第06章内容提要及习题讲解 [波动]

1、一一 机械波的基本概念机械波的基本概念1 机械波产生条件：机械波产生条件：1）波源；）波源；2）弹性介质）弹性介质. 机械振动在机械振动在弹性弹性介质中的传播形成波，波是运动介质中的传播形成波，波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播状态的传播，介质的质点并不随波传播.2 描述波的几个物理量描述波的几个物理量2 波长波长 ：一个完整波形的长度：一个完整波形的长度.2 周期周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间：波前进一个波长的距离所需要的时间.T2 频率频率 ：单位时间内波动所传播的完整波的数目：单位时间内波动所传播的完整波的数目.2 波速波速 ：某一相位在单位时间内所传播的距离：某一相位

2、在单位时间内所传播的距离.uT1TuTuu 波的图示法波的图示法: 波线波线 波面波面 波前波前.3 横波、纵波横波、纵波二二 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数)(cosuxtAy 沿沿 轴轴负负向向 ux波波函函数数 沿沿 轴轴正正向向 ux)(cosuxtAy(2) 波形传播的时间周期性波形传播的时间周期性(1) 振动状态的空间周期性振动状态的空间周期性二二 波函数的物理意义波函数的物理意义)(2cos)(cosxTtAuxtAy (3) x 给定，给定，y = y (t) 是是 x 处振动方程处振动方程(4) t 给定，给定，y = y(x) 表示表示 t 时刻的波形图时刻的波形图(

3、5) y 给定给定, x和和 t 都在变化，表明波形传播和分布的时空周期性。都在变化，表明波形传播和分布的时空周期性。三三 波动能量波动能量 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是作周期性变化，且变化是同相位的同相位的.tx,)(sindd222uxtVAW 2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式波动是能量传递的一种方式 .能流密度能流密

4、度uAI22212 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大均最大.2 体积元的位移最大时，三者均为零体积元的位移最大时，三者均为零. 介质中波阵面上的各点都可以看作是发射子波的介质中波阵面上的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前的波前.四四 惠更斯原理（作图法）惠更斯原理（作图法）1s2sP*1r2r波源振动波源振动)cos(111tAy)cos(222tAy)2cos(1111rtAyp)2cos(2222rtAyp点点P 的两个分振动的两个分振动1）频率相

5、同；频率相同；2）振动方向平行；振动方向平行；3）相位相同或相位差恒定相位相同或相位差恒定. 波的相干条件波的相干条件 五五 波的叠加原理波的叠加原理波程差波程差12rr 若若 则则212cos2212221AAAAA)(21212rr 1 波的干涉波的干涉,2, 1 ,02kk, 2 , 1 , 0) 12(kk2121AAAAA其他其他21AAA振动始终振动始终加强加强21AAA振动始终振动始终减弱减弱2 ) )相干波源：相干波源：若有两个波源，它们的振动若有两个波源，它们的振动方向相方向相同、频率相同、周相差恒定，称这同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为相干波源。两波源为相干波源。 波

6、源与观察者同时相对介质运动波源与观察者同时相对介质运动),(osvvsovvuu ov观察者观察者向向波源运动波源运动 + ，远离远离 .波源波源向向观察者运动观察者运动 ，远离远离 + .sv六六 多普勒效应多普勒效应1） 波源不动，观察者相对介质以速度波源不动，观察者相对介质以速度 运动运动ovuuov（+）观察者）观察者向向波源运动波源运动（-）观察者）观察者远离远离波源波源（-）波源）波源向向观察者运动观察者运动（+）波源）波源远离远离观察者观察者svuu2）观察者不动，波源相对介质以速度观察者不动，波源相对介质以速度 运动运动sv物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章

7、机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要v) s ( toA12（A） 例例 如图一向右传播的简谐波在如图一向右传播的简谐波在 t = 0 时刻的波形，时刻的波形，已知周期为已知周期为 2 s ，则则 P 点处质点的振动速度与时间的点处质点的振动速度与时间的关系曲线为：关系曲线为：yAxoAuP*pyAtoAP 点振动图点振动图) s ( toA12（C）v（B）) s ( toA12v) s ( toA12（D）v物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要 例例 一平面简谐波动在弹性媒质中传播时，在一平面简谐波动在弹性媒质中传播时，在传播方

8、向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是能量是（1）动能为零，势能最大）动能为零，势能最大 （2）动能为零，势能为零）动能为零，势能为零（3）动能最大，势能最大）动能最大，势能最大 （4）动能最大，势能为零）动能最大，势能为零物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要例例设有一平面简谐波设有一平面简谐波x, y 以以m计，计， t 以以s计，计， (1)求振幅、波长、频率和波速；求振幅、波长、频率和波速； (2)求求x = 0.1m处质点振动的初相位。处质点振动的初相位。20.02tycos

9、=x0.010.3物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要20.02tycos=x0.010.3()+20.02tycos=xT=100Hz=0.3mu=0.3100=30 m/sA =0.02m(1)t =0=23解：解：两式比较得到：两式比较得到：x =0.1m(2) 当当物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要 例例 一平面机械波沿一平面机械波沿 轴轴负负方向传播，已知方向传播，已知 处质点的振动方程为处质点的振动方程为 ，若波速为，若波速为 求此波的求此波的波函数波函数.xm1x

