抛物线经典性质的总结

1、抛物线抛物线ly( fl2 2px p 0)y(A2p2px0)x(y 102 2py p 0)上 xlx2 (F y2py )0)LlO/F定义平向与一个定点F和一条定直线l日勺距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。m |mf点M到直线l的距离围x0,y Rx 0,y Rx R, y 0x R,y 0对称性关于x轴对称关于y轴对称隹百八、八、仁,0)(以0)吟(0U)焦点在对称轴上顶点0(0,0)离心率e=1准线程x号x_p2y 1y 1准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2焦点到准P线的跑离焦半径A(xi, yi)AF x1 -2

2、AF Xi 2AF yi pAF yi p焦点弦长1ABi(Xi X2) p(Xi X2) p(yi y) p(yi y2) p焦点弦AB的几条性质A(xi, yi)BM, y2)yA Xi, %以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为，则|AB|2Psin若AB的倾斜角为 ，则|AB 22cos2P2XiX2y1y2P4ii AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切线程y°y p(x X。)y°yp(x Xo)XoXp(y y。)XoXp(y y。)Word资料1.直线与抛物线的位置关系直线，：沙=出+於抛物线/，y -Jcx-b/Q = 2内

3、消y徨 PP+2鲤-p)工4=0 y 1 rzj y(1)当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2)当 kw0 时，A >0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；&0,直线l与抛物线相切，一个切点；A<0,直线l与抛物线相离，无公共点。(3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)(4)2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理法直线l ： y kx b 抛物线=2尹，忤o)联立程法：y kx b 2 222k x 2(kb p)x b 0y 2px设交点坐标为A(x1，y1)，B(x2, y2),则有 0,以及x1 x2,xx2,还可

4、进一步求出yi y2 kxi b kx? b k(x x2) 2b,22yy2 (kx b)(kx2 b) k x kb(x1 x2)b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长AB| d k2|x1 x2| Ji k2(x1 x2)2 4x1 x2 V1 k2 y-j-或 ABIJ1力 y1y2 J17rV(y1y2)24 yly2V1k 2 ykkVk|ab.中点 M(xo,y0), Xo x-x2 , yo -y1一y2 22点差法：设交点坐标为A(xi,yi), B(X2,y2),代入抛物线程，得yi2 2pxiy 2 pX2将两式相减，可得(y1 y2)

5、(y y) 2p(x1 X2)yy2 2pxi x2yi y2a.在涉及斜率问题时，kAB上一yi y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M (xo, yo),yi y 2p 2p pxi x2 yi y2 2 yo yo即 kAB 2 , yo同理，对于抛物线x2 2 py( p o),若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(xo,yo)是弦AB的中点,则有kABxi x22p2xoxo2pp(注意能用这个公式的条件：i)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜 率存在，且不等于零)一、抛物线的定义及其应用例i、设P是抛物线y2 = 4x上的一个动点.求点P到点A(i,i)的距离

6、与点P到直线x= i的距离之和的最小值;(2)若 B(3,2),求|PB|十|PF|的最小化例2、(2011 高胃设M(x0, y0)为抛物线C: x2 = 8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值围是()A. (0,2)B. 0,2 C. (2, +oo) D. 2, +oo)二、抛物线的标准程和几性质例3、抛物线y2 = 2px(p>0)的焦点为F,准线为1,经过F的直线与抛物线交于A、 B两点，交准线于C点，点A在x轴上，AKX1,垂足为K,若|BC| = 2|BF|,且|AF| =4,则AKF的面积是( )A. 4B. 3小

7、C. 4/D. 8例4、过抛物线y2= 2Pxs>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线1于点C,若|BC| = 2|BF|,且|AF| = 3则此抛物线的程为（）A. y2= 3xB. y2=9xC. y2=2xD. y2=3x三、抛物线的综合问题例5、(2011 高岑已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2啦的直线交抛物 线于 A(x1，y1)，B(x2, y2)(x1<x2)两点，且 |AB|=9.求该抛物线的程；uuu uuu uuu(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC= OA+ QB,求油勺值.例6、(2011 高为13分)已知平面一动点P

