同济大学微积分第三版8-5隐函数的求导公式ppt课件

1、上节内容回顾：上节内容回顾： 链式法则情形情形1：中间变量为一元函数：中间变量为一元函数情形情形2：中间变量为多元函数：中间变量为多元函数情形情形3 中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形( ),( )( , )ux vxzf u v( ( ),( )zfxx 复合复合?d zd x求导求导uvzt情形情形1：中间变量为一元函数：中间变量为一元函数uvwtz链条个数链条个数=项数，项数，复合重数复合重数=乘积因子个数乘积因子个数串联相乘，并联相加；串联相乘，并联相加；一元全导，多元偏导。一元全导，多元偏导。dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz

2、链式法则情形情形2：中间变量为多元函数：中间变量为多元函数uvxzy xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 情形情形3 中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形比如由比如由( , ),( , ),( )zf u v ux y vy 复合而成的函数复合而成的函数( ( ,),( )zfx yy 有有zzuxu x zzuz dvyu yv dyzuvxy因为因为v是是y的一元函数的一元函数0),(. 1 yxF一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏

3、导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式xyFdydxF ( , )0F x y 若隐函数若隐函数y=f(x)存在存在证证写成复合函数写成复合函数( ,( )0F x f x两边同时对两边同时对x求导，得求导，得0 xydyFFdx即即xyFd yd xF 解解令令

4、1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y 2123011.yxd ydxy 1),(22 yxyxF,2xFx ,2yFy 求这函数的一阶和二阶导求这函数的一阶和二阶导 数在数在x=0的值的值.223xyy解解令令那那么么,a

5、rctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),(. 2 zyxF0),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得同样可得zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在( , )( , , )0zf x yF x y z是方程所确定的8那那么么设设隐函数,yxzzFFzzxFyF 例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzx

6、z 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz ,yxzzFFzzxFyF 练习练习P100 5. 8.（分以下两种情况）（分以下两种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF三、小结已知已知)(zyzx ，其中，其中 为可微函数，为可微函数，求求? yzyxzx思考题思考题思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx .一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyyxarctanln2