高等数学 5.1定积分的概念及性质

1、第五章第五章一元函数一元函数积分学积分学不定积分不定积分( (第四章第四章) )定积分定积分定积分定积分 概念、计算概念、计算应用应用(第六章第六章)( (第五章第五章) )第一节第一节定积分的概念及性质定积分的概念及性质 微积分的基本公式微积分的基本公式第二节第二节定积分的换元法和定积分的换元法和分部积分法分部积分法第三节第三节第四节第四节反常积分反常积分第五节第五节反常积分的审敛法反常积分的审敛法 函数函数第一节第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质定积分的概念及性质 ah一、定积分问题举例一、定积分

2、问题举例A矩形面积矩形面积haA ahb梯形面积梯形面积)(2bahA xyOab( )yf x ? AA1. 1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积由连续曲线由连续曲线)0)()( xfxfy，轴轴及及 x以及两直线以及两直线bxax ,所围成的图形称为所围成的图形称为曲边梯形曲边梯形. .求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 A . .xabyO1xix1 ix1) 分割分割在区间在区间 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点bxxxxxann 1210,1iiixx 用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;在第在第i 个窄曲边梯形上个窄曲边

3、梯形上任取任取作以作以,1iixx 为底为底 , 以以)(if 为高的窄矩形为高的窄矩形, 并以此窄并以此窄矩矩形面积近形面积近 似似 代代 替相替相 应应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积,iA 得得1()( iiiiiixxxxfA ),2,1,ni i 曲边梯形面积曲边梯形面积A的具体计算步骤：的具体计算步骤：()if 2)近似代替：近似代替：3) 3) 求和求和 niiAA1 niiixf1)( 4) 取极限取极限令令, max1inix 则则曲边梯形面积曲边梯形面积 A niiixf10)(lim 求极限的过程是：求极限的过程是：0, 而不是：而不是：.n xyOaf x( )1xn b(

4、因为因为.n 不能保证不能保证每一个区间都趋于零每一个区间都趋于零)2变速直线运动的距离变速直线运动的距离.匀速直线运动匀速直线运动:.svt 速度速度vv t ( ) 是时间是时间 t 的连续函数的连续函数( )v t分析分析:变速直线运动：变速直线运动：.tO 内运动的距离内运动的距离 s 在时间间隔在时间间隔2, 1TT1T2T用任意一组分点用任意一组分点则则第第 i 个小区间的个小区间的iiittt1, s 1.niis 用类似的方法解决如下：用类似的方法解决如下：将时间区间将时间区间分成分成 n个小区间个小区间, 长度为长度为: :(1,2, ),in , ,1iiitt 任任取取,

5、)(代替变速代替变速以以iv 得得iiitvs )( ), 2,1(ni 第第i 个小区间上个小区间上),2,1(nisi 物体经过的路程为物体经过的路程为itOt1t2it1 t,21TT2112101TtttttttTnnii 01tT 2Ttn 1)分割：分割：2)近似代替：近似代替：3) 求和求和.iniitvs 1)( 4) 取极限取极限.)max(1init iniitvs 10)(lim i)(iviniitvs 10)(lim 上述两个问题的共性上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同 :“分割，近似代替，求和分割，近似代替，求和 , 取极限取极限.

6、” 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特殊特殊乘积和式的极限乘积和式的极限 niiixfA10)(lim 曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的距离变速直线运动的距离定义定义设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，在在,ba中中任任意意插插入入bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，记记,max21nxxx ，如如果果

7、不不论论对对,ba怎样的分法，怎样的分法，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，我们称这个极限我们称这个极限I为函数为函数)(xf 二、定积分的定义二、定积分的定义在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为baxxfd)(即即baxxfd)(iniixf10)(lim此时此时称称 f ( x ) 在在 a , b 上可积上可积 . .baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和称为积分区间,ba

8、注意：积分变量的变化区间是积分区间注意：积分变量的变化区间是积分区间.引例引例1. 曲边梯形面积曲边梯形面积)0)(d)( xfxxfAba引例引例2. 2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 21d)(TTttvs即即:( )dbaf xx ( )dbaf tt ( ) dbaf uu 当和当和1()niiifx 的极限存在时的极限存在时, 其极限值其极限值 I 仅与仅与变量的变量的记法记法无关无关,注注f x( )和积分区间和积分区间 , a b有关有关,被积函数被积函数 , a b的的分法分法无关无关, 也与点也与点i 的的取法取法无关无关 .如果如果 在在 上可积，上可积，( )f

