第12.4节二阶线性微分方程

1、微分方程微分方程12.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程 12.4 12.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程 高等数学高等数学 微分方程微分方程12.4 12.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程的一、二阶线性微分方程的形式形式形如形如 ( )( )( )yp x yq x yf x（12.4.112.4.1） 的方程称为的方程称为二阶线性微分方程二阶线性微分方程， 当当( )0f x 时，即时，即 ( )( )0yp x yq x y（12.4.212.4.2） 称为称为二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程， 否则，称为否则，称为二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线

2、性微分方程 对应的二阶齐次线性微分方程对应的二阶齐次线性微分方程方程（方程（12.4.212.4.2）称为）称为二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程(12.4.1)(12.4.1)12.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程高等数学高等数学 微分方程微分方程(f(x) 0)微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程的通解结构二、二阶线性微分方程的通解结构 1 1、二阶齐次线性微分方程解的结构、二阶齐次线性微分方程解的结构 定理定理12.4.112.4.1 1( )y x2( )yx设设和和均是方程（均是方程（12.4.212.4.2

3、）的解，则）的解，则 1 122( )( )yC y xC y x（12.4.312.4.3） 也是方程方程（也是方程方程（12.4.212.4.2）的解，）的解， 其中其中12,CC为任意常数为任意常数 证明：证明： 将（将（12.4.312.4.3）直接代入（）直接代入（12.4.212.4.2）的左端，）的左端， 有有 ( )( )yp x yq x y1 1221 1221 122()( )()( )()C yC yp x C yC yq x C yC y微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程11112222( )( )( )( )Cyp x y

4、q x yCyp x yq x y12000.CC 1( )y x2( )yx通常（通常（12.4.312.4.3）式称为）式称为与与的线性组合的线性组合 1 1221 1221 122()( )()( )()C yC yp x C yC yq x C yC y1 1221 1221 122()( )()( )()C yC yp x C yC yq x C yC y定理定理12.4.112.4.1 1( )y x2( )yx设设和和均是方程（均是方程（12.4.212.4.2）的解，则）的解，则 1 122( )( )yC y xC y x（12.4.312.4.3） 定理定理12.4.112

5、.4.1表明方程（表明方程（12.4.212.4.2）的两个解的线性组合仍是）的两个解的线性组合仍是该方程的解该方程的解 但要注意，虽然（但要注意，虽然（12.4.312.4.3）在形式上含有两个）在形式上含有两个但它却不一定是方程（但它却不一定是方程（12.4.212.4.2）的通解）的通解 1C2C和和任意常数任意常数, ,1122( )( )yC y xC yx1( )y x例如，如果例如，如果是方程（是方程（12.4.212.4.2）的解，）的解，k （为常数）自然也是（为常数）自然也是（12.4.212.4.2）的解，）的解， 由此两个解所构成的解由此两个解所构成的解1121( )(

6、 )C y xC ky x121()( )CC k y x实质上只含有一个任意常数实质上只含有一个任意常数12(),CkC因此，它不是二阶方程因此，它不是二阶方程（12.4.212.4.2）的通解）的通解 21( )( )yxky x则则微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程y事实上，事实上，不是通不是通解解的主要原因是的主要原因是相互独立（即线性无关）的相互独立（即线性无关）的1( )y x2( )yx与与并不是并不是为了解决这一问题，下面引入函数的线性相关与线性无关的概念为了解决这一问题，下面引入函数的线性相关与线性无关的概念21( )( ).yxk

7、y x1122( )( )( )0nnk y xk yxk yx线性相关与线性无关线性相关与线性无关: :使得使得12( ),( ),( )ny xyxyx设设为定义在区间为定义在区间上的上的 个函数，个函数，In在区间在区间 上线性上线性相相关关; ; I12( ),( ),( )ny xyxyx则则称这称这 个函数个函数n12,nk kk如果存在不全为零的常数如果存在不全为零的常数12( ),( ),( )ny xyxyx否则称否则称在区间在区间 上线性无关上线性无关 I微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程)(Ix 显然，显然， 12( ),( )

