向量组的最大无关组与秩ppt课件

1、3.4 向量组的最大无关组与秩向量组的最大无关组与秩 一、向量组的最大无关组与秩一、向量组的最大无关组与秩二、矩阵的秩与向量组的秩的关系二、矩阵的秩与向量组的秩的关系三、向量组秩的一些结论三、向量组秩的一些结论一、向量组的最大无关组与秩一、向量组的最大无关组与秩定义定义3.5 设向量组设向量组 A(含有有限个或者无穷多个向量含有有限个或者无穷多个向量) , 若在若在A中存在中存在 r 个向量个向量1,2,r , 满足：满足：(1) 向量组向量组 A0 : 1,2,r 线性无线性无关关,(2) 向量组向量组 A 中任意中任意 r+1 个向量个向量(若存在若存在 r+1 个向个向量的话量的话)都线

2、性相关都线性相关, 则称向量组则称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个最大线性无关的一个最大线性无关向量组向量组 (简称最大无关组简称最大无关组).定义定义3.6 向量组向量组 A的最大无关组所含向量个数称为的最大无关组所含向量个数称为向量组的秩向量组的秩, 记作记作 RA .向量组向量组 1,2,m 的秩也记作的秩也记作 R(1,2,m ) . 几点说明几点说明:1. 只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组.规定它的秩为规定它的秩为0.2. 含有含有m个非零向量的向量组的秩个非零向量的向量组的秩 R 满足满足 1 R m.3. 向量组向量组1,m 线性无线性无

3、关关 R( R( 1,1, , , m ) = m ) = m .m .4. 向量组向量组1,m 线性线性相关相关 R( R( 1,1, , , m ) m ) m .m .证证. 0,)(),( 21 rmDrrARaaaA阶子式阶子式并设并设，设设定理定理3.13 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等也等于它的行向量组的秩于它的行向量组的秩.；列列线线性性无无关关知知其其所所在在的的由由 rDr0 .1,1个个列列向向量量都都线线性性相相关关中中任任意意知知阶阶子子式式均均为为零零中中所所有有又又由由 rArA, 向量的一个最大无关组向量的一个最大无关组的列的列所

4、在的所在的因此因此ArDr是是列. r故列向量组的秩等于故列向量组的秩等于).(ARA的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于类似可证类似可证二、矩阵的秩与向量组的秩的关系二、矩阵的秩与向量组的秩的关系即即: 利用矩阵的秩可以求向量组的秩利用矩阵的秩可以求向量组的秩. 最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的最大无关组，最大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rDrDADrrr列向量组的最大无关组具体求法列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵将矩阵 A 用用初等行变换化为行阶

5、梯形矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出即可找出 B 的最高阶非零子式所在的列的最高阶非零子式所在的列, 其对应于其对应于A 所在所在的列向量就是的列向量就是A的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组.例例1 1 已知向量组已知向量组 1=(1, 2, 3, 4)T, 1=(1, 2, 3, 4)T, 2=(2, 2=(2, 3, 4, 5)T, 3, 4, 5)T, 3 =(3,4, 5, 8)T, 3 =(3,4, 5, 8)T, 4=(4, 5, 6, 7)T, 4=(4, 5, 6, 7)T, 求求1,1,2,2,3,3,4 4 的秩及一个最大无关组的秩及一个最大

6、无关组 解解A=(1,2,3,4) 7654854354324321r,0000200032104321 rank(1,2,3,4) = rank A= 3,且且 1,2,3 为向量组的一个最大无关组为向量组的一个最大无关组.说明说明: 向量组的最大无关组一般不是唯一的向量组的最大无关组一般不是唯一的.例例2 2 设矩阵设矩阵,1129513151133173113311 A求矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组, 并把不属并把不属最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示. 解解记记 A=(1,2,3,4)r,000002

7、10001121013311 1,2,3 为列向量组的一个最大无关组,如何把如何把4 用用 1,2,3 线性表示线性表示?只需将只需将A再化为行最简形矩阵再化为行最简形矩阵.r 00000210003021080101,2 213 且有且有.2384215 三、向量组秩的一些结论三、向量组秩的一些结论3.2的定理的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩中矩阵的秩均可改为向量组的秩.定理定理3.14 向量组向量组 1, 2, , s 能由向量组能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s

8、) .最大无关组的一个等价定义最大无关组的一个等价定义:定理定理3.15 设向量组设向量组 A0 : 1,2,r 是向是向量组量组 A 的一个部分组的一个部分组,且满足且满足:(1) 向量组向量组 A0 线性无关线性无关,(2) 向量组向量组 A 的任一向量都能由向量组的任一向量都能由向量组 A0线性表示线性表示, 则向量组则向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.证明证明 设设 1, 2, , r+1 是组是组A中任意中任意r+1个向量个向量, 由由(2)可知这可知这r+1个向量能由向量组个向量能由向量组 A0线性表示线性表示, 从而有从而有: R( 1, 2,

9、 , r+1) R(1, 2, , r ) =r所以所以 r+1个向量个向量1, 2, , r+1 线性相关线性相关, 故向量组故向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个最大无关组的一个最大无关组. 定理定理3.16 向量组向量组 A和它的最大无关组和它的最大无关组 A0 是等价的是等价的.证明证明 因为向量组因为向量组 A0 是组是组A的一个部分组的一个部分组 ,故故 A0组总能由组总能由A组组 线性表示线性表示, 由最大无关组定义可知由最大无关组定义可知: 对于对于A 中任一向量中任一向量 , r+1个向量个向量 , 1, 2, , r 线性相关线性相关,而而 1, 2, , r 线性无

10、关线性无关,可知可知 能由能由 1, 2, , r 线性表示线性表示,即即 A组能由组能由A0组线性表示组线性表示, 所以所以 A组和组和A0组等价组等价. 定理定理3.15 设向量组设向量组 A0 : 1,2,r 是向是向量组量组 A 的一个部分组的一个部分组,且满足且满足:(1) 向量组向量组 A0 线性无关线性无关,(2) 向量组向量组 A 的任一向量都能由向量组的任一向量都能由向量组 A0线性表示线性表示, 则向量组则向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.定理定理3.16 向量组向量组 A和它的最大无关组和它的最大无关组 A0 是等价的是等价的.说明说明 定理定理3.15和定理和定理3.16中的向量组中的向量组A所含有的向所含有的向量个数可以是有限个也可以是无穷多个量个数可以是有限个也可以是无穷多个.在在3.中中, 我们在限制向量组只含有限个向量的条我们在限制向量组只含有限个向量的条件下得到定理件下得到定理3.5, 3.6, 3.7现在我们就可以利用向量组的最大无关组作过渡去现在我们就可以利用向量组的最大无关组作过渡去掉这个限制掉这个限制, 可将定理可将定理3.5, 3.6, 3.7推广到一般情形推广到一般情形现推广定理现推广定理 3.7, 得：得：定理定理3.17 若向量组若向量组 B 能由向量