10、)cos(tAyu)cos(tAym1xtut)1(u)(cosuuxtAy)(cosuxtAy波函数波函数解：解：物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要22Am100)m( yA)m(xoAPm200)200250(cosxt2Ay 例例 一平面简谐波在一平面简谐波在 时刻的波形图如图，时刻的波形图如图，设频率设频率 ，且此时，且此时 P 点的运动方向向点的运动方向向下下，求求 1）该波的波函数）该波的波函数;Hz2500t0pv0220, 0vAyxt4解：解：x波向波向 轴轴负负向传播向传播Hz250yAO22A物理学教程物理学教程

11、（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要4)200250(cosxt2Ay)450(cos,m100t05Ayx)450(sin500ddt05Atyv 2） 求求在距原点在距原点 O 为为100m处质点的振动方程与处质点的振动方程与振动速度表达式振动速度表达式.m200Hz25022Am100)m( yA)m(xoAP物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要uttyAxoA)2cos(tAyo 例例 一简谐波沿一简谐波沿 轴轴正正向传播，已知振幅、频率向传播，已知振幅、频率和速度分别为和速度分别为 ，设，

12、设 时的波形曲线如时的波形曲线如图，图，求求 1） 处质点振动方程；处质点振动方程；2）该波的波函数）该波的波函数. oxuA,tt0 xt2222t000,vyxtt2)(2costtAyo2)(2cosuxttAy波函数波函数v解：解：物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要 例例 一简谐波沿一简谐波沿 轴轴正正向传播，向传播， 已知已知 点振动曲线如图，点振动曲线如图，求求 1） 点振动方点振动方程、程、2）波函数。）波函数。oxs4,m4T0 x0 x2)m10(2y222) s ( tom)42cos(1022tyom3)44(2

13、cos1022xty波函数波函数020,0vAyxtyoA32A物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要 例例 已知波动方程如下，求波长、周期和波速已知波动方程如下，求波长、周期和波速.)cm01. 0()2.50s(cos)cm5(-1-1xty解解：方法一（比较系数法）：方法一（比较系数法）. )(2cosxTtAy)cm201. 0()s22.50(2cos)cm5(1 -1 -xty把题中波动方程改写成把题中波动方程改写成s8 . 0s5 . 22Tcm20001. 0cm21scm250Tu比较得比较得物理学教程物理学教程（第二版

14、）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要 例例 已知波动方程如下，求波长、周期和波速已知波动方程如下，求波长、周期和波速.)cm01. 0()2.50s(cos)cm5(-1-1xty解解：方法二（由各物理量的定义解之）：方法二（由各物理量的定义解之）. txt)2.50s()cm01. 0()2.50s(-11-1-12)cm01. 0(2-1xcm20012xx)cm01. 0()2.50s()cm01. 0()2.50s(2-12-11-11-1xtxts8 . 012ttT11212scm250ttxxu周期周期为相位传播一个波长所需的时间为相位传播一个波长所

15、需的时间 波长波长是指同一时刻是指同一时刻 ，波线上相位差为，波线上相位差为 的的两点间的距离两点间的距离.2tcm20012xx物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要)(2cosxTtAy 1）波动方程波动方程2 例例 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，轴正方向传播， 已知振已知振幅幅 ， ， . 在在 时坐标时坐标原点处的质点位于平衡位置沿原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动轴正方向运动 . 求求 0tm0 . 2m0 . 1As0 .2T0,0tyyv00 xt解解 写出波动方程的标准式写出波动方程的标

16、准式2)m0 . 2s0 . 2(2cosm)0 . 1 ( xty物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要2）求求 波形图波形图.x)msin( m)0.1(1s0.1t)m(2cosm)0 .1 (1xy波形方程波形方程s0.1t2)m0 .2s0 .2(2cosm)0 .1 (xtyom/ym/x2.01.0-1.0 时刻波形图时刻波形图s0.1t物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要3） 处质点的振动规律并做图处质点的振动规律并做图 .m5 . 0 x)scos(m)0 . 1

17、 (1ty2)m0 . 2s0 . 2(2cosm)0 . 1 (xty 处质点的振动方程处质点的振动方程m5 . 0 x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234*1234处质点的振动曲线处质点的振动曲线m5 . 0 x1.0物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要例例7一横波沿绳子传播时的波动表式为一横波沿绳子传播时的波动表式为 x, y 的单位为的单位为 m, t 的单位为的单位为s。 (1) 求绳子上各质点振动的最大速度和最求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。大加速度。 (2)求求x = 0.2m处的质点在处的质点在t =

18、1s时的相时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位位，它是原点处质点在哪一时刻的相位?100.05tycos()=4 x物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要100.05tycos()=4 xA =0.05m=5Hz=0.5m=umA=0.0510=0.5m/s=amA20.05(10)2=0.5m/s22 解：解：(1)(2)t =1s=440.2=9.2=10t9.2x =0.2mx =0在原点处在原点处t =0.92s物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要例例10 已知一沿已知

