第七章假设检验

1、1假设检验假设检验概述概述 关于总体分布函数的形式或关于总体关于总体分布函数的形式或关于总体参数值的陈述叫做统计假设参数值的陈述叫做统计假设. . 在一个问题中，提出一对相互对立的在一个问题中，提出一对相互对立的统计假设，其中一个叫做原假设；另一个统计假设，其中一个叫做原假设；另一个叫做备择假设叫做备择假设. . 根据样本的信息检验关于总体的某个根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确这一类问题称作假设检验问假设是否正确这一类问题称作假设检验问题题. .2假设检验假设检验概述概述 假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验总体分布类型已知，总体分布类型已知，检验关

2、于其未知参检验关于其未知参数的某个假设数的某个假设总体分布未知时的总体分布未知时的假设检验问题假设检验问题3第八章第八章 假设检验假设检验v假设检验假设检验v一个正态总体均值与方差的假设检验一个正态总体均值与方差的假设检验v两个正态总体均值或方差的比较两个正态总体均值或方差的比较4小概率事件原理小概率事件原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本上不会发生设有两个盒子，各装有设有两个盒子，各装有100个球个球.一盒中的白球和红球数一盒中的白球和红球数99个红球个红球一个白球一个白球99个个另一盒中的白球和红球数另一盒中的白球和红球数99个白球个白球一个红球一个红球99个

3、个5小概率事件原理小概率事件原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本上不会发生 现从两盒中随机取出一个盒子，问这个现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球盒子里是白球99个还是红球个还是红球99个？个？6小概率事件原理小概率事件原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本上不会发生不妨假设：不妨假设：这个盒子里有这个盒子里有99个白球个白球.现在从中随机摸出一个球，发现是现在从中随机摸出一个球，发现是此时如何判断这个假设是否成立呢？此时如何判断这个假设是否成立呢？7小概率事件原理小概率事件原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在

4、一次试验中基本上不会发生假设其中真有假设其中真有99个白球，个白球，摸出红球的概率只有摸出红球的概率只有1/100，这是小概率事件这是小概率事件. 小概率事件在一次试验中竟然发生了，不小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设能不使人怀疑所作的假设. 这个例子中所使用的推理方法，可以称为这个例子中所使用的推理方法，可以称为带概率性质的反证法带概率性质的反证法不妨称为不妨称为概率反证法概率反证法.8小概率事件原理小概率事件原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本上不会发生它不同于一般的反证法它不同于一般的反证法 一般的反证法要求在原假设成立的条件一般的反

5、证法要求在原假设成立的条件下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全绝对地否定原假设矛盾，则完全绝对地否定原假设. 概率反证法的逻辑是：如果小概率事件概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设握否定原假设.9引例引例 生产流水线上罐装可乐不断地封装，然生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运后装箱外运. 怎么知道这批罐装可乐的容量怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？是否合格呢？合格标准：罐装可乐的容量按标准应在合格标准：罐装可乐的容量按标准应在350350毫升和毫

6、升和360360毫升之间毫升之间. .方案一方案一把每一罐都打开倒入把每一罐都打开倒入量杯量杯, 看看容量是否合于标准看看容量是否合于标准. 这样做显这样做显然不行！然不行！10通常的办法是进行抽样检查通常的办法是进行抽样检查. .方案二：每隔一定时间，抽查若干罐方案二：每隔一定时间，抽查若干罐 .12,.nnnXXX如如每每隔隔一一小小时时，抽抽查查 罐罐，得得到到 个个容容量量的的值值根根据据这这些些值值来来判判断断生生产产是是否否正正常常 如发现不正常，就应停产，找出原因，如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；如没有问题，就继排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规

7、定时间再抽样，以此监督生产，保证续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量质量.11 很明显，不能由很明显，不能由n 罐容量的数据，在罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产不正常，因把握不大的情况下就判断生产不正常，因为停产的损失是很大的为停产的损失是很大的. . 当然也不能总认为正常，有了问题不当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失能及时发现，这也要造成损失. . 如何处理这两者的关系？假设检验面如何处理这两者的关系？假设检验面对的就是这种矛盾对的就是这种矛盾. .12下面，就来讨论这个问题下面，就来讨论这个问题. . 在正常生产条件下，由于种种随机因素的在正常生产条

