《数值计算方法》试题集及答案(1-6)2

1、计算方法期中复习试题、填空题:1、已知f(1)1.0, f(2) 12 f(3) 1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得31 f(x)dx，用三点式求得f答案：2.367, 0.252、f(1)1, f(2)2, f(3) 1 ,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为11答安 1L2(x)-(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) -(x 1)(x2)3、近似值x* 0.231关于真值x 0.229有(2 )位有效数字;4、设f(x)可微，求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()；xn f(xn )xn 1 xn答案1 f (xn)35、对 f(x)x x 1,差商

2、f0,123(1),f0,1,2,3,4(0)；6、计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入 )误差;7、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分 n次后的误差限为)；8、已知f(1)=2, f(2) = 3, f(4) = 5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15 );11、两点式高斯型求积公式11 .1 r .3 1'310fa*。" 2f(17T) f(17T),代数精12、度为(5);为了使计算y 10达式改写为(310(44(x 1)216t)t)t,t 二6(x 1)3的乘除法次数尽量地少,应将该表,为了减少舍入误差，应将

3、表达式V2001 4999 改写为 <2001 J1999313、用二分法求方程f(x) x x 1 0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为 0.5, 1，进行两步后根的所在区间为0.5, 0.75。114、计算积分0.5、xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 .用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309 ,梯形公式的彳t数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3 015、设 f(0) 0, f(1) 16, f(2) 46,则 11(x) k(x) x(x 2)_, f(x)的二次牛顿插值多项式为_N2(X)16x 7x(x 1)_0bnf (x)dxAk

4、f(xk)16、求积公式ak 0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n 1)次代数精度。5f(x)dx17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求1=(12)一3.19、如果用二分法求方程x x 4(10)次。3xS(x)1/八 3/八2-(x1)a(x1)20、已知2a=(3), b= (3),18、 设 f(1)=1, f=2, f (3)=0,用三点式求 f (2.5 )。0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分0 x 1b(x 1) c 1 x 3是三次样条函数，则c= (1)。21、l0(x), l1(x), ,ln(x)是以整数点x0

5、, x1, ,xn为节点的Lagrange插值基函数，则nnlk(x)xklj(xk)k 0(1), k 0n(x4 x23)lk(x)42k 0( x x 3)022、区间a,b上的三次样条插值函数S(均在 数。(xj),当 n 2 时a,b上具有直到 2阶的连续导1)的形式，使计算结果较精确23、改变函数 f (x) x xx ( x2724、若用二分法求方程f x 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对S x25、设a= 3 , b= -3, c=126、若用复化梯形公式计算o1e0dx,要求误差不超过10 ,利用余项公式估计,至少用分10 次2x3, 0 x 132x a

6、x bx c，1 x 2是3次样条函数，则477个求积节点27、若 f(x)3x4 2x 1 ,则差商 f2,4,8,16,3228、数值积分公式2。选择题121f (x)dx -f( 1) 98f(0)f (1)的代数精度为1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B )A. 2 B. 5 C. 3D. 42、舍入误差是(A )产生的误差。A.只取有限位数B .模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值3、3.141580是冗的有(B )位有效数字的近似值。A. 6B. 5C. 4D. 74、用1+x近似表示ex所产生的误差是( C)误差。A.模型 B.观测C.截断

7、D.舍入x5、用1 + 3近似表示3所产生的误差是(D )误差。A.舍入 B.观测 C.模型 D.截断6、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A. 5B. 6 C. 7D. 87、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )。A.-0. 5 B. 0. 5 C. 2 D. -28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A. 3 B. 4 C. 5 D. 29、( D )的3位有效数字是0.236X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-2(C) 235.418 (D) 23

8、5.54X 10- 110、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x= (x),则f(x)=0的根是(B )。(B) y=x与y= (x)交点的横坐标(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x与y= (x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B)，牛顿插值多项式的余项是(C )。(A) f(x,x0,x1,x2,xnx®(x x2) (x xn 1)(x xn),Rn(x) f (x)(B)f(n 1)()R(x)( (n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,Rn(x) f (x)(D),xn)(x)(x x