8、到点F(1,0)的距离与点P Uy轴的距 离的差等于1.求动点P的轨迹C的程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线11, L设11与轨迹C相交于点A, B, uuu uuu12与轨迹c相交于点d, E,求AD EB的最小值例7、已知点M(1, y)在抛物线C: y2=2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F1的距离为2,直线1: y= 2x+b与抛物线C父于A, B两点.(1)求抛物线C的程；若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的程.练习题1 .已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线 y2 x2 = 2的上焦点，则 a等于()A. 1B. 4C. 8D. 162.抛物线y= 4x

9、2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是 ().17A.16-15B.- 167C -1615 D -16A, B是该抛物线上的两点，|AF|3 . (2011 高岑已知F是抛物线y2 = x的焦点，十 |BF = 3,则线段AB的中点到y轴的距离为 ()3A.4 B 15C47D.44 .已知抛物线y2 = 2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ()A.相离B.相交C.相切D.不确定5 . (2012 检测已知F为抛物线y2=8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于 A 、 B 两点， 则 |FA|FB|的值等于()A. 4应B. 8 C. 8噂D. 166 .在丫

10、= 2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P的坐标是A. ( 2,1)B. (1,2) C. (2,1)D. (1,2)7 . (2011 高考设抛物线的顶点在原点，准线程为x=2,则抛物线的程是()A. y2= 8xB, y2=8x C. y2= 4xD. y2 = 4x8 . (2012 永州模拟以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的 圆的程为-9 .已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(-3, m)到焦点的距离是5,则抛物线的程为 10 .已知抛物线y2=4x与直线2x+ y 4 = 0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F

11、,那么 | FAr | 十| FBu | =.11 .过抛物线y2 = 4x的焦点作直线交抛物线于 A(x1 , y1), B(x2, y2)两点，若x1+x2 = 6,那么 |AB|等于12 .根据下列条件求抛物线的标准程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x2- 9y2=144的左顶点；过点P(2, -4).213 .已知点A(1,0), B(1, 1),抛物线C： y=4x, O为坐标原点，过点A的uuuu动直线l交抛物线C于M, P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OMuuu九与OP的夹角为,求POM的面积.参考答案:一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为 F

12、(1,0),准线是x= 1.由抛物线的定义知：点P到直线x= 1的距离等于点P到焦点F的距离. 于是，问题转化为：在曲线上求一点P,使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0) 的距离之和最小.显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|,即为。5. (2)如图,自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB| 十 |PF 引P1 B| 十 |P1Q| = |BQ| = 4.即|PB| 十 |PF的最小值为 4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为 p,即p=4,根据已 知只要|FM|>4即 可.根据抛物线定|FM| = y0 + 2由y0+

13、2>4,解得y0>2 ,故y0的取值围是(2, + °°).二、抛物线的标准程和几性质例3、设点A仅1, y。，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为 B.则有|BF=|BB|;又 |CB| = 2|FB|,因此有 |CB| = 2|BB|, cos/ CBBBB：;1, / CBB |BC| 2PPP7tL=3.即直线AB与x轴的夹角为3.又|AF|=|AK| = xi + 2 = 4,因此y1 = 4sin§ = 243,11因此 AKF的面积等于习AK| y1=万W X2g3 = 443.例4.分别过点A、B作AAi、BB垂直于l

14、,且垂足分别为Ai、Bi,由已知条件|BC| 二 2|BF|得|Bq = 2|BB|, ./BCB = 30° , 31AAi|= |AF| = 3, . |AC| = 2|AAi|=6,.|CF|=|AC| |AF| = 6 3 = 3, . F 为线段 AC 的中点.故点1 30F到准线的距离为p=2|AA1| = 2,故抛物线的程为y=3x.三、抛物线的综合问题例5、(1)直线AB的程是丫=2/仅22),与y2=2px联立，从而有4x2 5px+ p25p=0,所以：必十先二了，由抛物线止乂得：|AB|= x+ x?+p = 9,所以p = 4,从而抛物线程是y2 = 8x.(

15、2)由 p = 4,4x? 5px+p2=0 可简化为 x? 5x+ 4=0,从而 x = 1, x2 = 4, y1= 2啦，y2 = 4啦，从而 A(1, 一2啦)，B(4,4V2);设戕=仅3, y3) = (1, 272)+ 乂4,4啦)=(4 入 + 1,4也入2V2).又 y3= 8x3, 即2点(2入1)2=8(4 计 1).2即(2人1)=4入+ 1.解得人=0,或入=2.例6、(1)设动点P的坐标为(x, y),由题意有y一x 1 2+y2 |x|=1.化简得y2= 2x+2|x|.当 x>0 时，y2 = 4x;当 x<0 时，y = 0.所以，动点P的轨迹C的