8、件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动毫升上下波动. 这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位. 因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的正态分布是合理的.1,nXX这这样样，可可以以认认为为是是取取自自正正态态总总2( ,)N 体体的的样样本本. . 且且设设 是是已已知知常常数数. .13 现在要检验的假设是：现在要检验的假设是：它的对立假设是：它的对立假设是：称称H0为原假设（或零假设）；为原假设（或零假设）；称称H1为备择假设（或对立假设）为备

9、择假设（或对立假设）. .那么，如何判断原假设那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？是否成立呢？在实际工作中，在实际工作中，往往把不轻易往往把不轻易否定的命题作否定的命题作为原假设为原假设. 000:(355),H10:,H14来判断来判断H0 是否成立是否成立. 较大、较小是一个相对的概念，合理的较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？界限在何处？应由什么原则来确定？0X 由由于于 是是正正态态分分布布的的期期望望值值，它它的的估估计计量量是是XX 0 0样样本本均均值值 ，因因此此可可以以根根据据 与与的的差差距距00HX 当当较较小小时时，可可以以认认为为是是成

10、成立立的的；00HX 当当较较大大时时，应应该该认认为为不不成成立立的的，即即生生产产已已不不正正常常. .15问题是：问题是：如何给出这个量的界限？如何给出这个量的界限？ 000,1 ,XUNnxx 在原假设为真时， 且应该较小. 00. xxn 而衡量的大小，可归结为衡量的大小1600.xxkHn 反反之之，若若样样本本的的观观察察值值 满满足足时时，就就接接受受原原假假设设 k怎怎样样求求数数 呢呢？00, kxxkHn 选择适当的正数使样本的观察值 满足时，就拒绝原假设； 172 2 01, 给定一个很小的数 ：使得,XPkn 由标准正态分布的上 分位点的定义知:2,kz 也就是说也就

11、是说,事件事件2|“”Uz 是一个小概率事件是一个小概率事件.18故可以取拒绝域为故可以取拒绝域为W：2|Uz 如果由样本值算得该统计量的实测值落如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域入区域W，则拒绝，则拒绝H0 ；否则，不能拒绝；否则，不能拒绝H0 . 这是因为，如果这是因为，如果H0 是对的，那么衡量差是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域异大小的某个统计量落入区域 W(拒绝域拒绝域) 是是个小概率事件个小概率事件. 如果该统计量的实测值落入如果该统计量的实测值落入W，也就是说，也就是说， H0 成立下的小概率事件发生成立下的小概率事件发生了了, 那么就认为那么就认为H0不可信而否

12、定它不可信而否定它. 否则就不否则就不能否定能否定H0 （只好接受它）（只好接受它）.19 不否定不否定H0并不是肯定并不是肯定H0一定对，而只一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否是说差异还不够显著，还没有达到足以否定定H0的程度的程度 .所以假设检验又叫所以假设检验又叫 “显著性检验显著性检验” 如果显著性水平如果显著性水平 取得很小，则拒绝取得很小，则拒绝域也会比较小域也会比较小. 其产生的后果是其产生的后果是: H0难于难于被拒绝被拒绝. 如果在如果在很小的情况下很小的情况下H0仍被拒仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异差异.20

13、例例1 某工厂生产的一种螺丝钉，标准要求长某工厂生产的一种螺丝钉，标准要求长 度是度是32.5毫米毫米. 实际生产的产品，其长度实际生产的产品，其长度X 22,N 假定服从正态分布未知，现从该厂生产的一批产品中抽取该厂生产的一批产品中抽取6件件, 得尺寸数得尺寸数据如下据如下:32.56, 29.66, 31.64 30.00, 31.87, 31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格?21分析：这批产品分析：这批产品(螺钉长度螺钉长度)的全体组成问题的的全体组成问题的总体总体X. 现在要检验现在要检验E(X)是否为是否为32.5.已知已知 X),(2 N2 未知未知.第一步第一步提出原假

14、设和备择假设提出原假设和备择假设 01:32.5:32.5HH 第二步第二步取一检验统计量，在取一检验统计量，在H0成立下成立下求出它的分布求出它的分布32.5 (5)6XXttSnS 能衡量差能衡量差异大小且异大小且分布已知分布已知22第三步第三步 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 = =0.01, ,查查 20.005(5)(5)4.0322,tt 使使2| |(5) Ptt即即“ ”)5(|2 tt 得拒绝域得拒绝域 W: |t |4.0322小概率事件在小概率事件在一次试验中基一次试验中基本上不会发生本上不会发生 表确定临界值表确定临界值. .是一个是一个小概率事件小概率事件 .x

