(0+)= u1(0+) =US R2R1+ USiL(0+)uL(0+)iC(0+)uC(0+)u2(0+)u1(0+)i1(0+)t = 0+时的等效电路时的等效电路+ + + + iC(

27、0+) = i1(0+) = USR1 电路如图所示，已知：电路如图所示，已知：C = 0.01F，uC(0) = 15V， 求：求：uC (t)，i (t) ( t0 )uC(0) = 15V = R0C = 5 0.01= 0.05 st03i uC 3iC = 0t0336i (t)iC(t)uC(t)C+336i (0)iC(0)15V+uC(0)t = 0+5363630 RV15)0()(20/CCtteeutu 由左网孔由左网孔KVLA3dd)(20CCtetuCti A233)(20CCteiuti t0 在图示电路中，已知：在图示电路中，已知：uC(0) = 6V，求，求 i

28、 (t)，t 0。2k2ki(t)i(t)6k+R00.5ki(t)i(t)1.5k+u+uC(0) = 6V，求，求 i R0 = R0C = 2103 s6k2k1F2ki(t)i(t)+CuC(t)u = (1.5 + 0.5) 103i =2 103i 10230 iuRt0V6)0() t (00050CCt./teeuu mA3dd(t)0005. 0tCetuCi t0uV (0+)= 10000Vt=0时时 , 打开开关打开开关S，求求uv。现象现象 ：电压表坏了电压表坏了 / tLei 电压表量程电压表量程 50V0100002500 teiRutLVV分析分析iLLR10V

29、措施措施 ：加个单向导通元件：加个单向导通元件（二极管）（二极管）iLS(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10ViL (0+) = iL(0-) = 1 A.sVRRL4104100004 .2. 一阶电路的零输入响应是按指数规律衰减的，衰减的快慢一阶电路的零输入响应是按指数规律衰减的，衰减的快慢 由时间常数由时间常数 决定：决定： 越小，衰减越快；越小，衰减越快；1. 一阶电路的零输入响一阶电路的零输入响应应tLReIti 0L)(CRteUtu 0C)(RL 一阶一阶电路电路零零 输输 入入 响响 应应时间常数时间常数RC电路电路 =RCRL电路电路t0t0是由是由储能元件储

30、能元件的初值引起的响应的初值引起的响应 , 都是由初始值衰减至都是由初始值衰减至零的指数衰减函数；零的指数衰减函数； teyty )0()(电路的零输入响应电路的零输入响应响应的初始值响应的初始值时间常数时间常数y(t) 通常是通常是uc(t) 和和iL(t) 先求的主要电量；先求的主要电量；5. 线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数，即初线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数，即初 始状态增大始状态增大 a 倍，零输入响应也增大倍，零输入响应也增大 a 倍。倍。4. 一阶电路的零输入响应代表了电路的固有性质，一阶电路的零输入响应代表了电路的固有性质，称为称为固有固有 响应，特征

31、根响应，特征根s =1/ 称为固有频率；称为固有频率； 3. 求出求出 uC(t) 或或 iL(t) 再根据置换定理，用电压为再根据置换定理，用电压为uC(t) 的电压的电压 源置换电容，用电流值为源置换电容，用电流值为iL(t)的电流源置换电感，在置换的电流源置换电感，在置换 后的电路中求其他电压电流；后的电路中求其他电压电流；6. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数；同一电路中所有响应具有相同的时间常数；零状态响应的零状态响应的条件：条件： （1）uC(0-) = 0； （2）t = 0 时，加入电源时，加入电源 US。0tuC0tiCtt 0tuC00 USiC0US /R 0 为了分

32、析简便，取为了分析简便，取 t0 = 0，激励为直流电压源激励为直流电压源US。由换路定律：由换路定律：+uC(t)i (t)RUS+CKt = 0SCCddUutuCR 线性常系数一阶非齐次微分方程线性常系数一阶非齐次微分方程uC (t) = = uCh + uCpuCh 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解uCp 非齐次方程的特解非齐次方程的特解，解的结构解的结构CRteKu Ch与激励形式相同，设与激励形式相同，设 uCh=Q =US故有故有 uC (t) = = uCh + uCpSUeKCRt 由初始条件由初始条件 uC(0) = 0，确定积分常数，确定积分常数 K = US)1()