9、 x , a b则积分值与区间则积分值与区间(1)(2)而与积分而与积分对定义的几点说明对定义的几点说明( )yf x abOxy( )f xab曲边梯形面积曲边梯形面积.曲边梯形面积的曲边梯形面积的负值负值.A ,( )d(0baf xxxf ,( )d(0baf xxxf AAAxyO2. 定积分的几何意义定积分的几何意义 baxxfd)(iniixf 10)(lim 定积分的几何意义定积分的几何意义3245AAAA 各部分面积的各部分面积的代数和代数和.( )dbaf xx 1Aabyx1A2A3A4A5AO)(xfy o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在b

10、axf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点且只有有限个间断点 3.可积的充分条件可积的充分条件:(证明略证明略)例例1. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解: 将将 0,1 n 等分等分, 分点为分点为), 1 ,0(ninix1,nii取取),2, 1(ni.,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32niiinx (存在定理存在定理)o1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 121lim)2(ppp

11、pnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限（补充）（补充）ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni注意：注意： 定积分的定义提供了一种求数列极限的方法。定积分的定义提供了一种求数列极限的方法。对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.三、定积分的性质三、定积分的性质 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中

12、，假定定积分都存在，在，说明：说明：且如不特别指明，积分上下限的大小均不加限制且如不特别指明，积分上下限的大小均不加限制 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1 banibainiidxxfdxxf11)()(性质性质2 2证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 i

13、inixfk )(lim10 .)( badxxfk babadxxfkdxxkf)()( (k为常数为常数).证证: 当当bca时时,因因)(xf在在,ba上可积上可积 ,所以在分割区间时所以在分割区间时, 可以永远取可以永远取 c 为分点为分点 ,于是于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(性质性质3说明：说明：定积分对于积分区间具有可加性。定积分对于积分区间具有可加性。 性质性质3 3假设假设bca badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.，则，则假设假设bca badxxf)( bccadxxfdx

14、xf)()(.注意：注意：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)(则则 cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf 性质性质3 3性质性质5 5（非负性）（非负性）如如果果在在区区间间, ba上上0)( xf， 则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf 性质性质4 4dxba

15、 1dxba ab 推论推论1.1. 若在若在 a , b 上上, )()(xgxf则则xxfbad)(xxgbad)( (比较性质比较性质) ) )(ba 书上习题书上习题5-1第第12题（题（2）结论：）结论： )(, 0)(,xfxfba上若在00)(,baxf则例例3，baxf上连续在设,)(根据定积分的性质，根据定积分的性质， 说明下列积分哪一个值较大：说明下列积分哪一个值较大：1010101032.)1ln(21dxxxdxdxxdxx与）（；与）（，上连续，且在及3232 1 , 0) 1 (xxxx解解:.101032dxxdxx, 0 1032 xx上，又在.101032dx

16、xdxx故),1ln( 1 , 0)1ln()2(xxxx上连续，且在及.)1ln(1010dxxxdx，上，又在0)1ln( 10 xx.)1ln(1010dxxxdx故推论推论2.2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即即xxfxxfbabad)(d)(设设M及及m分分 别别 是是 函函 数数)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，则则 )()()(abMdxxfabmba . .证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba

17、（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6（估值定理）（估值定理）解解 ,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x.3dsin31403 xx例例5. 试证试证:.22dsin2124xxx)(xf 于是有上是单调递减函数在，2,4证证: 设设)(xf,sinxx)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0即即故故即即，上在2,4, 02x, 0cosx由,tanxx 可知可知，故，故)(xf).4()()2(fxff.22)(2xf. )42(22dsin)42(224xxx.22dsin212

18、4xxx成立。成立。例例6.)1ln(212的的值值估估计计积积分分 dxx解：解：，令令)1ln()(2xxf ，212)(xxxf ，由由0)( xf0 x有有5ln)2(2ln)1(0)0( fff，5ln)(0 xf5ln3)1ln(0212 dxx如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 积分中值公式积分中值公式证证)()()(abMdxxfabmba Mdxxfabmba )(1由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7