第一章 线性代数 行列式

1、线性代数线性代数刘二根主编刘二根主编江西高校出版社江西高校出版社本学期教学安排第一章 n 阶行列式第二章 n维向量第三章 矩 阵第四章 线性方程组第五章 相似矩阵(部分)本学期教学要求1.认真听课,精神饱满,不迟到,不要睡觉.2.按时完成作业,不要抄.3.课后可以看一些参考书.4.考前要认真复习.5.平时成绩占40%,最后考试占60%.第一章 n 阶行列式阶行列式 1 行列式的概念行列式的概念 2 行列式的基本性质与计算行列式的基本性质与计算3 克莱姆法则克莱姆法则 1 行列式的概念行列式的概念1. 二、三阶行列式二、三阶行列式2. n 阶行列式的定义阶行列式的定义1. 二、三阶行列式一、二阶

2、行列式的引入一、二阶行列式的引入解二元线性方程组解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x;212221121122211baabxaaaa ）（;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx

3、）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221

4、211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 因为二元线性方程组的解为因为二元线性方程组的解为，211222112122211aaaabaabx

5、）（3.211222112112112aaaaabbax ,22211211aaaaD 因为二元线性方程组的解为因为二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx ，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 则二元线性方程组的解可写为则二元线性方程组的解可写为 .12,12232121xxxx求求解解二二元元线线性性方方程程组组解解1223 D)4(3 , 07 112121

6、D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 例2：计算.个数可以看到行列式代表一.3211873929372二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有333231232221131211aaaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa （6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的333231232221131211aaaaaaaaaD 行标行标. .列标列标三阶行列式的计算三阶

7、行列式的计算(1)(1)沙路法沙路法333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211aaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa DD不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为负三项为负. .注注: :三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一

8、项都是位于不同行, ,333231232221131211aaaaaaaaa322231211333233121123323322211aaaaaaaaaaaaaaa :,2式式可以这样来看三阶行列可以这样来看三阶行列阶行列式阶行列式利用利用322113312312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa D322113312312332211aaaaaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 例3：按定义直接计算45768037921967731028938727061. 094321112 xx求解方程求解方程方程左

9、端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解解得得由由0652 xx3.2 xx或或2. 2. n 阶行列式的定义阶行列式的定义 个数排成n行n列， 2nnnnnnnaaaaaaaaa212222111211用两条直线画在两边，称为n阶行列式.记为 ，A它的值由下面的方法来定义.在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如444342

10、41343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别要定义n阶行列式，先以三阶

11、行列式为例：333231232221131211|aaaaaaaaaA 由代数余子式的定义，知,3332232211aaaaA ,3331232112aaaaA ,3231222113aaaaA 312213332112322311322113312312332211|aaaaaaaaaaaaaaaaaaA )()()(312232211333213123123223332211aaaaaaaaaaaaaaa323122211331332123123332232211aaaaaaaaaaaaaaa131312121111AaAaAa| A | 三阶行列式可由它的第一行元素分别乘以它对应的代数余

12、子式,再相加来得到.由此推广到n阶行列式上去.定义定义1: n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 它的值定义为nnAaAaAaA1112121111| 其中 是 的代数余子式.这个等式也称为 n 阶行列式按第一行的展开式.ijA问题：是否可用其它行(列)的展开来定义n阶行列式？aij2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积个元素的乘积;4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 1、行列式是一种特定的算式、行列式是

13、一种特定的算式,它是一个数它是一个数.说明说明例1：计算下列n阶行列式： （1） nnaaaD0022111 解: nnaaaa332211 nnaaaa332211 = nnaaaa332211 例例2.2. 计算三角行列式计算三角行列式nnnnnaaaaaaaaaa321333231222111nnnaaaaa1332211 = nnaaa2211 nnnnaaaaaaa3233322211 例例3.3. 计算三角行列式nnnaaaaa03332211 = nnaaa2211 nnnnnaaaaaaaaaa000000333223221131211nnnnaaaaaaa0003332232

14、211 11, 212)1(11, 21)1(000000000nnnnnnnnaaaaaaD 例例4.4. 证明反复展开反复展开证：由定义，按第一行证：由定义，按第一行)1(000000000)1(12, 31, 211阶阶 naaaaDnnnnn)2(000000000)1()1(13, 42, 3111, 211阶阶 naaaaannnnnnn反复展开反复展开证：由定义，按第一行证：由定义，按第一行)1(000000000)1(12, 31, 211阶阶 naaaaDnnnnn)2(000000000) 1() 1(13, 42, 3111, 211阶阶 naaaaannnnnnn11,