8、y xyx12( )( )y xkyx 若两个函数若两个函数满足满足（常数），（常数）， 1( )y x2( )yx则则与与线性相关；线性相关； 1( )y x2( )yx否则，称否则，称与与线性无关线性无关 例如，例如， 1( )sin2y xx2( )sincosyxxx函数函数与与是线性相关的，是线性相关的， 因为因为 12( )sin22.( )sincosy xxyxxx1( )siny xx2( )cosy xx而而与与是线性无关的，是线性无关的， 因为因为 12( )sintan .( )cosy xxxyxx微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性

9、微分方程微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程定理定理12.4.2则则 若若12( ),( )y xyx是方程（是方程（12.4.212.4.2）的两个线性无关的解，）的两个线性无关的解， 1122( )( ),yC y xC yxC C12, ( (是任意常数是任意常数) ) 是方程（是方程（12.4.212.4.2）的通解）的通解例如，例如， ye yexx12,yy 0容易验证容易验证 是方程是方程的的， 且且yyeeexxx122常数，常数， 即它们是线性无关的即它们是线性无关的 yy 0因此方程因此方程的通解为的通解为，(12,xxyC eC

10、e C C12,( ( 是任意常数是任意常数) ) 证明：证明：直接验证即可直接验证即可 两个解两个解,， 微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程2 2、二阶非齐次线性微分方程解的结构、二阶非齐次线性微分方程解的结构 定理定理12.4.312.4.3 是其对是其对应的应的齐次线性方程（齐次线性方程（12.4.212.4.2）的通解，）的通解，则则 y设设是非齐次方程（是非齐次方程（12.4.112.4.1） yYy（12.4.412.4.4） 是非齐次线性微分方程（是非齐次线性微分方程（12.4.112.4.1）的通解）的通解 Y而而( )( )( )y

11、p x yq x yf x（12.4.112.4.1） ( )( )0yp x yq x y （12.4.212.4.2） (f(x) 0) 的一个特解，的一个特解， 由定理由定理12.4.312.4.3可知，求二阶非齐次线性微分方程（可知，求二阶非齐次线性微分方程（12.4.112.4.1）的通解，的通解， 关键在于求出它的一个特解和其对应齐次线性微分方程关键在于求出它的一个特解和其对应齐次线性微分方程（12.4.212.4.2）的通解）的通解12.xxYC eC e12xxyC eC ex,yyx例如，对于二阶非齐次线性微分方程例如，对于二阶非齐次线性微分方程由前面由前面,yx 又容易验证

12、又容易验证是该方程的一个特解，是该方程的一个特解，C C12,( ( 是任意常数是任意常数) )yyx是方程是方程 的通解的通解的的通解为通解为0yy已知其对应的齐次线性微分方程已知其对应的齐次线性微分方程故故微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程定理定理12.4.412.4.4 1( )( )( )yp x yq x yf x2( )( )( )yp x yq x yfx与与1y2y设设分别是方程分别是方程与与的解，的解， 则则12yy是方程是方程 12( )( )( )(

13、)yp x yq x yf xfx的解的解 另外，还可以用直接验证的方法证明下面定理另外，还可以用直接验证的方法证明下面定理三、二阶常系数齐次线性微分方程三、二阶常系数齐次线性微分方程形如形如 0ypyqy （12.4.512.4.5） 的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p q,为常数为常数 由观察法我们推测方程有形如由观察法我们推测方程有形如xye 的解，的解， 将将xye 代入方程（代入方程（12.4.512.4.5）并化简得）并化简得2()0,xpq e 因因0 xe ， xye 故故是方程的解的充分必要条件是是方程的解的充分必要条件是微

14、积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程 为二次方程为二次方程 20,pq （12.4.612.4.6） 的根的根 称（称（12.4.612.4.6）为方程（）为方程（12.4.512.4.5）的）的特征方程特征方程，而称其根为，而称其根为因因0 xe ， xye 故故是方程的解的充分必要条件是是方程的解的充分必要条件是特征根特征根 0ypyqy （12.4.512.4.5） 2()0,xpq e 微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程设设

