反常积分的计算ppt课件

1、一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分6.4 反常积分下页铃终了前往首页上页下页铃结束返回首页dxxfdxxfbaba)(lim)( 一、无穷限的反常积分v无穷限的反常积分的定义 在反常积分的定义式中, 假设极限是存在的, 那么称此反常积分收敛, 否那么称此反常积分发散. 延续函数f(x)在区间a, )上的反常积分定义为 下页 类似地, 延续函数f(x)在区间(, b上和在区间(, )的反常积分定义为 dxxfdxxfdxxfbbaa)(lim)(lim)(00 dxxfdxxfbaab)(lim)( 上页下页铃结束返回首页下页dxxfdxxfbaba)(lim)( 一、无穷限的反常积分v

2、无穷限的反常积分的定义 延续函数f(x)在区间a, )上的反常积分定义为 反常积分的计算 假设F(x)是f(x)的原函数 那么有 )()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa babbabaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)()()(lim)()(limaFxFaFbFxb可采用如下简记方式：babbabaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)( )()(lim)()(limaFxFaFbFxb 上页下页铃结束返回首页dxxfdxxfbaba)(lim)( 一、无穷限的反常积分v无穷限的反常积分的定义 延续函数f(x)在区间a, )上的反常积分定义为 反常积分的计算 假设F(x

3、)是f(x)的原函数 那么有 )()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa 类似地 有 )(lim)()()(xFbFxFdxxfxbb )(lim)(lim)()(xFxFxFdxxfxx 下页上页下页铃结束返回首页 解解 例 1 计算反常积分dxx211 例例1 下页)(lim)(lim)()(xFxFxFdxxfxx )2 (2 解 arctan112xdxxxxxxarctanlimarctanlim arctan112xdxx 上页下页铃结束返回首页011dteptepptpt 0001ptptpttdepdttedtte提示：例 2 计算反常积分dttept0(p 是常数 且

4、p0) 例例2 下页)()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa 0211ptpteptep 2221111limppeptepptptt 解解 2221111limppeptepptptt 01limlimlimpttpttpttpeette01limlimlimpttpttpttpeette01limlimlimpttpttpttpeette 0001ptptpttdepdttedtte0001ptptpttdepdttedtte 上页下页铃结束返回首页 解解 例 3 讨论反常积分dxxpa1(a0)的敛散性 例例3 解 当 p1 时 解 当 p1 时 ln11aapaxdxxdxx

5、当 p1 时 当 p1 时 当p1时 此反常积分发散 ln11aapaxdxxdxx ln11aapaxdxxdxx 1111appaxpdxx 1111appaxpdxx 当 p1 时 11111 1paxpdxxpappa11111 1paxpdxxpappa11111 1paxpdxxpappa 因此 当 p1 时 此反常积分收敛 其值为11pap 首页)()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa 上页下页铃结束返回首页 二、无界函数的反常积分注： 假设函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界 那么点x0称为函数f(x)的瑕点(也称为无界延续点) 无界函数的反常积分又称为瑕积分 v无界

6、函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b上延续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)( 下页 在反常积分的定义式中, 假设极限是存在的, 那么称此反常积分收敛; 否那么称此反常积分发散. 上页下页铃结束返回首页 函数f(x)在a c)(c b上(c为瑕点)的反常积分定义为 二、无界函数的反常积分 类似地, 函数f(x)在a, b)上(b为瑕点)的反常积分定义为dxxfdxxftabtba)(lim)( btcttactbadxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)( 下页v无界函数反常积分的定义 设函数f(x

7、)在区间(a, b上延续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)( 上页下页铃结束返回首页 二、无界函数的反常积分v无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b上延续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)( 反常积分的计算 假设F(x)为f(x)的原函数 btatbtatbaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba 可采用简记方式 bt

8、atbtatbaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)( )(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat 那么f(x)在(a, b上的反常积分为 下页上页下页铃结束返回首页)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba 二、无界函数的反常积分v无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b上延续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)( 反常积分的计算 假设F(x)为f(x)的原函数 那么f(x)在(a, b上的反常积分为 提问： f(x)在a, b)上和在a c)(c b上的反常积分如何计算？ 如