15、2121111)1()1()1(nnnnnaaa 11,212)4)(1()1(nnnnnaaa 11,212)1()1(nnnnnaaa 11,2121111)1()1()1(nnnnnaaa 11,212)4)(1()1(nnnnnaaa 11,212)1()1(nnnnnaaa 2 行列式的基本性质与计算行列式的基本性质与计算 一、行列式的基本性质一、行列式的基本性质记记 Dnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa TDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaaTDD行列式行列式 或或 称为称为 的转置行列式的转置行列式. TDD 行列式与它的转置行列式相等行列

16、式与它的转置行列式相等, ,D .TDD 即即459387270611的的例例性性质质DTD说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行因此行列列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.D 45970326871 )()(2121211121121212111211jiaaaaaaaaaaaarraaaaaaaaaaaaDnnnniniijnjjnjinnnnjnjjiniin 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .459387270612的的例例性性质质D0617279381 D又例如又例如

17、,571571 266853853266.825825 361567567361.45D推论推论1 1：若行列式有一行（列）所有元素为零，则若行列式有一行（列）所有元素为零，则此行列式为零此行列式为零. .推论推论2:2: 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零. .证：将相同的两行交换，由性质证：将相同的两行交换，由性质2,就有就有DD，故，故D0.证：当第一行元素为零时，由定义证：当第一行元素为零时，由定义D0. 如果第如果第i行元素为零时，可与第一行交换，所行元素为零时，可与第一行交换，所得行列式为零，由性质得行列式为零，由性质2，知

18、，知D0. nnnnininiiiinaaaaaaaaaaaaD21221111211 nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaD212111211212111211 则有则有若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,即即 jjjnjjnnnnnnnMaaaaaaaaaaaaaa1111121222211112121111)() 1( njjjjnjjjjMaMa11111111) 1() 1(.212222111211212222111211nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1i证明：当时，由

19、行列式的定义知当当i1时，把第时，把第i行与第一行互换，行与第一行互换，再按上面的办法把行列式成两个再按上面的办法把行列式成两个行列式之和，然后再把这两个行行列式之和，然后再把这两个行列式的第列式的第i行与第一行互换，即证行与第一行互换，即证. 行列式中某一行（列）的所有元素的公因行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。即子可以提到行列式符号的外面。即nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211 即即行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数

20、等于用数k乘此行列式乘此行列式. .由由定定义义知知时时当当证证明明,1: ijjnjjnnnnnnMkaaaaaaakakaka1111212222111211)()1( .)1(2122221112111111nnnnnnjjnjjaaaaaaaaakMak .,1即即得得这这个个性性质质行行然然后后再再互互换换第第一一行行和和第第提提到到行行列列式式外外可可把把第第一一行行的的公公因因子子由由上上结结论论行行与与第第一一行行交交换换把把时时当当iii 若行列式中有两行（列）的元素对应成比若行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式等于零。例，则此行列式等于零。nnnniniiini

21、inaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 证证: :由性质由性质4 4与推论与推论2 2易得易得. .性质性质5:5:把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111 knjnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 例如例如证证

22、:由性质由性质3,性质性质4及推论及推论2可以直接得到可以直接得到. 计算行列式常用方法：利用性质计算行列式常用方法：利用性质5 5把行列式化把行列式化为上为上( (下下) )三角形行列式，从而算得行列式的值三角形行列式，从而算得行列式的值2101044614753124025973313211 D 3 例例12101044614753124022010013211312 rr 2 2101044614753140202010013211 3 4312rr42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 514rr413rr23r

23、r 2220020100211003512013211 34rr 2220001000211003512013211 2 352rr 6400001000211003512013211 4 454rr 6000001000211003512013211 612 .12 ;行行表表示示行行列列式式的的第第记记号号：iri.jijiiccjirrjiic两两列列记记为为，交交换换两两行行记记为为，交交换换列列表表示示第第).().(,jijiiikcckrrijkkckrki 记记为为行行上上去去，行行（列列）加加到到第第乘乘第第以以数数记记为为行行（列列）提提出出公公因因子子第第例例2 2 计算