15、o2 21ktn 2 23拒绝域拒绝域 W: |t |4.0322第四步第四步将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 t 的的实测值实测值, ,| t |=2.9972.33落入拒绝域落入拒绝域故拒绝原假设故拒绝原假设H0 . 这时可能犯第一类错误，犯错误的概这时可能犯第一类错误，犯错误的概率不超过率不超过0.01. 认为新生产织物比过去的织物强力认为新生产织物比过去的织物强力是有所提高是有所提高. .41正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验方差 已知时，关于均值 的 检验2Z 检验Z0Xzn检验统计量 0H1H0H 的拒绝域000 00 0:z zz :z zz 2:zzz 2

16、12,nXXXN 42正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验方差 未知时，关于均值 的 检验2t0XtSn检验统计量 0H1H0H 的拒绝域000 00 01:()t ttn 1:()t ttn 21:tttn 检验t43P115 7.30010054 4440 03360 054 554 554 5542 77644 4444 457 050 03365nxsHHXttSntttH ,.,.,.;:.,:.( )/ :.,./这是双边检验提出假设选择检验统计量对显著性水平 =0.05,得到拒绝域:将样本值代入统计量得实测值:t =7.052.7764,拒绝,即认为. 44例例7.400

17、1000052018321790 0520020002000191 729101183220004 19731 729117920nxsXHtt nSnt tttHH .,.;():,:.()./ :./这是边检验提出假设选择检验统计量对显著性水平 =0.05,得到拒绝域:将样本值代入统计量得实测左拒绝值:,即认为灯泡未达到标准. 45问题：问题：在单边检验中，将原假设与备择假设对调，在单边检验中，将原假设与备择假设对调，结果会改变吗？结果会改变吗？4600100050201960200005200020002000119172911960 200008941729120020nxsHHXtt

18、 nSnt tttH.,.;:,:.()/ :()./左边检验提出假设选择检验统计量对显著性水平 =0.05,得到拒绝域:将样本值代入统计量得实测值:接受,即认为灯泡达到标准. 4700100 0502019602000 052000200020001191 7291196020000 8941 729120020nxsHHXtt nSnt tttH .,.;:,:.()/ :()./右边检验提出假设选择检验统计量对显著性水平 =0.05,得到拒绝域:将样本值代入统计量得实测值:接受,即认为灯泡未达到标准. 48这是因为我们的着眼点不同，这是因为我们的着眼点不同，进一步讨论进一步讨论:1111

19、t ntt ntt ntt n ()()()()时产生不同的结果;或时产生相同的结果. 49作业作业P1212,350正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验关于方差 的 检验22 22201nS()检验统计量 0H1H0H 的拒绝域220220220 220220 220 22121()n 检验2 221()n 2211()n 2221()n 212,nXXXN 51222SS 分析 因为是总体方差的无偏估计，故从入手构造检验统计量.2222220111.nSnSn2221,nS 构造统计量0H当假设为真时，52, a b求使得222221222001111()().nSnSnn 拒绝域

20、为22012.PnSb 22012,PnSa22(1)n 212(1)n )(xfx 2221(1)nSn 2 2 1 2122211,.anbn 53例例3222201160000 160000,:,:.XXNHH 以 表示由一信息源发出的二进制编码信息的位数，设 服从正态分布参数未知，今测得数据(以位计)4532，4606，3511，4201，4392，46394021，4722，3470，3100，4212，4165取显著水平 =0.10,检验假设5420120 10160000,.,.n 解 这是双边检验. 2220 0522120 9511119 6751114 575.()().,

21、()().nn 查表得：2222001119 6754 575()().nSnS 拒绝域为222020270080 99118 574 57518 5719 675160000.,.,.SnSH 由观察值得而故接受即认为55例例40022.( ,), ,CCN 一温度计制造商声称，他的温度计读数的标准差不超过0.5检验了一组16只温度计，得到样本的标准差为0.7设温度计读数总体近似服从正态分布均未知，试检验制造商的断言是否正确.取 =0.05.000122 022 0010 50 50 50 5HC HCHC HC:.,:.:.,:.解 检验假设或检验假设5622201nS取统计量22200

22、05116 124 996.nS 拒绝域为2220 715 0 70 529 424 996. ,.,S 因为，0,.H故拒绝认为制造商的话不可信57P116例例7.522010 060 06HH:.,:.解 检验假设 2210 06nS.取统计量 220 9750 0252282 180817 5342 18017 534.,.,.拒绝域为 220 0758 0 075 0 0610s .,., 0H ,.故接受认为.58P116例例7.62222010 0050 005HH:.,:.解 检验假设 22210 005nS.取统计量 20 052815 50715 507.,.拒绝域为 222