33、(SSSCCRtCRteUUeUtu 得得 t 0+uC(t)iC (t)RUS+CKt = 0)1()(SCCRteUtu t 00tuC0tiCtuC /US (%) 63.22 86.53 95.024 98.175 99.3266 99.909tR CuUitCetRCSCd( )d t 0 uC (t) 的波形是按的波形是按指数规律上升，最指数规律上升，最终趋于稳态值终趋于稳态值US，其变化快慢取决于其变化快慢取决于时间常数时间常数 = RC。工程上，工程上，t = (45) 时，电容的充电过时，电容的充电过程基本结束。程基本结束。+uC(t)iC (t)RUS+CKt = 0teR

34、UtRtiWCRtdd)(202S02R 在在 C 充电过程中充电过程中 R 消耗的总能量消耗的总能量2S022SR212CUeRCRUWCRt 在在 C 充电到充电到 US 时的储能为时的储能为2SC21CUW 电源提供的总能量电源提供的总能量2SRCCUWWW 利用置换定理可求出电路中其它电压、电流的表达式。利用置换定理可求出电路中其它电压、电流的表达式。电源提供的能量一半电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量转换成电场能量储存在电容中，储存在电容中，充电充电效率只有效率只有50 。SLLddUiRtiL 解得解得电感的响应为电感的响应为换路定律：换路定律：)

35、1()(SLtLReRUti t 00tiL0tuLtLReUtiLtu SLLdd)( t 0电感的初始状态电感的初始状态 iL(0) = 0线性常系数一阶非齐次微分方程线性常系数一阶非齐次微分方程时间常数时间常数 = L/R。RUS+Kt = 0L+uL(t)iL(t) 在在图示电路中，已知图示电路中，已知 iL(0) = 0。求。求 iL(t)、i1(t) (t0)。60V30+2A600.2HiL(t)i1(t)iL(t) = 4 (1e 100 t ) A t0U6060306028030603060OCVR0 = 30 /60 = 20 s1001202 . 00 RL A4208

36、0L i60V30+2A60+UOC80V0.2H20iL(t)+Lt0利用叠加原理利用叠加原理 在在图示电路中，已知图示电路中，已知 iL(0) = 0。求。求 iL(t)、i1(t) (t0)。60V30+2A60iL(t)i1(t)60V30+2A600.2HiL(t)i1(t)由由KVL 30 i1 + uL 60 = 0iL(t) = 4 (1e 100 t ) A t0 A80dd100LLtettiLtu A3823080603060100100L1tteeuti t0 在图示电路中，已知在图示电路中，已知uC(0) = 0，求：，求：uC(t) (t0)。uOC = uC()

37、= 103 50 10-3 + 500 50 10-3 = 75Vi1(t)1k+uC(t)1 F50mA3k+500i1i1(t)1k+uOC (t)50mA3k+500i1i1k+u3k+500iu = 4103i + 500 i = 4500 i = R0C = 4.5 ms k5 . 40 iuR tute34 5 1075 ( 1)/ .C V175222te t075V4.5k+uC(t)4. 一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大 倍，零状态响应也扩大倍，零状态响应也扩大 倍，如有多个电压源作用，也倍，如有多个电压源作用，也

38、可用叠加定理来求零状态响应。可用叠加定理来求零状态响应。 2. uC(t)、iC(t) 的零状态响应由零向稳态值按指数规律上升，的零状态响应由零向稳态值按指数规律上升， 越小上升越快。越小上升越快。3. 求出求出 uC(t)、iL(t)，根据置换定理，电容用电压值为，根据置换定理，电容用电压值为 uC(t) 的电压源置换，电感用电流值为的电压源置换，电感用电流值为 iL(t) 的电流源置换，在的电流源置换，在 置换后的电路中求其它电压电流。置换后的电路中求其它电压电流。5. 对非直流激励电路，则需列微分方程求解对非直流激励电路，则需列微分方程求解 。1. 恒定输入下一阶电路的零状态响应恒定输入

39、下一阶电路的零状态响应RL 一阶一阶电路电路零零 状状 态态 响响 应应时间常数时间常数RC电路电路 = RCRL电路电路t0t0)1()(SCCRteUtu )1()(SLtLReIti （1）全响应）全响应 = 零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应 综合前面两节的分析，一阶电路的叠加原理包含三点：综合前面两节的分析，一阶电路的叠加原理包含三点：（2）零输入响应线性）零输入响应线性 （3）零状态响应线性）零状态响应线性 t 0 t 0 对于一阶电路，指响应与初始状态的比例性。对于一阶电路，指响应与初始状态的比例性。 指响应对某一输入的比例性、对多个输入的叠加性。指响应对某一输入的比