9、1)(x x2)(x xn 1)(xxn),f (n 1) ()Pn(x)n1(x)(n 1)!12、用牛顿切线法解方程f(x)=0 ,选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(x0)f(x) 0(C)f(%)f(x) 0(D)f(x”(x) 013、为求方程x3-x2-1=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A2 x(A)1，一，,，迭代公式：xk 1x 1_1_x xk1x(B)4,迭代公式:xk1 x1xk3(C)xx2,迭代公式:xk

10、1(12、1/3 xk)3 x(D)x2,迭代公式：xk 12 xkxk14、在牛顿-柯特斯求积公式:bf(x)dx a(ba)(n)中，当系数Ci是负值时,x00.511.5212.5f(x)-2-1.75-10.2524.25(4) n所确定的插值多项式的次数是(0(1)二次;(2)三次;(4)五次10,6,)公式的稳定性不能保证，所以实际应用中, 使用。(1) n 8,(2) n 7,(3) n23、有下列数表时的牛顿-柯特斯求积公式不(3)四次；15、取石1.732计算x 电1)4 ,下列方法中哪种最好？(A) 28 1673；S(x) 26、已知 ()(A)6, 6;(B)(43 x

11、2局.2(x31) a(x 2)(C)0b 2(4162何2 ；16(D) (V3 1)4 04是三次样条函数，则a,b的值为xi11.522.533.5f(xi)-10.52.55.08.011.5(C)8, 6;8；(D)8, 8。(B)6,16、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()(D) 2(A)5；ObA3f (x3)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精(C) 3;A2 f (X2)(B)4;f (x)dx A1f (x1)17、形如 度为(A)9；)(B)7；(C) 5；(D) 318、计算V3的Newton迭代格式为Xk (A)Xk 31万£

12、;(B)Xk22xk ； (C)XkXk12xk ； (D)Xk19、用二分法求方程 则对分次数至少为(4x2 )100在区间1,2内的实根，要求误差限为Xko1 1032(A)10;(B)12;(C)8；(D)9o20、设 li(x)是以 xk k(kLagrange插值基函数，贝U9kli(k)k 0(A)x；(B) k ；(C)33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,(A)5;(B)4；(C)6；至少具有(D)3o(D) 1。)次代数精度S(x)21、已知(A)6, 6;35、已知方程()3x2(x 1)3a(x 2)(B)63 2x8；5(C)8,6；24是三次样条函数，则(D)8, 8

13、。2附近有根，下列迭代格式中在0在x3(C) xk 1xk xk 5 -a,b的值为(XoXk (D)x01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A) xk 13/2xk 5 .22、由下列数据(C)1；(D)3。(A) 4;(B)2;2不收敛的是2x3 523x2 2ko1f (x) dx1、求A、B使求积公式1Af( 1)1. 1f (1) Bf () f()22的代数精度尽量23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)1、已知观察值(为，yi)(i 0，3、(x1

14、 x0)(x1 x2)表示在节点xi的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()311535、矩阵A=125具有严格对角占优。() 四、计算题: 当f(x) x时，公式显然精确成立；当 ，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时, pn(x)的次数n可以任意取。()2x2、用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。()(x X0 )( x X2 )21I dx高，并求其代数精度；利用此公式求1 x (保留四位小数)2答案：f(x) 1,x,x是精确成立，即2A 2B 22A 1B 2 A -,B -23 得 99求积公

15、式为11f (x)dx9f(1).8.1.1f(1) 9f( 2)f(2)21f(x)/时，左=5 ,右=3。所以代数精度为31 tdx x2x 3 1111181dt 1t 391 3 1 391/2 311 2 32、已知xi1345f(xi)2654970.69286140分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f (x)的三次插值多项式P3(x),并求 f(2)的近似值(保留四位小数)2(x 3)(x 4)(x 5) 6(x 1)(x 4)(x 5)答案：(1 3)(1 4)(1 5)(3 1)(3 4)(3 5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)5 4(41)(43)(45)

16、(51)(53)(54)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10141P3(x)N3(x) 2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)(x 4)4f (2)P3(2)5.55、已知xi-2-1012f(xi)42135求f(x)的二次拟合曲线P2(x),并求f (0)的近似值答案：解：ixiyi2 xi3 xi4 xixi yi2xi yi正规方程组为1114P2(X)10311 2x x7 1014P2(X)31011一 x70-244-816-8161-121-1P 1P -2212010000031311r 1r 33 142548161