19、一沿x 轴正向传播的平面余轴正向传播的平面余弦波在弦波在t =1/3 s时的波形如图所示，且周时的波形如图所示，且周期期T =2s (1)写出写出O点和点和 P 点的振动表式；点的振动表式； (2)写出该波的波动表式；写出该波的波动表式； (3)求求P 点离点离O点的距离。点的距离。20 x/cmoy/cm10-5物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要A =10cm=为为时刻时刻处的相位处的相位t13sx =0=40cm，=0.5Hz，T =2s，已知：已知：2Atycos=2x+解：由解：由()10tycos=1+3x20得到：得到：2

20、0 x/cmoy/cm10-5由波形图得到：由波形图得到： 0v=23y0 =-5物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要例例一平面波在介质中以速度一平面波在介质中以速度u =20m/s沿沿x 轴负方向传播，已知轴负方向传播，已知 a 点的振动点的振动表式为：表式为：43tycos=axabu5m. (1)以以a为坐标原点写出波动方程；为坐标原点写出波动方程； (2)以距以距a点点5m处的处的b点为坐标原点写出点为坐标原点写出波动方程。波动方程。物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要4

21、3tycos=a+3tycos=204x 解：解：(1)以以a点为原点在点为原点在x轴上任取一点轴上任取一点P，坐，坐 标为标为x(2)以以b点为坐标原点点为坐标原点+3tycos=4x 520()+3tcos=4x20 xyoP.a.xu.xyoab.5muP.物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要例例 一平面简谐波在一平面简谐波在t =0时的波形曲时的波形曲线如图所示，波速线如图所示，波速u =0.08m/s; (1)写出该波的波动表式写出该波的波动表式; (2)画出画出t =T/8 时的波形曲线。时的波形曲线。0.2x/cmoy/c

22、m0.040.4u.物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要t =00.40.08u=0.2Hz=x =0y=0+0.04tcos=0.4x52yv02=uA =0.04m,=0.4m，=0.08m/s，解：解：0.2x/cmoy/cm0.040.4u.(1)物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要(2)当当t =T/8时时波向前推进了波向前推进了8t =00.2x/cmoy/cm0.040.4u.8Tt =物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要

23、机械波内容提要例例 一列沿一列沿x 正向传播的简谐波，正向传播的简谐波，已知已知 t1= 0时和时和 t2= 0.25s时的波形如图所时的波形如图所示。试求：示。试求： (1)P点的振动表式点的振动表式; (2)此波的波动表式此波的波动表式; (3)画出画出 o 点的振动曲线。点的振动曲线。x/cmoy/cm0.20.45ut1= 0t2= 0.25sP.物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要u=0.6m/s=A =0.2m解：解：T=1s= 40.25 =1Hz0.4534=0.6m+0.2tcos=2yx20.6t =0 x =0y=

24、0v02=+2310 x0.2tcos=2yx/cmoy/cm0.20.45ut1=0t2=0.25sP.物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要+2310 x0.2tcos=2y2+0.2tcos=2yO2+0.33100.2tcos=2yP20.2tcos=2物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要 例例 两相干波源位于同一介质中的两相干波源位于同一介质中的 A、B 两点，两点，其振幅相同，频率皆为其振幅相同，频率皆为 100 Hz ，B 比比 A 的相位超的相位超前前 ，若，若 A

25、、B 相距相距 30.0 m , 波速为波速为 400 m/s , 试求试求 AB 连线上因干涉而静止的点的位置连线上因干涉而静止的点的位置.*ABxm30解解: 1）A 点左侧点左侧142ABABrr全部加强全部加强2）B 点右侧点右侧162ABABrr全部加强全部加强3）A、B 两点间两点间) 12()30(2kxxABABm4u72, 1, 0m)215(kkxxx30o物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要例例17 天线天线P、Q为两个以同相位、同为两个以同相位、同频率、同振幅振动的相干波源，它们在同一频率、同振幅振动的相干波源，

26、它们在同一介质中。设频率为介质中。设频率为 ，波长为，波长为，P、Q间距间距离为离为3/ 2 ，R为为PQ延长线上离延长线上离Q很远的一很远的一点，两波在该点的振幅可视为相等。试求点，两波在该点的振幅可视为相等。试求: (1)自自P发出的波在发出的波在R点的振动与自点的振动与自Q发出发出的波在的波在R点的振动的位相差点的振动的位相差; (2)R点的合振动的振福点的合振动的振福物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要23=2=3S1S2.23解解:=3(2)由于由于r2=2r1(1)=A1A2A0物理学教程物理学教程（第二版）（第二版）第六章第六章 机械波机械波机械波内容提要机械波内容提要例例 有一平面波的波动方程为：有一平面波的波动方程为：此波传到隔板上的两个小孔此波传到隔板上的两个小孔A、B上，上，A、B相距相距1m,PAPB ,如如图所示。若从图所示。若从 A、B 传出的子波到达传出的子波到达P 时时恰