40、例性、对多个输入的叠加性。 响应形式适应于状态变量和非状态变量响应形式适应于状态变量和非状态变量 响应形式只适应于状态变量响应形式只适应于状态变量强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)0)(0 teUUUutSSC uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0(1) 全响应全响应 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式瞬态响应：与激励源、电路结构及参数、储能元件的瞬态响应：与激励源、电路结构及参数、储能元件的初始状态都有关系，变化规律为指数规律。初始状态都有关系，变化规律

41、为指数规律。全响应全响应=瞬态响应瞬态响应+稳态响应稳态响应电路的过渡过程是瞬态响应和稳态响应共存的过程，电路的过渡过程是瞬态响应和稳态响应共存的过程，过渡过程结束时，电路进入稳态。工程上一般认为过渡过程结束时，电路进入稳态。工程上一般认为3-5为过渡时间。为过渡时间。稳态响应：与激励源、电路结构及参数有关，与储能稳态响应：与激励源、电路结构及参数有关，与储能元件的初始状态无关，变化规律与激励源相同。元件的初始状态无关，变化规律与激励源相同。iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=U0iS(t=0)US+uRC+ uCR=uC (0-)=0+uC (0-)=U0C+ uCiS(t=0

42、)+uRR(2) 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC )0()1(0 teUeUuttSC 零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0零输入响应：取决于储能元件的初始状态，与电路结零输入响应：取决于储能元件的初始状态，与电路结构及参数有关，与激励源无关，变化规律为指数规律。构及参数有关，与激励源无关，变化规律为指数规律。实质上是储能元件的指数放电过程。实质上是储能元件的指数放电过程。全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响

43、应零状态响应零状态响应：取决电路的激励源，与激励源、电路结零状态响应：取决电路的激励源，与激励源、电路结构及参数有关，实际上是单独考虑激励源的作用，在构及参数有关，实际上是单独考虑激励源的作用，在电路中产生的瞬态响应和稳态响应之和。电路中产生的瞬态响应和稳态响应之和。 两种分解方式的比较两种分解方式的比较)0()1(0 teUeUuttSC 零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应物理概念清楚物理概念清楚便于叠加计算便于叠加计算 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应全响应全响应 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)强制分量强制分量(稳

44、态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)0)(0 teUUUutSSC 10V电压源单独作用电压源单独作用 1A电流源单独作用电流源单独作用uC(0) = 1V = RC = 1s1 +uC(t)1F1A+iC(t)10Vi(t)1 +uC(t)1F+10V1 +uC (t)1F1AV)(Ctetu t0t0V1(10)(C）tetu V10)(C uV111)(C uV1)(Ctetu t0 各电源在各电源在 t = 0时接入，时接入，uC(0) = 1V，求，求 i (t) ( t 0) 。 各电源在各电源在 t = 0时接入，时接入，uC(0) = 1V，求，求 i (t) ( t

45、0) 1 +uC(t)1F1A+iC(t)10Vi(t)V)(Ctetu V1(10)(C）tetu V1)(Ctetu t0t0t0)()()()(CCCCtutututu ）ttteee 1(1(10V1011te t0A10dd)(CCtetuCti A101)(1)(Ctetiti t0t0tuC(t)11-9i (t)10uOC = 1 + 10 = 11V R0 = 1零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 各电源在各电源在 t = 0时接入，时接入，uC(0) = 1V，求，求 i (t) ( t 0) 1 +uC(t)1F1A+10Vi(t)1 +uC(t)1F+11VV)

46、(Ctetu V1(11)(C）tetu t0t0全响应全响应V1011te t0A101dd1)(CtetuCti t0)()()(CCCtututu 全响应全响应 = 瞬瞬(暂暂)态响应态响应 + 稳态响应稳态响应 稳态稳态瞬瞬(暂暂)态态 由三个参数由三个参数 (三要素三要素)：初始值：初始值 稳态值稳态值 和和时间常数时间常数来来决定决定一阶电路一阶电路、直流激励直流激励下的全响应下的全响应 。 三要素法：对于恒定输入下的一阶电路，只要求出这三要素法：对于恒定输入下的一阶电路，只要求出这三个要素，即可写出全响应的表示式，并可画出其波形。三个要素，即可写出全响应的表示式，并可画出其波形。

47、整理，得全响应的一般表示式整理，得全响应的一般表示式 利用三要素法求得的全响应表示式，适应于状态变量利用三要素法求得的全响应表示式，适应于状态变量和非状态变量。和非状态变量。直流激励下一阶电路的响应均按指数规律直流激励下一阶电路的响应均按指数规律 变化，它们的波形有以下四种情况。变化，它们的波形有以下四种情况。零输入响应零输入响应 y(t) = y(0+) e - -t t/ / t 0 零状态响应零状态响应 y(t) = y( )(1e - -t t/ / ) t 0全响应全响应y( ) y(0+) y(t) = y( ) + y(0+) y( ) e - -t t/ / t 0全响应全响应

