一罗尔中值定理ppt课件

1、一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理引理引理( (费马费马):):设设y =f (x)y =f (x)在开区间在开区间(a, b)(a, b)内有内有定义定义. . 在在x0 x0(a, b)(a, b)处获得最大处获得最大值值( (最小值最小值), ), 且且 f (x)f (x)在在x0 x0处可处可导导, , 那么那么 f (x0) = 0.f (x0) = 0.证证: : 因因f (x)f (x)在在x0 x0处可导处可导. .),()()(lim 0000存在故xfxxfxxfx4 45 5 微分中值定理微分中值定理xxfxxfxxfxxfxx)()(lim)()(lim 000000从

2、而)(0 xf 设f (x0)为f (x)在开区间(a, b)内的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0).故当|x|充分小时, 有x0+x (a, b),从而 f (x0+x) f (x0) 0因x0(a, b),(1)当x 0时, 0)()(00 xxfxxf由保号性定理,. 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx令x 0+,(2)当x 0时, 0)()(00 xxfxxf由保号性定理,. 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx令x 0,综合(1),(2)有0 f (x0) 0,故 f (x0) = 0,类似可证f (x)在x0取最小值的情形.注注

3、1. 1. 因因f (x0)f (x0)表示曲线表示曲线y =f (x)y =f (x)上点上点M(x0, f M(x0, f (x0)(x0)处切线斜率处切线斜率. .而f (x0)=0表示该点处切线斜率为0.因此, 引理在几何上表示: 假设y =f (x)在(a, b)内部某点x0处取最大(小)值, 且在x0可导, 那么在M(x0, f (x0)处的切线平行于x轴.如图bMax0y x0M x0y =f (x)注注2. 2. 假设假设f (x)f (x)在区间在区间a, ba, b的端点的端点a(a(或或b)b)处获得最大处获得最大( (小小) )值值. . 不能保证不能保证f (a)(f

4、 (a)(或或 f (b)=0.f (b)=0.即, 在端点M(a, f (a)或M(b, f (b)处切线不一定平行于x 轴.如图.0abxyy = f (x)定理定理1. (1. (罗尔中值定理罗尔中值定理). ). 假设假设y=f (x)y=f (x)在在a, ba, b上延续上延续, , 在在(a, b)(a, b)内可导内可导, , 且且f (a) = f f (a) = f (b). (b). 那么在那么在(a, b)(a, b)内至少存在一点内至少存在一点 , , 使得使得 f f . .证证: : 因因f (x)f (x)在在a, ba, b上延续上延续, , 从而可获得从而可

5、获得最大值最大值M = f (x0)M = f (x0)和最小值和最小值m = f (x1). m = f (x1). 其中其中, x0, x1, x0, x1 a, b a, b(1) 假设 m=M ,因m f (x) M. 即, M f (x) M, 所以f (x)=M.有f x , 故 (a, b)有 f .(2) 假设 mb, 还是ab.但 介于a, b之间.注注2. 2. 假设假设y = f (x)y = f (x)在在a, ba, b上满足拉格朗日定上满足拉格朗日定理条件理条件. .x(a, b), y = f (x +x)f (x) = f x= f x +x) x其中| x |

6、充分小, 介于x 和x之间.0 1. 使得 = x +x,. xx即如图xabx+xx注注3. 3. 定理的条件定理的条件f (x)f (x)在在a, ba, b上延上延续续, , 在在(a, b)(a, b)内可导内可导 不能减弱不能减弱. . 推论推论1. 1. 假设假设 f (x) f (x)在在(a, b)(a, b)内的导数恒为内的导数恒为0, 0, 即即x x(a, b). (a, b). 有有f f x x=0. =0. 那么那么 f (x) f (x)在在(a, b)(a, b)内是一个常数内是一个常数. . 即即x x(a, b), (a, b), f (x) = C(f (

7、x) = C(常数常数).).证证: : 取定取定x0 x0(a, (a, b). b). 只须证明x(a, b), 有 f (x)=f (x0)即可. 因f (x)在(a, b)内可导, 从而在(a, b)内延续.故 f (x)在x0, x (a, b)(或x, x0 (a, b)上满足拉格朗日定理的条件.f (x)f (x0) = f (x x0)=0, 介于x 和x0之间.即, x(a, b), 有f (x)=f (x0)例例2. 2. ) 11( .2cosarcarcsinxxx证明证证: : 记记 f (x) = arcsinx+arccosx. f (x) = arcsinx+a