15、12,为方程（为方程（12.4.512.4.5）的两个特征根）的两个特征根, , 1、若若12,是两个不相等的实根是两个不相等的实根则则12,xxee （12.4.512.4.5）的两个线性无关的解，）的两个线性无关的解， 是方程是方程故方程的通解为故方程的通解为 yC eC exx1212（12,C C为任意常数）为任意常数） 根的不同情况分三种情形讨论根的不同情况分三种情形讨论 下面根据特征下面根据特征2、若若12是两个相等实根是两个相等实根微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微

16、分方程2、若若12是两个相等实根，是两个相等实根， 则则1xye 是方程的一个解，是方程的一个解， 2.y性无关的特解性无关的特解设设21( )yu xCy，即，即21( )( )xyy u xeu x 下面求下面求( )u x 将将 2,xyeu 2( )xyeuu ， 22 ( 2),xyeuuu y1一个与一个与还需求出另还需求出另线线代入方程（代入方程（12.4.512.4.5），并化简得），并化简得微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程代入方程（代入方程（12.4.512.4.5），并化简得），并化简得2(2)() 0 xeup upq u 将

17、将 2,xyeu 2( )xyeuu ， 22 ( 2),xyeuuu 0ypyqy （12.4.512.4.5） 因为因为ex 0， 而而为特征根且为重根，为特征根且为重根， 所以有所以有 20pq20p 及及 , ,于是得于是得 0u 积分两次得积分两次得 12.uD xD 微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程, ,于是得于是得 0u 积分两次得积分两次得 uD xD12因为这里只需要得到一个不为常数的解因为这里只需要得到一个不为常数的解u， 故取故取 121,0,DD对应得对应得ux， 由此得由此得 （8.4.58.4.5）的另一个特解）的另一个

18、特解2,xyxe y1y2与与线性无关，线性无关， 由由定定理理12.4.212.4.2得方程（得方程（12.4.512.4.5）的通解为）的通解为 yCC x ex()1212,C C（为任意常数）为任意常数） 1,xye 21yxCy微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程3 3、若若1 2 ,i 一对共轭复根一对共轭复根则则 ()()12ixixyC eC e cossinixexix由欧拉公式由欧拉公式另取（另取（12.4.512.4.5）的两个线性）的两个线性无关解为无关解为 ()()112ixixyee1(cossin)(cossin)2xxe

19、xixexix为方程（为方程（12.4.512.4.5）复数形式的解）复数形式的解 由于这种复数形式的解在应用时不方便，在求解实际问题时，由于这种复数形式的解在应用时不方便，在求解实际问题时，常常需要实数形式的通解为此，常常需要实数形式的通解为此， 微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程()()212ixixyeei1(cossin)(cossin)2xxexixexixsin.xex 则得方程（则得方程（12.4.512.4.5）实数形式的通解）实数形式的通解 1 122,yC yC y()()112ixixyee1(cossin)(cossin)2x

20、xexixexixcos.xex 方程（方程（12.4.512.4.5）实数形式的通解）实数形式的通解为为12(cossin),xyeCxCx 12,C C（为任意常数）为任意常数） 则得方程（则得方程（12.4.512.4.5）实数形式的通解）实数形式的通解 1 122,yC yC y2sinxyex 1cos,xyex 将将 代入得代入得微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程例例12.4.112.4.1 求求230yyy的通解的通解 解解 微分方程对应的特征方程为微分方程对

21、应的特征方程为2230， 解得其特征根为解得其特征根为121,3 故所求通解为故所求通解为312.xxyC eC e440yyy(0)2 ,(0)4yy 例例12.4.2 12.4.2 求求满足满足的特解的特解解解 微分方程对应的特征方程为微分方程对应的特征方程为 2440解得其特征根为解得其特征根为122 ， 微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程故方程的通解为故方程的通解为 212().xyCC x e由条件由条件(0)2 ,(0)4yy ， 可得可得122,0.CC 故所求特解为故所求特解为22xye 例例12.4.312.4.3 求求 250yy