48、y( ) y(0+) y(t) = y( ) + y(0+) y( ) e - -t t/ / t 0y(0+)0ty(t)y( )y(0+)0ty(t)y( )0ty(t)y( )y(0+)0ty(t)1. 求初始值求初始值 y (0+) （1）画出）画出 t = 0时的等效电路：求时的等效电路：求 uC(0)、iL(0)；（2）画出）画出 t = 0+ 时的等效电路：时的等效电路： C 用电压值等于用电压值等于 uC(0+) 的电压源置换的电压源置换 L 用电流值等于用电流值等于 iL(0+) 的电流源置换的电流源置换2. 求稳态值求稳态值 y ()（3）在）在 t = 0+ 的等效电路中

49、求各初始值的等效电路中求各初始值 y (0+) ；（1）画出）画出 t 时的等效电路：时的等效电路： C 开路、开路、L 短路短路（2）求稳态值）求稳态值 y ()；3. 求时间常数求时间常数 （1）求动态元件两端看进去戴维南等效电阻）求动态元件两端看进去戴维南等效电阻 R0； （2） RC 电路：电路： = R0C； RL 电路：电路： = L/R0。电电 路路 元元 件件t = 0+ t RR+ U0iC+ uC(0) = 0iC+ uC(0) = U0iR+ uiL(0) = 0+ uLLiL(0) = I0 + uLLI0LLLCCC iL(0+) = iL(0) = 10/2 = 5

50、mA 求图示电路中求图示电路中 t0 时时 1k 电阻的电流。电阻的电流。10V+10mA0.5k1HiL(t)0.5k1kt = 0i (t)t = 0+10V+10mA0.5k0.5k1ki (0+)5mA根据换路定律根据换路定律 用用 5mA 电流源置换电感，电流源置换电感，得得 t = 0+ 时的时的等效电路如图。利用叠加原理，得等效电路如图。利用叠加原理，得mA5105 . 05 . 15 . 02210)0( 5i10mA0.5kiL(0)0.5kt = 0i ( ) = 10/103 = 10mAR0 = 1 / 1 = 0.5 kt 10V+10mA0.5k0.5k1ki (

51、)1k0.5k0.5kR0ms2ms5 . 010 RL i (t) = i ( ) + i (0+) i ( ) e t / t0mA5)0( imA510500te mA)105(10/ te 0t/msi/mA105iL(0+) = 5mA， R0 = 0.5k= 5 e 500t + 15 (1 e 500t) mA = 15 10 e 500t mA t 0 t 010V+10mA0.5k0.5k1ki (t)iL(t)ms2s500/1 mA151021110)(2L iiL(t) = 5 e 500 t mA t0 iL(t) = 15 ( 1 e 500 t ) mA t0)(

52、)()(LLLtititi tiLutiLdd10110)(L t0mA510500te 由由KVLL10k1(t)ui t 10V+10mA0.5k0.5k1ki ( ) 确定确定uC(0+)，uC( ) 和时间常数和时间常数 R2R1 U1C +1+uCU2 + t 0时电路已处时电路已处于稳态，意味着于稳态，意味着电容相当于开路。电容相当于开路。2t=0SV2)0()0(2112CC RRURuuV4)(2122C RRURu 在下图中，已知在下图中，已知U1= 3V，U2= 6V，R1= 1k ， R2= 2k ，C = 3 F，t 0时电路已处于稳态。时电路已处于稳态。用三要素法求用

53、三要素法求 t 0 时的时的 uC(t), 并并画出变化曲线画出变化曲线。 先确定先确定uC(0+)、 uC( )和时间常数和时间常数 R2 U1C +1+uCU2 +2t=0SR1V2)0()0(CC uuV4)(C ums2332C)/(21 RR tuuuu-CCCCe)()0()( V24)(500Ctetu t (s)uC /V402 在下图中，已知在下图中，已知U1= 3V，U2= 6V，R1= 1k ， R2= 2k ，C = 3 F，t 0时电路已处于稳态。时电路已处于稳态。用三要素法求用三要素法求 t 0 时的时的 uC(t), 并并画出变化曲线画出变化曲线。t 0 图示电路

