14.5等腰三角形的性质

1、折一折剪一剪展一展等腰三角形定义：等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边（相等的两条边（AB和和AC）叫做腰叫做腰另一条另一条边（边（BC）叫做底边叫做底边两腰所夹的两腰所夹的角（角（BAC）叫做顶角）叫做顶角设问设问1：刚才剪纸得到的刚才剪纸得到的ABC是轴对称图形吗？是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？折痕折痕AD所在的直线所在的直线是它的对称轴是它的对称轴 ABCD腰腰底腰腰:底边：底边：顶角：顶角： 底角：底角：腰与底边的夹角（腰与底边的夹角（ B 和和C）叫底角）叫底角设问设问2：通过折叠，你能发现哪些重

2、合的线段、相等的角？通过折叠，你能发现哪些重合的线段、相等的角？ （1）AB=AC（2）BD = CD （3） B = C（4）BAD=CAD（5）ADC= ADB=900等腰三角形的性质：等腰三角形的性质： 两个底角相等两个底角相等 AD为底边为底边BC上的中线上的中线 AD为顶角为顶角BAC的平分线的平分线 AD为底边为底边BC上的高上的高 等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两腰相等性质性质1 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。 解：过点解：过点A作作BAC的的角平分线角平分线交交BC于点于点DD AB = AC (已知已知) BAD = CAD (已证已证) AD = A

3、D (公共边公共边) BAD CAD(S.A.S) B = C (全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等) BAD = CAD (角平分线的性质角平分线的性质) 在在BAD与与CAD中中已知：已知：ABC中，中，ABAC说明说明 的理由。的理由。已知：已知：ABC中，中，ABAC说明说明 的理由。的理由。 解：作解：作BC边上的边上的中线中线 ADD AB = AC (已知已知) BD = CD （已证）（已证） AD = AD (公共边公共边) BAD CAD( S.S.S ) B = C (全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等) BD = CD (中线定义中线定义) 在在 BAD与与

4、 CAD中中已知：已知：ABC中，中，ABAC说明说明 的理由。的理由。解：过点解：过点A作作ADBC交交BC于点于点DD AB = AC (已知已知) AD = AD (公共边公共边) BAD CAD( HL ) B = C (全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等) BDA = CDA = 90 (垂直定义垂直定义) 在在Rt BAD与与Rt CAD中中等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：性质性质1 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。（简称为（简称为“等边对等角等边对等角”）；）；符号表示符号表示:AB=AC (已知已知) B=C （等边对等角）（等边对等角）根据根据B

5、AD CAD，我们还可以得到，我们还可以得到什么结论？什么结论？还可以得到还可以得到ADB=ADC和和BD=CD等腰三角形性质：等腰三角形性质：性质性质1 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。性质性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。的高互相重合。（可简称为（可简称为“等腰三角形的等腰三角形的三线合一三线合一”）（简写成（简写成“等边对等角等边对等角”）；）；符号语言表示符号语言表示:AB=AC B=C (等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等)（等边对等角）（等边对等角） 性质性质2：等腰三角形

6、的顶角平分线，底边上的中线，底边等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（上的高互相重合。（简称为简称为等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一)性质性质2可分解成下面三个方面来理解：可分解成下面三个方面来理解：1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。AB

7、CD21符号语言表示为：在符号语言表示为：在ABC中中 ABAC 12（已知）（已知） BDCD 且且 ADBC（等腰三角形的三线合一）（等腰三角形的三线合一）符号语言表示为：在符号语言表示为：在ABC中中 ABAC BDCD （已知）（已知） ADBC且且12 （等腰三角形的三线合一（等腰三角形的三线合一）符号语言表示为：在符号语言表示为：在ABC中中 ABAC ADBC （已知）（已知） BDCD且且12 （等腰三角形的三线合一）（等腰三角形的三线合一）等腰三角形等腰三角形是是_图形，图形，它的对称轴是它的对称轴是_、也是也是_也是也是_(即：即：_)由以上说理过程还表明：底边上的高所在的

8、直线底边上的高所在的直线底边上的中线所在的直线底边上的中线所在的直线底边的垂直平分线底边的垂直平分线顶角的平分线所在的直线顶角的平分线所在的直线轴对称轴对称ABCD已知：已知：ABC中，中，ABAC、BD平分平分ABC。能否得出能否得出BDAC、DA=DC吗？吗？（不能不能）例1、已知： ABC中， AB=AC, B=70,求：（1）C的度数；（2） A的度数.ABC 在等腰三角形中在等腰三角形中, ,（1 1）已知顶角为）已知顶角为7070，其余两个角分别为。，其余两个角分别为。（2 2）已知底角为）已知底角为7070，其余两个角分别为。，其余两个角分别为。 （3 3）已知一个角为）已知一个

9、角为7070, , 其余两个角分别为其余两个角分别为（4 4）已知一个角为）已知一个角为110110，其余两个角分别为，其余两个角分别为55、5570、40变式：40 707055 55 7070701101101103535 在等腰三角形中在等腰三角形中, ,（1 1）已知顶角为）已知顶角为7070，其余两个角分别为。，其余两个角分别为。（2 2）已知底角为）已知底角为7070，其余两个角分别为。，其余两个角分别为。 （3 3）已知一个角为）已知一个角为7070, , 其余两个角分别为其余两个角分别为（4 4）已知一个角为）已知一个角为110110，其余两个角分别为，其余两个角分别为(5)已