17、020015100343415ao 10a2 1510al 310ao 34 a241103, a1, a2710f (0)P2(0)6、已知sinx区间0.4, 0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8x0.389420.479430.564640.644220.71736310如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差M 3|R2(x)| 可3| 3(x)|尽量小，即应使 3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5。6。7最好，实际计算结果Sin0.63891 0.596274,且

18、sin 0.63891 0.5962741 |(0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7) 0.55032 107、构造求解方程e性，并将根求出来,1 xn 1 xn |10 4o答案：解：令f(x)10x2,f(0)20, f (1) 10 e 0且 f (x) ex 10f(x) 0在(0,1)内有唯一实根.将方程f (x) 0变形为110(2则当x (。，。时(x)x) I (x)|e一 110故迭代格式10x 2 。的根的迭代格式4 1(xn)，n 0，1,2，讨论其收敛f (x) e解：当 0<x<1 时，f (x) ex,则要求近似

19、值有5位有效数字，只须误差Ri(n)(f)2104xn 1(2 exn)10收敛。取x0 0.5,计算结果列表如下:n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 0086且满足 |x7 x6 | 0.000 000 95 10 所以 x 0.090 525 008xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.43510、已知下列实验数据试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。1exdx 且0e有一位整数.R(

20、n)(f)9亘|f ( )|由12n,只要r(e2)将方程(2)改写为)-e- -e 1 10 412n12n2即可，解得n e 102 67.30877612、取节点x00,x1所以 n 68,因此至少需将0,1 68等份。0-5，x2 1,求函数f(x) e x在区间0,1上的二次插值多项式P2(x),并估计误差解:° (x 0.5)(x D(0 0.5)(0 1)0.5 e(x 0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)1 (x 0)( x 0.5)e (1 0)(1 0.5)一 _0 5_1_2(x 0.5)(x 1) 4e . x(x 1) 2e x(x 0.5)f (x)

21、 e x, f (x) e x,M 3 max | f (x) | 1又x 0,1|R2(x)| |e x P2(x)| ；|x(x 0.5)( x 1)|故截断误差3!x14、给定方程 f(x) (x 1)e 1 01)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到 5位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1)将方程(x 1)ex 1 0(1)改写为xx 1 e(2)x*作函数f1(x) x 1, f2(x) e的图形(略)知(2)有唯一根X (1,2)Xk构造迭代格式计算结果列表如下:Xk 11 e k当 X 1,2时,(x)(2), (1)1,2,且k123456789X

22、k1.223131.294311.27409)1.27969 1.27812 1.2785)6 1,278441.278471.27846(k 0,1,2,)X(x) e x3)(x) 1 eX0 1.5I (x)| e 1 1所以迭代格式Xk 1(Xk) (k0,12 )对任意x。1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求 延的近似值 取X0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：再是f(x) X2 3。的正根,f (X)2x牛顿迭代公式为x2 3xn 1 xnXn 17 2 (n0,12)n123xn1.732351.732051.73205取X0=1.7,列表如下:2xn16、已知f (-1)

23、=2, f (1)=3, f(2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1, 5)的近似值, 取五位小数。解:L2(x) 2(X 1)(X 2)3 (x 1)(x 2) 4 (x 1)(x 1)34(1 1)( 12)(1 1)(1 2)(2 1)(2 1)|(X 1)(x342) 2(x 1)(x 2) 3(x 1)(x 1).1f(1.5)L2(1.5)0,041672417、n=3,用复合梯形公式求10exdX的近似值(取四位小数)，并求误差估计。解：0eXdx T3 1Ae0 2 3 1 32(ee23) e1 1,7342f(X) ex, f (x) ex, 0x 1 时，1f

24、 (x)| e|R| |exT3I12 321080.0250.05至少有两位有效数字。20、（8分）用最小二乘法求形如y a bx2的经验公式拟合以下数据:xi19253038*19.032.349.073.3解：span1, x (0.8824969 0.7788008 0.60653066AT1111192 252312 382解方程组 A AC AT yATA其中433913391 35296030.9255577C解得：0.0501025所以yT 19.0 32.3 49.0 73.3T 173.6ATy179980.7a 0.9255577, b 0.050102521、（15分）