8、rccosx. 在在(1, 1)(1, 1)内可导内可导. . 且且从而在(1, 1)内, f (x) = C.(常数).取 x=0, 得. 01111)(22xxxf.220)0( fC故 当1 x 0 x 0时时, , .)1ln(1xxxx证证: : 改写原式改写原式, ,. 1)1ln(11xxx利用公式)()()(fabafbf证不等式时, 往往要把待证式中的一部分写成的方式, 以便构造函数 f (x).abafbf)()(0) 01ln()1ln(00)1ln()1ln(xxxxxx所以, 记 f (t) = ln(1+t), 知f (t)在0, x上满足拉格朗日中值定理的条件.且

9、0)01ln()1ln()1ln(xxxx)(f ), 0( ,11x因)0( 1111)( , 111)(xxff)0( . 1)1ln(11xxxx故三、柯西中值定理三、柯西中值定理定理定理3. 3. 假设假设f (x), g(x)f (x), g(x)都在都在a, ba, b上延续上延续, , 在在(a, b)(a, b)内可导内可导, , 且且 g(x) g(x) 0. 0. 那么那么至少存在一点至少存在一点(a, b),(a, b),使得使得.) () ()()()()(gfagbgafbf分析: 假设分别对f (x), g(x)用拉格朗日中值定理, 可得上式左端.) () (21g

10、f但1, 2不一定一样, 故不能用这一方法.,) () ()()()()( gfagbgafbf要证只须证0) ()()()()() (gagbgafbff即. 0) ()()()()() (xxgagbgafbfxf证证: : )()()()()()()(xgagbgafbfxfx记知(x)在a, b上延续, 在(a, b)内可导.且)()()()()()()(bgagbgafbfbfb)()()()()()()(agagbgafbfafa从而(b)(a)=0. 由罗尔中值定理, (a, b),使() = 0,).,( .)()()()()()(,bagfagbgafbf即例例5. 5. 设

11、设 f (x) f (x)在在(, +, +) )内可导内可导. f (0)=0. . f (0)=0. 证明证明 ( (, +, +), ), 使得使得 2f 2f ( () f () f () = 3) = 32 f 2(1)2 f 2(1)证证: : 这一类问题这一类问题, , 往往可思索用中值定理处理往往可思索用中值定理处理. .变形.3)()(2) 1 (22fff留意到, xxxxfff3223 ,)()()(2左端, .01)0() 1 () 1 (33222fff.3)()(2) 1 (22fff从而, 待证式为.)()(01)0() 1 (323322xxxfff故, 记F(

12、x) = f 2(x), g(x) = x3在0, 1上延续, 在(0,1)内可导.由柯西中值定理, (0, 1), 使得.3)()(2) 1 (22fff假设修正例5为: f (0)=0, f (1)=0, 证明, (, +), 使得f () f () =0.那么可用罗尔定理证.四、泰勒中值定理四、泰勒中值定理在近似计算和实际分析中, 对于复杂函数f (x). 常希望用一个多项式P(x) = a0+a1x+a2x2 + anxn 来近似表示 f (x).比如, 当|x|很小时, ex 1+x, sin x.111xnxn都是用一次函数表示函数 f (x)的例子.缺陷缺陷: (1): (1)精

13、度不高精度不高, , 误差仅为误差仅为o(x)o(x)(2)没有误差估计式.从几何上看, 缺陷(1)是由于我们在x=0附近用直线替代曲线, 精度当然不高.能否改用二次曲线, 三次曲线, , 替代? 精度能否能提高, 或者说, 曲线的吻合程度能否会更好些呢? y=ex1y=1+x2211xxy看图.1x0y21我们要处理的问题是: 设f (x)在x=x0的某邻域内有直到n+1阶导数.(1)试求一个关于xx0的n次多项式Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f (x).即, f (x)和Pn(x)在x=x0处的函数值以及k

