同济版大一高数第十一章习题课ppt课件

1、高等数学 第二十七讲习题课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算 第十一章 （一曲线积分与曲面积分（一曲线积分与曲面积分（二各种积分之间的联系（二各种积分之间的联系（三场论初步（三场论初步 一、主要内容曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联络联络联络联络（一曲线积分与曲面积分（一曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分

2、定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联络络dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),()( dtQPQdyPdxL),(),(与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关内在)3(CDCQdyPdx闭曲线, 0)2(QdyPdxduyxUD使内存在在),()

3、4(xQyPD,)1(内在等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义niiiiisfdszyxf10),(lim),(xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10联联络络RdxdyQdzdxPdydz计计 算算与侧无关与侧有关 dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算GreenGreen公式公式Stokes

4、Stokes公式公式GuassGuass公式公式（二各种积分之间的联系（二各种积分之间的联系点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii.)()(,1badxxfdMfbaR时上区间当.),()(,2DdyxfdMfDR时上区域当积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分dVzyxfdMfR),()(,3时上区域当.),()(,3dszyxfdMfR时上空间曲线当.),()(,3dSzyxfdMfR时上曲面当曲面积分曲面积分三重积分三重积分.),()(,2LdsyxfdMfLR时上平面曲线当曲线积分曲线积分计算上的联系)( ,),(),()()(21面元素ddxdyyxfdyxfbaxy

5、xyD )( ,),(),()()(),(),(2121体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxzbaLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲线元素baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影线元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dsRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos()(曲面元素ds)(投影面元素dxdy理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系)()()()()(xf

6、xFaFbFdxxfba牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系)()(的正向沿LQdyPdxdxdyyPxQLD格林公式格林公式3.3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式 DLdxdyAdivdsnA)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系()A dSrotA n dS RQPzyxdxdydzdxdydzR

7、dzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推广推广为平面向量场)(MA为空间向量场)(MA()LDA dsrotA n dxdy梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三场论初步（三场论初步一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变

8、量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终练习题: P184 题 3 (1), (3), (6)(1) 利用对称性及形心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (5) 利用斯托克斯公式 ;(4) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧例例1 计算,d22syxL其中L为圆周.22xayx提示提示: 利用极坐标利用极坐标 ,)22(cos: arL原式 =sxaLd2022dcos2aa22a说明说明: 若用参数方程计算若用参数方程计算,:L)20( tx

9、aoyr22ddsrr da)cos1 (2txatyasin2t那么d2adst例例2. 计算计算,d)(22szyxI其中 为曲线02222zyxazyx解解: 利用轮换对称性利用轮换对称性 , 有有szsysxddd222利用形心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azoyx(的形心在原点) LQdyPdxIxQyP xQyP 0ydQxPdIL),(),(yxyxQdyPdxI00闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式思路思路: : 计计算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, , 其其中中L为为由由

10、点点)0 , 0(O到到点点)1 , 1(A的的曲曲线线xy2sin . . 例例3.解解104102)1 (dyydxx原式故.1523xyo11AxyP2xQttad)cos1 ( 例例4. 计算计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式22cos0a tt 22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2考虑：若用格林公式加辅助线的方法如何计算？考虑：若用格林公式加辅助线的方法如何计算？220d cosatt 例例5. 计算计算,

11、d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解解 令令,22xyQyxP那么xQ这说明积分与路径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.CoyxABL(利用格林公式)考虑考虑:(2) 假设 L 同例5 , 如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,a 为半径的上半圆周.例例5. 计算计算思考题解答思考题解答:LyxyxyxId)(d)(

12、2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2330sindatt,sin,cos:taytaxL323a3223a32a:0t332aI CoyxABLD例例6. 计算计算cossin2QyxxxyxyxxxxyyILd)cos(cosd)sinsin(2其中 L 是沿曲线21xy从 A (0,1) 到 B (1,0) 的一段弧 . 解解:IyyxxxxyyLd)cos(cosd)sinsin(yxLd2y10d102d)2(yyoLyxAB35cossinPyxyyy102d)1 (LD例例7. 计

13、算计算,422yxydxxdyL其中 L 是以点( 1, 0 )为中心, R(R 1) 为半径的圆周, 取逆时针方向 . 2000. 考研考研解解:22222)4(4yxxyyP,xQ)0,0(),(yx在L所围域内作足够小的椭圆 l 如图sincos:2yxl)02:(llLIdxdyyPxQDlyxydxxdy224d222120假设 L 为 顺时针方向， 那么 I =1422yxlyxo)2, 1 () 1 ,0(oyx例例8 设积分设积分yyxxyxLdd)(2与路径无关,其中)(,0)0(y有一阶连续导数 . 那么)(dd)(2)2 , 1 () 1 , 0(yyxxyx提示提示:

14、因积分与路径无关因积分与路径无关 , 故故;3)(;)(; 1)(;2)(21DCBA;21, )()(2yxxyxy,2)(yy 由此得.)(2yy yd021xxd4102A)2,0(原式二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及质心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两

15、类曲面积分的转化例例1. 计算曲面积分计算曲面积分其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: 2()dxzS 32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用形心公式例例2 计算计算ydxdzdzdxyzdydxI1322233其中是曲面)0(122zyxz的上侧。解解 取取10:221yxz的下侧。11I由高斯公式221120006()3rdrdrrz d z2263Dxyz dxd ydzd96355 ozyx例例3. 计算曲面积分计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rz

16、yx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134考虑考虑: 此题此题 改为椭球面改为椭球面1222222czbyax时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧, 然后用高斯公式 .DyaLxo,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上半圆周, 0,)(222yayax解解: :L OAOAI2DdA2a沿逆时针方向.例例6 计算计算2cosyeyPxyexQxcos例例7.证明证明: 设设(常向量)那么单位外法向向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosx

17、zddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量,n 为的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a在此过程中受力 D例例9. 质点质点M 沿着以沿着以AB为直径的半圆为直径的半圆, 从从 A(1,2)dsFWDdxdy2的大小F运动到点B(3,4), ,xyF等于点 M 到原点的距离,求变力解解: 由图知由图知 故所求功为ABxdyydxABBAABdx31 22xx) 1(F作用, F y 轴正向夹角为锐角,其方向垂直于OM , 且与对质点M 所作的功. F),(yxMBAyxoAB)(xdyydx

18、( 考研1990 ) ) 1(13242:xyAB00cosrn00rn例例11. 设设 是一光滑闭曲面是一光滑闭曲面, 所围立体 的体积 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,222zyxr试证.cos31VdSr证证: 设设 的单位外法向量的单位外法向量为为 ,cos,cos0n,rzryrxr0那么coscoscosrzryrxdSrcos31dSzyxcoscoscos31vd331V的夹角,r为V,cosxzoy例例12.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记记 为平面为平面2zyx上 L 所围部分的上侧, D为在 xoy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szy