25、用n 8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算1 a xd0e dX时，试用余项估计其误差。用n 8的复化梯形公式（或复化 值。Simpson公式）计算出该积分的近似|RTf解：T(8) hf(a)212h2f ()11282e017680.00130272 g f(b) k 10.53526140.472366550.41686207) 0.367879470.63294343/22、（15 分）万程 x x 1x飞乂 1对应迭代格式xn1x x3 1对应迭代格式xn 10在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）3 xn3 xn1 x1 ； (2)11xn 1x对应

26、迭代格式11xn ； (3)1。判断迭代格式在x0 5的收敛性，选一种收敛格式计算x解：（1）1.5附近的根，精确到小数点后第三位。1-（x） 3（x ° 1 d闾 0.18 L 故收敛;(3)选择(x)(x)(1):2x23x2Xo1.5X5(1.5)(1.5)3 1.52Xi1.324761.3572x2X625、数值积分公式形如1oxf(x)dx S(x) Af (0)0.17 1 ,故收敛;、故发散1.3309x3 1.32594 1.32491.32472Bf (1) Cf(0) Df试确定参数A,B,C,D使公式代数精4 一度尽量高；(2)设f(x) C 0,1,推导余项

27、公式R(x)10xf(x)dx S(x)并估计误差。23A解：将f(x) 1,x,x ,x分布代入公式得：20，B20，B30,D120力(为)f(xi)构造HermW插值多项式H3(x)满足 力(为)f (为)i 0，1其中x。0,x1则有:1°xH3(x)dx S(x)f(x) H3(x)(4) /-Tx2(x 1)2R(x)10xf(x) S(x)dx1 f (4)()f(4)()4!32 ,x (x 1) dxf (4)(4!f(4)3 /x (x1)2dx4! 60144027、(10 分)已知数值积分公式为:.h .2 . '.f(x)dx 2f(0)f(h)hf

28、 f(h),试确定积分公式中的参数使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x) 1显然精确成立；f(x)f(x)2x时,x时,h 2x dx0hxdx0h2220 hh21f(x)3 x时,h 3 x dx0f(x)所以,4x时,hx4dx0其代数精确度为h3 3 h44h553。h 020h rc202028、h2h202h1；h32 h2112 h3 h20 3h2 12h41 h20 4h3 126 (8分)已知求Ja(a 0)的迭代公式为:xk 1mxk-) xkxo0 k 0,1,21所以xk1 xk,即序列xk是单调递减有下界，从而证明：对一切k 1,2, , xk

29、 从而迭代过程收敛。1 a 1xk 1 2(xk) 2证明：2xk2故对一切k 1,2,小 1(1 当 31 1)又 xk2xk2迭代过程收敛。Ja ,且序列xk是单调递减的,八a.一2 xk 一 a kQ1,2xk,xk. a °29、(9分)数值求积公式 其代数精度是多少？3f(x)dx f(1) f (2)2是否为插值型求积公式？为什么?解：是。因为f(x)在基点x 2x 1p(x)f (1)f (2)1、2处的插值多项式为122 1p(x)dx 2f f(2)其代数精度为1。30、(6敛性。分)写出求方程4xcos x1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收(6分)xn

30、 1xn114COS xn，n=0,1,2,1人x -sin x4对任意的初值x0 0,1,迭代公式都收敛。31、(12 分)以 100,121,144 计误差。为插值节点，用插值法计算屈5的近似值，并利用余项估用Newton插值方法：差分表:100100.0476190-0.000094113612114411120.0434783,115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f''' xR 115 100 115 121 115 1443!1 32100 2 15 6 29 0.0016368I32、（10分）用复化Simpson公式计算积分1 sin x0 xdx的近似值,要求误差限为_ 50.5 10 。c 1 1S1f 0 4f f 10.946145886211S2f 0 4f 2f124134f -f 10.9460869324c1 -I S2 S2 s0.39315, sin x f x 或利用余项：xIS2 0.946086932468, xxxx1 - 3!5!7!9!24r (4)If x -5£ (4)1 x xf x b a f (4) 2880n45 7 2! 9 4!4 0.5 10 °2880 5n