23、0 00668 0 00660 00513 9415 507s .,., 0H ,.故接受认为.59两个正态总体均值的比较两个正态总体均值的比较 检验z zz: 221122XYZnn统计量0H1H0H 的拒绝域121212 1212 12z zz : 2zzz: Z121211,nXXXN 221222,nY YYN 60两个正态总体均值的比较两个正态总体均值的比较122:()t ttnn 1211wXYTsnn统计量0H1H0H 的拒绝域121212 1212 12122:()t ttnn 2122:tttnn 检验t12121,nXXXN 22122,nY YYN 61例例5在平炉上进行

24、一项试验以确定改变操作方法的建在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率议是否会增加钢的得率, , 试验是在同一只平炉上试验是在同一只平炉上进行的进行的. . 每炼一炉钢时除操作方法外每炼一炉钢时除操作方法外, , 其它条件其它条件都尽可能做到相同都尽可能做到相同. . 先用标准方法炼一炉先用标准方法炼一炉, , 然后然后用简易的新方法炼一炉用简易的新方法炼一炉, , 以后交替进行以后交替进行, , 各炼各炼1010炉炉, , 其得率分别为其得率分别为标准方法标准方法: 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4: 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 7

25、8.4 76.0 75.5 76.7 77.3 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3新方法新方法: 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0: 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1622221212,. NN 设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体和，均未知 问建议的新操作方法能否提高得率？(取 =0.05).012112221122:,:.10,76.23,3.325;10,79.43,2.225;HHnxsnys解 提出假设分别求出标准方法与新方法下的样本均

26、值和样本方差如下：63221220.050.05010 110 12.775,181.7341,10 102110 110181.7431.4.2951.7431,.wwsssttxysttH 又，故拒绝域为由样本观察值拒绝假设即认为建议的新操作方法较原来的方法为优64两个正态总体方差的比较两个正态总体方差的比较121211,nXXXN 2212FSS检验统计量的观察值0H1H0H 的拒绝域221222122212 22122212 2212 121211FFnn(,) F检验21211FFnn(,) 1211FFnn(,) 11211FFnn(,) 221222,nY YYN 65例例6 为

27、比较两台自动机床的精度，分别取容为比较两台自动机床的精度，分别取容量为量为10和和8的两个样本的两个样本, 测量某个指标的尺寸测量某个指标的尺寸(假定服从正态分布假定服从正态分布)，得到下列结果：，得到下列结果：车床甲：车床甲：1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.15, 1.25, 1.36, 1.38, 1.40, 1.42车床乙：车床乙：1.11, 1.12, 1.18, 1.22, 1.33, 1.35, 1.36, 1.38在在 =0.1时，时， 问这两台机床是否有同样问这两台机床是否有同样的精度的精度? 66解解: :设设两台自动机床的方差分别为两台自动机床的方差分别

28、为在在 =0.1=0.1下检验假设下检验假设: : ,2221 2222101221:HH其中其中 为两样本的样本方差为两样本的样本方差)7 , 9(2221FSSF 取统计量取统计量2221,SS)7 , 9(21 FF拒绝域为拒绝域为 W:或或)7 , 9(2 FF 67)7 , 9(21 FF拒绝域为拒绝域为 W:或或)7 , 9(2 FF 由样本值可计算得由样本值可计算得F的实测值为的实测值为: :F=1.5168. 3)7 , 9()7 , 9(05. 02 FF 查表得查表得)7 , 9()7 , 9(95. 021FF )9 , 7(/105. 0F1/3.290.304. 由于

29、由于 0.3041.513.68， 故接受故接受H0 .这时可能犯第二类错误这时可能犯第二类错误.68基于成对数据的检验基于成对数据的检验2,1,2, .kkkDDDXYNkn1t ttn:() 0DDtSn统计量的观察值0H1H0H 的拒绝域0D 0D 0D 0D 0D 0D 1t ttn :() 21tttn: 检验t1122(,),(,),(,)nnX YX YXY69例例7有两台光谱仪有两台光谱仪A、B，用来测量材料中某种金属的，用来测量材料中某种金属的含量，为鉴定它们的测量结果有无显著差异，制含量，为鉴定它们的测量结果有无显著差异，制备了备了9件试块（它们的成分、金属含量、均匀性等件

