第四节多元复合函数的求导法则

1、第四节多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算 重点：各种类型复合函数的求导与计算。难点：抽象函数的二阶偏导数计算。作业：习题 8 4(P36)2,4,6,82)3),10,1 12),122)3)4),13一.多个中间变量，一个自变量情况定理1如果函数u 及v (t)都在点t可导，且函数z f(u,v)在对应点具有连续偏导数，则复合函数z f (t), (t)在点t可导，且其导数公式为dz二曳二dv(全导数)dt u dt v dt证明 设t有增量t,相应函数u (t)及v的增量为u, v ,此时函数zf (u,v)相应获得的增量为z.又由于

2、函数zf(u,v)在点(u,v)处可微，于是由上节定理3证明有这里，当u 0, v 0时，10, 20,上式除以t得当所以zfuftutvt 0时，u0,vdzzfdulimdtt 0 tudtdz f du f dvv u v12t1 t2 t0 u du v't dt , tf dv,即v dtz du z dvdv dtdt u dt v dt u dt v dt此时，dz 二曲 Cdv从形式上看是全微分 dt u dt v dtdzzdu ©dv两端除以dt得到 u v的，常将dz称为全导数.dt推论若 z f(u,v,w), u (t) , v(t) , w w(t

3、)复合而的复合函数z f (t), (t),w(t)满足定理条件，则有全导数公式例1 .设函数u xy ,而x et , y sint ,求全导数- dtdu u dx u dy y 1 t 八t tsint用牛 yx e x ln xcost e (sin t tcost).dt x dt y dt二.多个中间变量，多个自变量情况定理2若u (x,y)及v (x, y)在点(x, y)具有偏导数，而函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z f (x, y), (x, y)在点(x, y)两个偏导数存在，且有公式例2.设函数z3x22zy , v 4x 2y,求xz

4、v vuv x16xuv ln u 4一- 一 22y(4x 2y)(3x2、4x 2y 122、4x 2y2y ) y 2(3x y ) y ln(3x注意 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下:首先从自变量z向中间变量u,v回两个分枝，然后再分别从 u,v向自变量x,y回分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数.求 -x(-)时，我们只要把从z到 yx (y)的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到z z u z v一,x u x v x y u y v y推论1.设函数u (x, y) , v (x,y) , w w(x, y)在点(x, y)有偏导数，而函

5、数z f(u,v,w)在对应点(u,v,w)偏导数连续，则复合函数zf (x, y), (x, y),w(x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在，且有公式zzuz vzwzzuzv-;xuxv xwxyuyvy推论2.设函数u (x,y)具有偏导数，而函数zf(u,x, y)可微，则复合函数z f (x, y), x, y在点(x, y)偏导数存在，且有公式L;x注意二与f区别：x x-z是把函数f (x, y),x, y中的y看成常数，对x求偏导,x-f是把f (u,x, y)中u, y看常数，对x求偏导. x前者是复合后对x的偏导数，后者是复合前对x的偏导数.例3.设函数u f (x,

6、 y, z)ex2 y求和.x22xe2 _2 y zx2 y22ze y2xsin y2(y4x2 y2 xx sin ycosy)esin2 y例4.设函数uvsint ,v cost求全导数. dt解dz二名 dt u dtvetz dv v dtu( sint)costet(costsin t) cost .例5.设抽象函数zf(x22 xy y，e ),其中f偏导数连续，求其中flz uu x f(u,v)z，其中u x2 v xf z f(u,v) f 2v vxyv e ,.复合函数的二阶偏导数若函数 z f (u, v) , u (x,y) , v(x,y)二阶偏导数连续，则复

7、合函数z f (x,y), (x, y)存在二阶偏导数.2t 己万 f112 , f12u2z，f21u vf22例6.设复合函数z f(2x其中f (u,v)对u,v具有二阶连续偏导数,2求一x y2 f1 f2y2(储3fl2(1_xf2 -(f2 3 f22(4)yy6fii与22 y3y 2x /2 f12 y练习题设函数z其中f(u,v)对u,v具有二阶连续偏导数,2x3yfnWf22 xyfi21 _f2 2xG)复合函数求偏导数步骤：(1)搞清复合关系一一画出复合关系图；(2)分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量;(3)对某个自变量求导,应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量

8、而最例7.设复合函数w f (x后归结到该自变量.y z, xyz),且f具有二阶连续偏导数，求, xyzf2fiixy2zf22(xy yz) f21yf2 .例8.设函数f (x,y)的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标形(1)(上)2 x2u2x2u2 y解 (1)直角坐标与极坐标关系x r cos , y r sin这里u f(x, y)看作由函数uF(r,)及x2y2 ，,y arctan, x复合而成的复合函数，按复合函数求导公式，得u cosx ru sin)其中r cosrcos2 y -2 x2y2ysin r同理其中u-sin ru cos，ryx2yrsin上边

9、两式平方后相加,同理sinx2 y2 xcos， r(-)2xu)2 y(-)2r(上)2. r2(2) -u yu、 r上边两式相加得四.全微分形式不变形设函数z f(u,v)具有连续偏导数，则全微分dz -zdu -zdv,若函数u(x, y) , v (x, y)有连续偏导数，则复合函数f( (x, y),(x, y)的全微分为可见无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性例9.利用全微分形式不变性求微分dz d(eusinv),其中 u xy, v x y.解 因为 dz d(eu sin v) eu sin vdu eu cosvdv又因为 du d(xy) ydx xdy , dv d(x y) dx dy,