22、y 的通解的通解解解 微分方程对应的特征方程为微分方程对应的特征方程为 2250， 其根为其根为 1,212i ， 所求通解为所求通解为 12(cos2sin2 ).xyeCxCx解得其特征根为解得其特征根为122 ， ),(21为为任任意意常常数数CC),(21为为任任意意常常数数CC微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程通解的具体步骤如下：通解的具体步骤如下：第第一步一步 写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程 20pq； 第二步第二步 求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根 12, ； 第三步第三步 根据特征方程的两个根的不同情形，按照下表

23、写出微分根据特征方程的两个根的不同情形，按照下表写出微分求二阶常系数齐次微分方程求二阶常系数齐次微分方程ypyqy 0方程的通解：方程的通解：微分方程微分方程0ypyqy的通解的通解 20pq12, 特征方程特征方程的两个根的两个根两个不相等的实根两个不相等的实根12两个相等的实根两个相等的实根12一对共轭复根一对共轭复根 1,2i1212xxyC eC e12()xyCC x e12( cossin)xy eCx Cx第三步第三步 根据特征方程的两个根的不同情形，按照下表写出微分根据特征方程的两个根的不同情形，按照下表写出微分 方程的通解：方程的通解：微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8

24、.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程四、二阶常系数非齐次线性微分方程四、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是( )ypyqyf x（12.4.712.4.7） 通解可表示为通解可表示为yYy， 方程的通解，方程的通解， 其中，其中，Y是其对应齐次线性微分是其对应齐次线性微分而而y非齐次线性微分方程的一个特解非齐次线性微分方程的一个特解 一般一般非齐次线性非齐次线性微分方程（微分方程（12.4.712.4.7）的特解与右端函数）的特解与右端函数(

25、 )f x有关，有关， 由解的结构定理由解的结构定理12.4.312.4.3，非齐次线性微分方程（，非齐次线性微分方程（12.4.712.4.7）的）的 而在一般情况下求（而在一般情况下求（12.4.712.4.7）的特解是非常困难的，）的特解是非常困难的，微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程( )( )xmf xP x e 1 1、*( )xyQ x e 推测推测)(xQ（其中（其中为待定的多项式）是（为待定的多项式）是（12.4.712.4.7）的特解的特解将将*( )xyQ x e 代入方程（代入方程（12.4.712.4.7），）， 化简整理后

26、，得化简整理后，得 2( ) (2) ( ) () ( )( )mQ xp Q xpq Q xP x （12.4.812.4.8） ( )ypyqyf x（12.4.712.4.7） ( )f x的两种特殊情形进行讨论的两种特殊情形进行讨论因此以下仅对因此以下仅对( )mP xm（其中其中是常数，是常数，为为次多项式）次多项式） 要使等式恒成立，两边的多项式次数相同且同次幂的系数也相等要使等式恒成立，两边的多项式次数相同且同次幂的系数也相等 （1 1）若若不是特征不是特征方程的方程的根根 ， m为为次多项式，次多项式， )(xQm可知可知也应为也应为( )mQx次多项式次多项式 可设可设 *(

27、 ).xmyQx e 2( ) (2) ( ) () ( )( )mQ xp Q xpq Q xP x （12.4.812.4.8） 要使等式恒成立，两边的多项式次数相同且同次幂的系数也相等要使等式恒成立，两边的多项式次数相同且同次幂的系数也相等 于是，根据于是，根据是否为方程是否为方程(12.4.7)(12.4.7)对应齐次方程的特征方程对应齐次方程的特征方程20pq 的特征根分三种情况考虑：的特征根分三种情况考虑： ( )mpx注意到（注意到（12.4.812.4.8） 式中式中即即有有20pq微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程微积分微积分 微分

28、方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程此时（此时（12.4.812.4.8）式左边的）式左边的( )Q xm也应为也应为次多项式，次多项式， 可设可设( )( ),mQ xxQx 从而从而 *( ).xmyxQx e （3 3）若若是是特征方程特征方程的的二重根二重根此时此时(12.4.8)(12.4.8)中的中的( )Q x应为应为 m 次多项式，次多项式，因此可设因此可设 *2( ).xmyx Qx e （2 2）若若是是特征方程特征方程的的单根单根即即有有20, 20,pqp20, 20,pqp 即即有有综上所述，当综上所述，当( )( )xmf xPx e 时，时

