闭区间上连续函数的性质

1、四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理定理定理7：设函数设函数 f (x) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续，则上连续，则（1）f (x) 在在 a , b 上有界，即上有界，即MxfbaxM | )(|, ,0都都有有使使对对（2） f (x) 在在 a , b 上一定能取得它的最大值和最小值上一定能取得它的最大值和最小值,)(, ,11为为最最大大值值使使一一点点即即至至少少 fba .)(, ,22为为最最小小值值使使一一点点和和至至少少 fba 二、二、零点定理和介值定

2、理零点定理和介值定理.)(, 0)(000的的零零点点为为则则称称使使若若xfxxfx 定理定理9：设设 f (x) 在在 a , b 上连续，且在端点的函数值上连续，且在端点的函数值异号，即异号，即 f (a) f (b) 0 , 则至少存在一点则至少存在一点 a , b ,使使 f ( ) = 0。xy ab0)( af0)( bf0)( f)()(21 ff xy 1 ab0)( af0)( bf 2 3 0)(3 f零点定理的推广：设零点定理的推广：设 f (x) 在在 ( , + ) 上连续，上连续，,0,)(lim,)(lim)1( BABxfAxfxx且且则则 f (x) 在在

3、( , + ) 内至少有一个零点内至少有一个零点, )()(lim,)()(lim)2( 或或或或xfxfxx则则 f (x) 在在 ( , + ) 内至少有一个零点内至少有一个零点xy AB xy 1 2 3 定理定理10：设设 f (x) 在在 a , b 上连续，且上连续，且 f (a) = A ，f (b) = B , A B ，则对则对 介于介于 A 和和 B 之间的任一之间的任一个数个数 C ，至少存在一点至少存在一点 ( a , b ) , 使使 f ( ) = C。 推论：推论：设设 f (x) 在在 a , b 上连续，上连续，M 和和 m 分别为最大分别为最大 值和最小值，

4、则值和最小值，则 f (x) 必取得必取得介于介于 M 和和 m 之间之间 的任何值。的任何值。例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,(0,1),使, 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内内至至少少有有一一根根在在方方程程 xx由零点存在定理，得由零点存在定理，得例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设

5、函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上上连连续续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即.0:21221120至少有一实根至少有一实根证明方程证明方程例例 nnnaxaxa证明：不妨设证明：不妨设, 00 a则则)()(12121012 nnnxaxaaxxf,)(lim,)(lim xfxfxx由零点定理的推广得由零点定理的推广得 f (x) 在在 ( , + ) 内至少有内至少有一个零点。一个零点。,)(1221120 nnnaxaxaxf令令.0:1221120至至少少有有一一实实根根即即方方程程 nnnaxaxa01sin:1 xx证证明明方方程程例例.)2,2(内内至至少少有有一一实实根根在在 证明：取证明：取, 1sin)( x