10、知等腰三角形的两边长分别是已知等腰三角形的两边长分别是4和和6，则它的周长，则它的周长是（是（ ） A、14 B、15 C、16 D、14或或1655、5570、40变式：等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形等腰三角形ABC例例2 已知：如图，房屋的顶角已知：如图，房屋的顶角BAC=100 , 过屋顶过屋顶A的立柱的立柱AD BC , 屋椽屋椽AB=AC. （1）求顶架上）求顶架上B、C、BAD、C

11、AD的度数的度数. （2） AD 是是 三角形三角形ABC的中线吗？的中线吗？ ABDC解解： （1）在在ABC中中 AB=AC（已知），（已知），B=C（等边对等角）等边对等角） AB=AC，ADBC（已知），（已知），BAD=CAD（等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一）. BAD=CAD=50（等式性质）（等式性质） BAC=100 （已知），（已知），B=C= (180A)=40(三角形内角和为三角形内角和为180度度)21 （2）AB=AC，ADBC（已知）（已知）BD=CD即即AD是底边是底边BC的中线（的中线（等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一）. 通过本节课的学习通过

12、本节课的学习, ,你有什么收获？你有什么收获？小结等腰三角形的性质等腰三角形的三线合一等边对等角 小明的练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边AB和B还保留着.请你画出练习册上原来的等腰三角形形状. 已知：已知：AD = DC=CB，A= 25 求：求：DCB的度数。的度数。拓展练习D在在ADC中，中，AD=CDDCA = A = 25 （等边对等角）（等边对等角）BDC= DCA+A = 50 （三角形的一（三角形的一 个外角等于和它不相邻的两个内角的和）个外角等于和它不相邻的两个内角的和）在在BDC中，中，DC=CBB= BDC= 50 （等边对等角）（等边对等角） DCB=

13、180 B BDC= 80 （三角形内角和为（三角形内角和为180度）度） DCB = 80 解：解：布置作业练习册14.5已知已知:如图，如图，AB=BC=CD=ED=EF.A=15，试求，试求 FEM的度数？的度数？找出下面图形中相等的角：找出下面图形中相等的角：（1 1）在）在ABCABC中，中，AC=BCAC=BC， ACB=90ACB=90，CDABCDABA=B=ACD=BCD=45ADC=BDC=ACB=90巩固练习ACBD巩固练习已知：在已知：在ABC中，中，AB=AC，CDAB，1=45求：求： BCD的度数的度数DCAB，1=45A= 45AB=AC （已知）（已知）B=

14、ACB （等边对等角）（等边对等角） A+B+ACB=180（三角形（三角形 内角和定理）内角和定理）B= ACB= 67.5 BCD= BCA 1 BCD= 67.5 45= 22.5证明证明D1关于撑伞的数学问题已知：如图，已知：如图，AB=AC，DB=DC猜想猜想：AD垂直平分垂直平分BC？DO解解:ABD ACD(SSS)BAD=CADAD垂直平分垂直平分BC 在在ABD与与ACD中中AB=ACBD=CDAD=CDAOB=AOC AOB+AOC=180 AOB=AOC =90例1例1如图在ABC中ABAC点D在AC上，且BDBCAD， 求ABC各角的度数。巩固练习三根据下列条件求等腰三

15、角形中其余角的度数根据下列条件求等腰三角形中其余角的度数(1)(1)顶角为顶角为7070(2)(2)一个底角为一个底角为45 45 (3)(3)一个底角为一个底角为60 60 (4)(4)一个角是一个角是30 30 (5)(5)一个外角是一个外角是70 70 55 55 和和55 55 45 45 和和90 90 60 60 和和60 60 30 30 和和120 120 或或75 75 和和75 75 110 110 、35 35 、35 35 巩固练习四在在ABCABC中，中， AB=AC=BC, AB=AC=BC, 用已有的知识。用已有的知识。如何推导出如何推导出A A、B B、C C的

16、度数。的度数。证明证明:AB = AC B = C (等边对等角等边对等角) 同理同理: A = C、 A= B B = C = A B = C = A = 60推论推论2 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角：等边三角形的各角都相等，并且每一个角 都等于都等于6060. .B + C + A =180（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）40 707030 30 12070701101101103535例例1 1 已知：如图，房屋的顶角已知：如图，房屋的顶角BAC = 100，过屋顶，过屋顶 A的立柱的立柱AD BC，屋椽，屋椽AB = AC。 求：顶架上求：顶架上B、 C、 BAD、

17、 CAD的度数。的度数。ABDC解：在解：在ABC中，中， AB = AC （已知）（已知） B = C（等边对等角等边对等角）B = C = 21（180BAC） = 40 （三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 又又AD BC （已知）（已知）BAD = CAD （ ）等腰三角形等腰三角形底边上的高和顶角平分线互相重合底边上的高和顶角平分线互相重合BAD = CAD = 50三线合一三线合一 ）关于撑伞的数学问题已知：如图，已知：如图，AB=AC，DB=DC猜想猜想：AD垂直平分垂直平分BCDO证明证明:ABD ACD(SSS)BAD=CADAD垂直平分垂直平分BC 在在ABD与与ACD中中AB=ACBD=CDAD=CDAOB=AOC AOB+AOC=180 AOB=AOC =9