30、试块（它们的成分、金属含量、均匀性等均各不相同），现在分别用这两台仪器对每一试均各不相同），现在分别用这两台仪器对每一试块测量一次，得到块测量一次，得到9对观察值如下对观察值如下x(%)y(%)d=x-y(%)0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89 0.10 0.09 -0.12 0.18 -0.18 0.11 0.12 0.13 0.11 70问能否认为这两台仪器的测量结果有显著差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著差异?解解 提出假设提出假设01:0

31、,:0.DDHH 20.00509,883.3554. 3.3554.0.06,0.1227,3 0.06 0.12271.4673.3554,.DDnttdtsndstH 由题意有拒绝域为由观察值得故接受认为两台仪器的测量结果并无显著差异71作业作业P121 8, 9, 13.72置信区间与假设检验置信区间与假设检验（双）（双）nxxxX12, 设是总体 的一个样本值，是参数 的可能取值范围.0010:,:HH若关于参数 的显著水平为 的双边检验：1212, ,.nnx xxx xx接受的域为1212, ,.nnXXXXXX则参数的置信水平为1-的置信区间是731212, ,.nnX XXX

32、 XX反之，若参数 的一个置信水平为1- 的置信区间为00101212:,:, ,.nnHHx xxx xx则关于参数 的显著水平为 的假设检验问题的接受域为：74置信区间与假设检验置信区间与假设检验（单）（单）120120001200,.,:;,:.nnnX XXx xxHx xxH若已求得参数 的置信水平为1- 的单则置信区间 - ，则当- ，时，接受假设当- ，时，拒绝假设75001001212:,:,.nnHHx xxX XX反之，若已求得检验问题的接受域为： 则可得 的一个置信水平为1- 的单则置信区间- ，76置信区间与假设检验置信区间与假设检验（单）（单）120120001200

33、,.,:;,:.nnnX XXx xxHx xxH若已求得参数 的置信水平为1- 的单则置信区间，则当，时，接受假设当，时，拒绝假设77001012012:,:, .nnHHx xxX XX反之，若已求得检验问题的接收域为： 则可得 的一个置信水平为1- 的单则置信区间78数理统计小结数理统计小结第五章主题第五章主题总体，个体，简单随机样本，统计量总体，个体，简单随机样本，统计量统计学中的三大分布的定义及它们的密度统计学中的三大分布的定义及它们的密度函数图形的轮廓函数图形的轮廓分位点分位点关于样本均值与样本方差的重要结论关于样本均值与样本方差的重要结论79注意注意一一.本课程的考试时间定为本课

34、程的考试时间定为1月月9日日13.00-15.00.体育馆体育馆二二.本课程的本课程的 总评成绩总评成绩=卷面成绩卷面成绩*70% +平时成绩平时成绩(期中测验期中测验?)*30%三三.认真复习认真复习,不准作弊不准作弊.80考试范围考试范围:1-7章章题型题型: 选择填空选择填空 70%; 计算计算 30%.81l数理统计基本概念数理统计基本概念理解理解总体、个体、样本和统计量总体、个体、样本和统计量的概的概念。念。了解样本矩的概念，掌握了解样本矩的概念，掌握样本均值、样本均值、样本方差的计算。样本方差的计算。了解了解 2分布、分布、t分布、分布、F分布分布的定义的定义及密度函数的轮廓，并会

35、查表计算。及密度函数的轮廓，并会查表计算。了解了解正态总体的常用的抽样分布正态总体的常用的抽样分布(定定理理5.1-5.3)。82l参数估计参数估计理解点估计的概念，掌握理解点估计的概念，掌握矩估计法与矩估计法与极大似然估计法。极大似然估计法。了解了解估计量的评选标准估计量的评选标准。理解区间估计的概念，会求理解区间估计的概念，会求单个正态单个正态总体的均值与方差的置信区间总体的均值与方差的置信区间及两个及两个正态总体的均值的差与方差的比的置正态总体的均值的差与方差的比的置信区间信区间;会求单个正态总体的均值与方会求单个正态总体的均值与方差的单侧置信区间及两个正态总体的差的单侧置信区间及两个正态总体的均值的差与方差的比的单侧置信区间。均值的差与方差的比的单侧置信区间。83l假设检验假设检验理解假设检验的基本思想，掌握假设理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解检验的基本步骤，了解假设检验可能