29、， 分方程（分方程（12.4.712.4.7）具有）具有*( ),kxmyx Qx e 的特解，的特解， ( )mQxm其中其中是一个待定的是一个待定的次的多项式，次的多项式， k而而 按按不是特征方程的根，不是特征方程的根， 是特征方程的单根或是特征方程的重根是特征方程的单根或是特征方程的重根0 0，1 1 或或 2 2 依次取依次取形如形如 ( )ypyqyf x（12.4.712.4.7） 微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程2 2、( )( )cos( )sinxln

30、f xeP xxP xx ()lPx( )nPxln、分别为分别为次及次及次多项式次多项式 可以证明可以证明方程（方程（12.4.712.4.7）具有形如）具有形如 *( )cos( )sinkxmmyx eQxxRxx （12.4.912.4.9） 的特解，的特解， )(xQm)(xRmm其中其中、是是次待定多项式，次待定多项式， ,max nlm ； ki而而按按不是特征方程不是特征方程 的特征根、的特征根、 01或或依次取依次取根据根据( )f x的两种形式，将特解形式列表如下：的两种形式，将特解形式列表如下： 上式上式 均为常数，均为常数， , 或是特征方程单根，或是特征方程单根， 的

31、形式的形式条件条件 特解形式特解形式 是特征方是特征方程的单根程的单根 不是特征不是特征方程的根方程的根 是特征方是特征方程的重根程的重根 是特征根是特征根i 不不是特征根是特征根i( )( )xmf xpx e ( ) ( ) cos( )sinxlnf xep xxp xx ( )ypyqyf x ()xmyQx e ()xmyxQx e 2()xmyx Qx e ( )cos( )sinmax ,xmmyeQ xx R xxml n ( )cos( )sinmax ,xmmyxeQ xxR xxml n ( )f x 微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性

32、微分方程微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程例例12.4.412.4.4 求求32xyyyxe的通解的通解解解 ( )xmpx e 本题中本题中为为型，型， 其中其中( ),1,mp xx对应齐次线性微分方程的特征方程为对应齐次线性微分方程的特征方程为2320,解得特征根解得特征根121,2, 对应齐次线性微分方程的通解为对应齐次线性微分方程的通解为 212,xxYC eC e又因为又因为1是特征单根，是特征单根， 而而( )mpxx为一次多项式，为一次多项式， 故可设原方程的一个特解为故可设原方程的一个特解为 *().xyx AxB e 12,C C

33、（为任意常数）为任意常数） xxexf )(微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程代入原方程得代入原方程得 22AxABx， 比较同类项系数有比较同类项系数有 2120AA B 解之得解之得1,12AB ， 非齐次方程的一个特解为非齐次方程的一个特解为 *1(1).2xyxxe 故所求通解为故所求通解为 2121(1)2xxxyC eC exxe设特解为设特解为 yx AxB ex*()12,C C（为任意常数）为任意常数） 微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程例例12.4.512.4.5 求求222yyyx的通

34、解的通解解解 ( )xmpx e本题中本题中为为型，型， 其中其中2( ),0.mpxx 对应齐次线性微分方程的特征方程为对应齐次线性微分方程的特征方程为 2220,解得特征根解得特征根1,21 i ， 从而对应齐次线性微分的通解为从而对应齐次线性微分的通解为 12(cossin ),xYeCx Cx 又因为又因为 0不是特征根，不是特征根， 而而2( )mpxx为二次多项式，为二次多项式， 故设方程的特解为故设方程的特解为 *2.yAxBxC2)(xxf 微积分微积分 微分方程初步微分方程初步8.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程代入原方程得代入原方程得2222(2)2(),AxA B xA B Cx 比较同类项的系数有比较同类项的系数有212(2)02()0AABABC 解该方程组得解该方程组得11,1,22ABC ， 所以所以*21122yxx为原方程的一个特解，为原方程的一个特解， 故所求方程的通解为故所求方程的通解为 21211(cossin ).22xyeCx Cxxx 故可设原方程的一个特解为故可设原方程的一个特解为 *2.yAxBxC 12,C C（为任意常数）为任意常数） 微积分微积分 微分方程初步微分方