24、计算n 阶行列式阶行列式abbbbabbbbabbbbaD 解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2 D abbbnababbnabbabnabbbbna1111 abbbabbbabbbbna1111)1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna2221112222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 例例3：证明：证明证：证： 左边左边 22222111112222211111accbbaccbbaccbbaccbaaccbaaccba 2222111122221111222211112222111

25、1accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 2222111122221111accbaccbaccbccbaccbaccba 222111222111222111222111acbacbacbccbccbccbccaccaccacbacbacba 222111222111acbacbacbcbacbacba 222111222111222111222111cbacbacbacbacbacbabcabcabcacbacbacba 2221112cbacbacba =右边右边 练习练习1计算计算.43213213213211xaaaaaaxa

26、aaaaxaaaaaxDnnnn 练习练习2 2 计算计算3351110243152113 D解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得将第将第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 练习练习1计算计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 倍倍加加到到最最后后一一列列，得得列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加加到到第第列列的的将

27、将第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(评注评注本题利用行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素间具

28、有某些特点，则；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的化为三角形行列式之目的练习练习 2 2.3351110243152113 21cc 3315112043512131 12)1(rr 145rr 72160112064802131 32rr 72160648011202131 72160648011202131 234rr 248rr 1510001080011202131 250001080011202131 25821 40 3445rr (行列式中行与列具有同等的行列式中行与列具有

29、同等的地位地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形或下三角形行列式，性质把行列式化为上三角形或下三角形行列式，从而算得行列式的值从而算得行列式的值三、小结行列式的性质行列式的性质二、行列式按任一行（列）展开二、行列式按任一行（列）展开定理定理1：n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行（列）的各等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即即),2,1(2211niAaAaAaDininiiii

30、 njnjjjjjAaAaAaD 2211),2,1(nj 引理引理: 一个个n阶行列式阶行列式,如果其中第如果其中第i行行(或或第第j列列)所有元素除所有元素除aij 外都为零外都为零, 则这个则这个n阶行列式等于阶行列式等于aij与它的代数余子式的乘积与它的代数余子式的乘积,即即ijijAaD nnnnnaaaaaaaD21222211100 证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ija按按第第一一行行展展开开由由行行列列式式定定义义 ,.11111111AaDMaD :. 2 再再证证一一般般情情况况nnnjnijnjaaaaaaaD.0.0.11111 得得到到列列交交换换列

31、列依依次次与与第第第第然然后后将将行行交交换换行行依依次次与与第第的的第第将将,1,.,2, 1,1,.,2, 1 jjjiiiD 1111111MA nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa nnnnjnjijaaaaaaaD

32、.1.1.1110.01 .ijija M.)1()1()1(2.12引引理理证证毕毕知知又又由由性性质质ijijijjiijijijjijiAaMaMaDD nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaD212111211212111211000000.0 定理的证明：),.,2 , 1(.2211niAaAaAaininiiii同样，),.,2 , 1(.2211njAaAaAaDnjnjjjjj 111211112112121211121.0.00.0.00.nniinnnnnnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaa12.nnnnaaa推论推论：n阶行

33、列式D中的任意一行(列)的各元素与另一行(列)的相应元素的代数余子式的乘积之和为零。即当i j时，有02211 jninjijiAaAaAa及 则则得得的的元元素素行行行行的的元元素素换换成成第第中中第第把把行行列列式式不不妨妨设设证证明明,:ijDji nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaaD212121112111 02211 njnijijiAaAaAa有行展开按第现把，知的推论由性质,. 02211jDD ).(0.221122111jiAaAaAaAaAaAaDjninjijijninjiji ).(0:2211jiAaAaAanjnijiji 同同理理可可得得可得纵上所

34、述, ).(0),(),(0),(22112211jijiDAaAaAajijiDAaAaAanjnijijijninjiji关于代数余子式的重要性质总结如下关于代数余子式的重要性质总结如下 ).(0),(),(0),(22112211jijiDAaAaAajijiDAaAaAanjnijijijninjiji例5：计算行列式2431101013122101 D解：42101 2213201001341ccD3 21121 ( 1)232141 213111 220 16( 1)0 51rrrr 1 1161 ( 1)3151 nndcdcdcbababaD22000 ddcdcbabaaDn