54、中，开关图示电路中，开关K闭合前，电路已处于稳态，闭合前，电路已处于稳态， C=10 F, t = 0时，将开关时，将开关K 闭合，闭合，经经0.4ms再将再将 K 打开，试求打开，试求 t 0 时的时的 uC(t)，画出变化曲线。画出变化曲线。解解(2) uC (0.4ms) = 30 (1 + e 1 ) = 41V uC( ) = = 30V R + rRUS rUS = 2 ( R / r)C = 0.4 msuC(t) = 30 (1+ e 2500t ) V(0 t 0.4ms)即为第二个即为第二个暂态过程暂态过程的初始值。的初始值。uC(t) = uC( ) + uC(0+) u

55、C( )e-t/ 30 Rr_+_+K60 RUS=90VC uCr(1) uC(0+) = uC(0 ) = = 60V R + rRUS = ( r + R/r ) C = 0.5 ms= 60 19 e -2000t + 0.8 VuC( ) = 60V( t 0.4ms )3060410.4t/ms0uC/V)3-10 0.4 -2000(t-Ce)6041(60)( tu30 Rr+_+S60 RE=90VC uCr uC(t) =0 t 0.4ms30 (1+ e 2500t ) V60 19 e 2000t + 0.8 V 0.4ms t uC (0.4ms) = 41V = (

56、 r + R/r ) C = 0.5 ms= 60 19 e -2000t + 0.8 VuC( ) = 60V( t 0.4ms )3060410.4t/ms0uC/V)3-10 0.4 -2000(t-Ce)6041(60)( tuuC(t) =0 t 0.4ms30 (1+ e 2500t ) V60 19 e 2000t + 0.8 V 0.4ms t (1) 变化为变化为 1; (2) 二次换路后初值二次换路后初值 f (t1+) ;(3) e ;t t1 1(4) 写成分段函数。写成分段函数。(设在设在t1时二次换路时二次换路)uC (0.4ms) = 41V0 t 0 (t) =

57、0 t t01 0te(t)t01 0te(t t0)若电源在若电源在 t = t0 时接入电路，可表示为：时接入电路，可表示为：uS(t) = US (t - t0)iS(t) = IS (t - t0)若任一信号在若任一信号在 t =0时接入电路，时接入电路，可表示为：可表示为： uS(t) = f (t) (t)若在若在 t =0 时，开关时，开关K由位置由位置 b a，可表示为，可表示为阶跃函数与电源的乘积阶跃函数与电源的乘积 abAUS+ t = 0K+ 单位阶跃信号作用下的零状态响应称为阶跃响应单位阶跃信号作用下的零状态响应称为阶跃响应S(t)，延时单位阶跃信号作用下的阶跃响应为延

58、时单位阶跃信号作用下的阶跃响应为 S (t-t0)。uS(t) = US (t) 阶跃信号阶跃信号uS(t) = US ( tt0 ) 延时阶跃信号延时阶跃信号US0tuS(t) t00tUSuS(t) f (t) = f1(t) f3(t) = (t) (t 1 )01 tf (t)1 0t1f1 (t)10t1f3 (t)10t 1f2 (t)0t1f1 (t)f (t) = f1(t) + f2(t) = (t) (t 1 )可将分段常量信号表示为一系列阶跃信号之和，例如：可将分段常量信号表示为一系列阶跃信号之和，例如：f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) + f4(

59、t) f(t) = (t) 2 (t 1 ) + 3 ( t 2) 2 (t 3)0t1f1 (t)0tf(t)1 2 3 1 1 2 可将分段常量信号表示为一系列阶跃信号之和，再例如：可将分段常量信号表示为一系列阶跃信号之和，再例如：10t 2 f2 (t)203f3 (t)t30 2f4 (t)t1. 把分段常量信号分解为若干个阶跃信号之和，各把分段常量信号分解为若干个阶跃信号之和，各 阶跃信号分量单独作用于电路，由叠加定理求出阶跃信号分量单独作用于电路，由叠加定理求出 电路的零状态响应。电路的零状态响应。 如果初始状态不为零，再加上零输入响应。如果初始状态不为零，再加上零输入响应。2.

60、把分段常量信号作用于电路的时间分为若干个子把分段常量信号作用于电路的时间分为若干个子 区间，每一区间内输入信号为一常量。用三要素区间，每一区间内输入信号为一常量。用三要素 法求每一子区间的响应，即按时间分段求解。法求每一子区间的响应，即按时间分段求解。 在求解过程中，注意每一子区间初始值的计算。在求解过程中，注意每一子区间初始值的计算。 已知：已知：iS(t) 作用于电路，作用于电路，uC(0) = 0。求：。求：uC(t) t0。iS(t)+uC(t)RCIS 0tiS(t)t0= IS (t) IS (t t0)iS(t) = iS (t) + iS (t)iS (t) = IS (t)