16、程为y2=4x仅>0)和v= 0(x<0) .由题意知，直线11的斜率存在且不为0,设为k,则11的程为y=k(x1).由y=k x1y2_4x，得 k2x2 (2k2+4)x+k2=0.(7 分)4设A(x1，y1)，B(x2, y2),则x1，x2是上述程的两个头根，于是 x + x2=2+k2, x1x2=1.(8 分)因为112,所以12的斜率为一1. 设D(x3, y3), E(x4, y4),则同理可得 k2x3+x4=2+4k, x3x4=1.=(x1+ 1)(x2+ 1)+(x3+ 1)(x4+ 1)k2-12=16.k二x1x2+ (x1 +x2)+ 1 + x3

17、x4+ (x3+ x4)+1(11 分)42211 + (2+”)+ 1 + 1 + (2 + 4k)+1=8 + 4(k +2)>8 + 4X22 1 r 一 一uuu uuu.当且仅当k2 = Q 即k=±1时，AD EB取最小值16.例7、(1)抛物线y2=2px(p>0)的准线为x= 2,由抛物线定义和已知条件可知P P一一一一 C|MF|=1 ( 2)=1+2=2,解得p=2,故所求抛物线C的程为y2=4x.1. y= -3+ b,_2(2)联立2消去x并化简整理得y + 8y 8b = 0.y2=4x依题意应有 1 64+32b>0,解得 b>2.

18、设 A(xi , y4, B(x2,幻,则 ydy2_ 、n、 _. _ xi + x2y1 + y2=-8, y1y2= - 8b,设圆心 Q(x0, y0),则应用 x0 = 2 ， y0= 2 = - 4.因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r=|y0| = 4.又 |AB| = xi X22+yi y21 + 4、一y二 邓yi + y2 24yy=勺5 64 +32b8 所以 |AB| = 2r = y64T32b = 8,解得 b=5.48所以 Xi + x2= 2b 2yi + 2b 2y2= 4b+16= _ ,5则圆心Q的坐标为(5，4).故所求圆的程为仅一万)，(

19、y+ 4)2= 16.练习题:1. C.解析：根据抛物线程可得其焦点坐标为(0, a),双曲线的上焦点为9,2),_, a -依题意则有4 = 2解彳3a=8.2 y12. B.解析：抛物线程可化为xx-12x+ 4 = 0.设 A(X1, y。，B(X2, yz),则 |FA|FB|= |(xi2)(xz+2)| = |X1 X2| =yj (x1 + X2)2 - 4x1X2 = U144 - 16 = 8t2.6. B.解析：如图所示，直线l为抛物线y=2x2的准线，F为其= 4,其准线程为y = 16.设M(X0, y0),则由抛115物线的止乂，可知16 yo=1? y。： 16.3

20、. C.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB中点到y轴的距离、，111 3 1 5为：2(AFI+IbH)-4=2-4=74. C.解析：设抛物线焦点弦为AB,中点为M,准线l, A1、B分别为A、B在1直线l上的射影，则|AA1|=|AF|, |BB| = |BF|,于是M到l的距离d =2(AA + |BB|)1_1= 2(|AF| + |BF|)= 21AB=半径，故相切.»，、叱一，、，»，、，t y=x2,2 r 一5. C.斛析：依题思F(2,0),所以直线程为y = x 2由2 &，洎去丫得焦点，PN±l, ANl,由抛物线的定

21、义知，|PF|=|PN|, .IAPI+IPFmIAPI+IPNI>|ANi|,当且仅当A、P、N三点共线时取等号. P点的横坐标与A点的横坐 标相同即为1,则可排除A、C、D.答案：B7 . B.解析：由准线程x= 2,可知抛物线为焦点在x轴正，半轴上的标准程， 同时得p=4,所以标准程为 y2=2px = 8x8 .解析：抛物线的焦点为F(0,4),准线为y= 4,则圆心为(0,4),半径r=8.所 以，圆的程为x?+(y 4)2= 64.2 a9.解析：设抛物线程为x=ay(aw0),则准线为y= -4/. Q(-3, m)在抛物线a上，；9=am.而点Q到焦点的距离等于点 Q到准线的距离，|m (4)|=5.将m = ?代入，得|*+3| =