14、阶(kn)导数值都相等.即, f (x0)=Pn(x0), f (x0)= Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0) = P(n)n(x0).(2)误差 f (x)Pn(x)的表达式.首先处理问题(1), 即设f (x)在x=x0的某邻域U(x0)内有直到n+1阶导数.求Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n. 满足f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0)= P(n)n(x0).将x=x0代入Pn(x), 得Pn(x0)= a0= f (x0) ,

15、对Pn(x)求导, 再将x0代入, 得Pn(x0) = a1 = f (x0)对Pn(x)求二次导, 将x0代入, 得Pn(x0)= 2!a2 = f (x0).(! 2102xfa Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n同理, ),( ! 3)(0)3(30)3(xfaxPn).(! 310)3(3xfa 得普通, ),( !)(0)(0)(xfanxPnnnn得)()(!)( )(! 2)()(! 1)()()(00200000 xfxxnxfxxxfxxxfxfxpnnn Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)

16、n).(!10)(xfnann得定理定理4.(4.(泰勒中值定理泰勒中值定理) ) 假设假设f (x)f (x)在含在含x0 x0的的某个区间某个区间(a, b)(a, b)内有直到内有直到n+1n+1阶的导数，阶的导数，那么对那么对x x(a, b)(a, b)，有，有).()(!)( )(! 2)( )(! 1)( )()(00200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中,)()!1()()(10) 1(nnnxxnfxR是介于x0与x之间的一个值.).()()(xpxfxRnn记只须证明.)( ,)()!1()()(010)1(即可之间与介于xxxxnfxRnnn或.)

17、!1()()()()1(10nfxxxRnnn证证: :由于f (x)和Pn(x)在(a, b)内有直到 n+1 阶导数, 从而 Rn(x) 在 (a, b)内有直到 n+1 阶导数.留意到, 0)()( )()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn).()()1()1(xfxRnnn).()()(),(),(,),(1000显然满足定理条件用柯西中值定理和对两函数上，或在区间nnxxxRbaxxxxbax)()()(),()()(0)(0)(0)(xPxfxRxPxfxRknkknnn有10)()(nnxxxR0)()()(100nnnxxxRxRnnxnR)(1()(0110)(1()

18、()(0101nnnxnxRR1介于x0与x之间.对函数Rn(x)和(n+1)(xx0)n在x0, 1或1, x0上用柯西中值定理.有0)(1()()()()(010110nnnnnxnxRRxxxR1022)() 1()( nnxnnR0)() 1()()( 1020 2nnnxnnxRR2介于x0与1 之间.继续下去, 经n次后,有)()!1()()()(0)(10 xnRxxxRnnnnnn0)()!1()()(00)()(xnxRRnnnnnn)!1()(1)1(nRnnn.)!1()()1(nfnn其中 =n+1介于x0与n 之间, 从而介于x0与x之间.注注1. 1. 公式公式)(

19、)(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk称为 f (x) 按(xx0)的幂, 展开到n阶的泰勒公式. .)()!1()()(010)1(之间与介于xxxxnfxRnnn称为拉格朗日型余项.也可写成10 .)()!1()()(1000) 1(nnnxxnxxxfxR注注2. 2. 当当n n0 0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式. ),)( )()(000之间与介于xxxxfxfxf注注3. 3. 假假设设.| )(| .) ,()()1()1(Mxfbaxfnn即内有界在10) 1()()!1()(| )(| )()(| nnnnxxnfxRxPxf

20、则.|)!1(10nxxnM且. 0)()!1()(lim)()(lim0)1(000 xxnfxxxRnxxnnxx可是, 误差Rn(x)是(xx0)n的高阶无穷小(当xx0时).即 Rn(x)=0(xx0)n ). 称为皮亚诺余项.注注4. 4. 假设在泰勒中值定理中取假设在泰勒中值定理中取x0=0. x0=0. 那么公式那么公式为为)(!) 0(! 2) 0(! 1) 0() 0()()(2xRxnfxfxffxfnnn .)!1()()1()()(1)1(1)1(nnnnnxnxfxnfxR其中 介于x与0之间, 01.称为马克劳林公式.例例6. 6. 写出写出 f (x) = exf (x) = ex展开到展开到n n阶的马克劳阶的马克劳林公式林公式. .解：解： f (n)(x) = ex, f (n)(x)