35、00000002 解：按第一行展开，有解：按第一行展开，有0000000)1(21cdcdcbababn )1(2112)1(2)1( nnnDbcadD)1(2)( nDbcad得得以此作递推公式，即可以此作递推公式，即可 )2(22)1(22)()(nnnDbcadDbcadD21)(Dbcadn dcbabcadn 1)( nbcad)( 例例9.9.证明范德蒙行列式：证明范德蒙行列式： 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD其中记号其中记号 表示全体同类因子的乘积表示全体同类因子的乘积。证明：用数学归纳法证明：用数学归纳法.n1n.2n阶

36、阶行行列列式式成成立立现现要要证证对对阶阶命命题题成成立立，假假设设对对时时成成立立当当 1212212).(11jijixxxxxxD.)()()(0)()()(001111xn12132312221133122113121nxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDDnnnnnnnnn 倍倍，得得的的行行开开始始，后后行行减减去去前前行行降降阶阶，从从第第将将23n2131122223111()()()nnnnnnxxxDxxxxxxxxx按第一列展开，并把公因子提出，得,2)(1 jinxxnji因因子子的的乘乘积积，其其中中所所有有阶阶的的范范德德蒙蒙行行列列式式等等于于按按归

37、归纳纳法法假假设设， 1211312).()()()(jinjijinjinnxxxxxxxxxxD3351110243152113 D练习练习2：计算：计算n阶行列式阶行列式abbababaDn000000000000 练习练习1 1.3351110243153113 34cc 312cc 03550100131112115 按按 r3 展开展开0551111215)1(33 12rr )5(3 r011026115)5( 按按 c3 展开展开1126)1)(5(231 11132)10( .40)4()20( 练习练习2：计算：计算n阶行列式阶行列式abbababaD00000000000

38、0 解：解：babbabbabaabaaDn0000000000) 1(0000000000) 1(111 nnnba1) 1( 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,.TDD 即即1 行列式的基本性质与计算行列式的基本性质与计算 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .3 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.则可写成两个行列式的和 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。式符号的外面。性质5:把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数把行列式的某一列（行）的各

39、元素乘以同一数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变计算行列式常用方法：利用性质计算行列式常用方法：利用性质5 5把行列式化为上把行列式化为上( (下下) )三三角形行列式，从而算得行列式的值角形行列式，从而算得行列式的值2 行列式按任一行（列）展开行列式按任一行（列）展开定理定理1：n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行（列）的各元素与其对应等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和的代数余子式的乘积之和.即即),2, 1(2211niAaAaAaDininiiiinjnjjjjjAaAaAaD2211),2,1(nj

40、或引理引理: 一个一个n阶行列式阶行列式,如果其中第如果其中第i行行(或第或第j列列)所有元素除所有元素除aij 外都为外都为零零, 则这个则这个n阶行列式等于阶行列式等于aij与它的代数余子式的乘积与它的代数余子式的乘积,即即ijijAaD 推论推论：n阶行列式阶行列式D中的任意一行（列）的各元素与另一行（列）中的任意一行（列）的各元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和为零。即当的相应元素的代数余子式的乘积之和为零。即当i j时，有时，有).(0),(),(0),(22112211jijiDAaAaAajijiDAaAaAanjnijijijninjiji一. 克莱姆法则二. 齐

41、次方程组的重要定理 3 克莱姆法则克莱姆法则 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念一、克莱姆法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不

42、等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1证明证明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221

43、211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDxjj .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211,Dxj的系数等于的系数等于上式中上式中 ; 0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi .jD又等式右端为又等式右端为于是于是 2当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解0

44、 D 2由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价, 2 1故故.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211也是方程组的也是方程组的 解解. 11122,.nnxc xcxc1,2,.jjDcjnD1,2,jjxcjn11 112 21121 122 2221 12 2nnnnnnnnnna ca ca cba ca ca cba ca ca cb12,jjnjAAAn1111121111121212222222112jjjnjnjjjjnjnjnnjnnjjnnnjnnnja A ca A ca A cb Aa A ca A ca A cb Aa A ca A ca A cb A

45、n12000.jnjccD ccD 0D 1,2,jjDcjnD1212,.nnDDDxxxDDD例例1 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx二、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 D定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. . 1齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理