《中心极限定》

1、Ch5-215.2 中心极限定理中心极限定理定理定理1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列,21nXXX相互独立，服从同一分布，且有期望和方差：, 2 , 1,0)(,)(2kXDXEkk则对于任意实数 x ,xtnkkndtexnnXP21221limCh5-22注：则 Y n 为nkkX1的标准化随机变量.)(limxxYPnn即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数nnXYnkkn1记)1 , 0( NYn近似nkkX1nYnn),(2nnN近似服从Ch5-23 设随机变量序列,21nXXX相互独立，且有有限的期望和方差：, 2

2、, 1,0)(,)(2kXDXEkkkk记nkknkknXDB1212)(若0)|(|1, 0122nnkkknXEBCh5-24则对于任意实数 x ,xBXPnnkknkkn11lim)(xxtdte2221Ch5-25定理定理3 德莫佛德莫佛 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ） 设 Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,则对任一实数 x，有xtnndtexpnpnpYP2221)1 (lim即对任意的 a b,batnndtebpnpnpYaP2221)1 (limY n N (np , np(1-p) (近似)Ch5-

3、26例例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的6000粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过1%的概率.解解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则X B(6000,1/6)65000)(,1000)(XDXECh5-276500010009406500010001060650006065000601650006029624. 001. 0616000XP601000 XP65000,1000 NX近似Ch5-28比较几个近似计算的结果用中心极限定理9624. 001. 0616000XP用二项分布(精确结果)9590. 001. 0616000XP用Poiss

4、on 分布9379. 001. 0616000XP用Chebyshev 不等式7685. 001. 0616000XPCh5-29Ch5-30由于将 X 近似地看成正态分布，故48120048120)0(raarXP48120ra0)32.17(481200Ch5-31反查标准正态函数分布表，得%9 .9909. 3令09. 348120ra解得rra141)1204809. 3(千瓦)Ch5-32例例3 检查员逐个地检查某种产品, 每检查一只 产品需要用10秒钟 . 但有的产品需重复检 查一次，再用去10秒钟. 假设产品需要重 复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内 检查的产品多于

5、1900个的概率.解解 检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.设 X 为检查1900 个产品所用的时间(单位：秒)设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒), k = 1,2,1900Ch5-33 XkP 10 200.5 0.525)(,15)(kkXDXE19001kkXX190021,XXX相互独立,且同分布,47500251900)(28500151900)(XDXE)47500,28500( NX近似Ch5-34)2880019000()83600190010(XpXP589.43376. 19162. 04750028

6、50019000475002850028800Ch5-35解法二解法二1019000X 1900个产品中需重复检查的个数)5 . 0 ,1900(1019000BX 2880019000)83600190010(XPXP10190002880010190000XP475,950 N近似Ch5-3698010190000XP 4759500475950980589.43376. 19162.0Ch5-37例例4 对敌人的防御工事用炮火进行 100 次轰击, 设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其 数学期望为 2, 均方差为 1.5 . 如果各次轰击 命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击

7、 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.解解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数100, 2 , 1,5 . 1)(, 2)(2kXDXEkk10021,XXX相互独立，Ch5-38 设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则,225)(,200)(,1001XDXEXXkk(1) 152001801)180(XP(2)15200015200200)2000(XP91. 0)3 . 1 ()3 . 1(15 . 0)33.13()0()225,200( NX近似Ch5-39例例5 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.

8、令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P (280 X 320).解解 令Xi 为售出了第 i 1 份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,100, 2 , 1,1)(3/11kppkXPpki(几何分布)61)(, 31)(3/123/1pipippXDpXECh5-401001kkXX10021,XXX相互独立,600)(,300)(XDXE)()600,300(近似NX600300280600300320)320280(XP160020218165. 025878.0Ch5-41中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分布.Ch5-42作业 P 186 习