4n阶行列式定义ppt课件

1、 第二部分第二部分 线性代数线性代数 第二章第二章 行列式行列式简介简介 行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计算方法。 211211221122211212221121122211)()(abbaxaaaabaabxaaaa 当 时，求得方程组有唯一解：021122211aaaa 1、 二元线性方程组 11112212112222,a xa xba xa xb22211211aaaaD 来表示来表示4个数个数 的一种运算，的一种运算，22211211,aaaa二阶行列式的计算二阶行列式的

2、计算11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .2211112babaD ,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.22211211

3、22111122aaaababaDDx 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为 542132121xxxx104231 D1945311 D101911 DDx223.10DxD 352112 D 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa0333231232221131211 aaaaaaaaaD时，时， DDxDDxDDx332211323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaa

4、aaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2. 2. 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是

5、位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项三项为负为负. . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解解得得由由052 xx3.2 xx或或nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb11112211211222221122nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnjabaabaabaD122211111 nj,2,1DDxjj nj,2 , 1 l（1D=？（怎么算）？（怎么算）？l（2

6、当D0时，方程组是否有唯一解？l（3若若D0时，方程组有唯一解，解的时，方程组有唯一解，解的l形式是否是形式是否是 l 1、全排列l 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：l 123，231，312，132，213，321 一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法； 再从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法； 于是：(1)3 2 1!nPn nn 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称

7、这两个数组成一个逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为标准次序不同的自然数，规定由小到大为标准次序.2.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.分别计算出排列中每个元素前面比它大

8、的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.n,n,121 n,n,121 n计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法:逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶

9、数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列.3.排列的奇偶性排列的奇偶性例例3 3 在在1919构成的排列中构成的排列中, ,求求j j、k k，使排列，使排列1 2 7 4 j 1 2 7 4 j 5 6 k 95 6 k 9为偶排列为偶排列. .解：由题可知，解：由题可知， j j、k k 的取值范围为的取值范围为33，88 当当 j = 3 j = 3、k = 8k = 8时，经计算可知，排列时，经计算可知，排列127435689127435689的逆序数为的逆序数为5 5，即为奇排列，即为奇排列 当当 j= 8 j= 8、k = 3k = 3时，经计算可知，排列时，经计算可知，排列

10、127485639127485639的逆序数为的逆序数为1010，即为偶排列，即为偶排列 j = 8 j = 8，k = 3k = 3例例4 4 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性性. . 2179863541解解453689712544310010 18 此排列为偶排列此排列为偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34 , 24 kkn 1 n 2 n 32121 nnn1 n 2 n4.对换对换定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在

11、排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的变换叫做元素不动，这种作出新排列的变换叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换例如例如mlbbbaaa11bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab定义定义1.1 1.1 设设n n阶方阵阶方阵A=A=（aij)aij)，定义，定义n n阶行列式阶行列式|A|A|的值为的值为1212( 1).jjA nnjDa aa)det(ijaD 也可记为也可记为: 作出n阶方阵A=（aij)中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号 ，得到形如的项（ 称为行列

12、式的一个均布项），其中j1 j2, jn 为自然数1，2，n的一个排列， 为这个排列的逆序数。这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和即为n阶行列式的值。1212( 1)jj nnja aa1212jjnnja aa )1( 说明：说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式

13、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、 的符号为的符号为nnjjjaaa2121 .1 例例5 5 用行列式的定义计算用行列式的定义计算nnDn0000000010020001000 !.1221nDnnn 221 nn解解 nnnnnnaaaaD1 , 12,21, 11 nn 1211 , !1 n nnn2121 1232 nnl（1） 对角行列式对角行列式12120;0nn1(1)22120( 1).0n nnn n 21 11,212111nnnnnaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1,

14、 iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕l（2） 下上三角行列式下上三角行列式1121221122120;nnnnnnaaaa aaaaa111212221122.nnnnnnaaaaaa aaa（3） 21111111111111111111110DDbbbbaaaabbccbbccaaaaDnnnnkkkknnnnknnkkkkk 其中其中 ，11111,kkkkaaDaa11121.nnnnbbDbb1. 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa小结：小结：2. 2. 排列具有奇偶性排列具有奇偶性. .1. 1. 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!.n 3. 3. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性4. 行列式是一种特定的算式，它是根据求解行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量