9、何判别反常积分的敛散性？下页上页下页铃结束返回首页解 因为221limxaax 所以点a为被积函数的瑕点 解解 例 4 计算反常积分dxxaa2201 例例4 下页aaaxdxxa 0 022arcsin120arcsinlimaxaxaaaxdxxa 0 022arcsin1 20arcsinlimaxax 当 a 为瑕点时)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba 当 b 为瑕点时)()(lim)()(aFxFxFdxxfbxbaba 上页下页铃结束返回首页 由于1)1(lim1100 1012xxdxxx 解解 例例5 例 5 讨论反常积分1121dxx的收敛性 解 在区间1

10、 1上 x0 为函数21x的瑕点 即反常积分0121dxx发散 所以反常积分发散 所以反常积分1121dxx发散 下页当c (acb)为瑕点时 )(lim)()()(lim)()()(xFbFaFxFdxxfdxxfdxxfcxcxbccaba 1)1(lim1100 1012xxdxxx1)1(lim1100 1012xxdxxx1)1(lim1100 1012xxdxxx 上页下页铃结束返回首页 当 q1 时 当 q1 时 解解 例例6 例 6 讨论反常积分baqaxdx)(的敛散性 解 当 q1 时 因此 当 q 0 ; (2) 在在(a, b) 内存在点内存在点 , 使使 )(2d)(

11、22 fxxfabba (3) 在在(a, b) 内存在与内存在与 相异的点相异的点 , 使使 baxxfaabfd)(2)(22 (03考研考研) 上页下页铃结束返回首页证证: (1) ,)2(lim存存在在axaxfax ,0)2(lim axfax由由 f (x)在在a, b上延续上延续, 知知 f (a) = 0. ，又又0)( xf所以所以f (x) 在在(a, b)内单调增内单调增, 因此因此 ),(, 0)()(baxafxf (2) 设设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa , 0)()( xfxg则则)(),(xgxF故故满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件,

12、 于是存在于是存在 使使),(ba aabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22 xxattfxd)()(2上页下页铃结束返回首页即即 )(2d)(22 fttfabba (3) 因因 0)()( ff)()(aff 在在a, 上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理),(),( )( aaf 代入代入(2)中结论得中结论得)(2d)(22afttfabba 因此得因此得 baxxfaabfd)(2)(22 上页下页铃结束返回首页?,/ xxtdttdtx1020211023则、设.)()()( 10210224dxxfxxdxdttfxx、证明：为零的常数。是一个

13、不则、设)(,sin)(sinxFtdtexFxxt 22562上页下页铃结束返回首页).)()(,)(abfdxxfbabaxfba 使得上连续，求证：存在在、设2627.设设)(xf在在 上延续，在上延续，在 可导，可导，1,0)1,0(且满足且满足dxxfefx)(3)1(21310 证明：存在证明：存在 ，使得，使得)1,0( )(2)( ff 63上页下页铃结束返回首页28.(01)28.(01)设设dxxxannnnn 123110那么极限那么极限 nnanlim1)1(231 e29.(04)29.(04)设设,tan401dxxxI ,tan402dxxxI 那么那么1)(21

14、 IIA211)(IIB 1)(12 IIC121)(IID 上页下页铃结束返回首页30.设函数设函数 在区间上在区间上 的图形为：的图形为： yf x1,3( )f xx1-2023-1O那么函数那么函数 0 xF xf t dt的图形为的图形为 A( )f xx0231-2 -11 B( )f xx0231-2 -11( )f xx0231-11 D C( )f xx0231-2 -11.上页下页铃结束返回首页. A(3)F3( 2)4F. B(3)F5(2)4F.D( 3)F 5( 2)4F 2,0 , 0,20( )( ) ,xF xf t dt( )yf x 3, 2 , 2,331.延续函数延续函数在区间在区间上的图形分别是直径为上的图形分别是直径为1的的上图形分别是直径为上图形分别是直径为2的下、的下、那么以下结论正确的选项是：那么以下结论正确的选项是： 上、下半圆周，在区间上、下半圆周，在区间上半圆周，设上半圆周，设)2(43) 3(.FFC66上页下页铃结束返回首页上页下