人教版九年级上第22章二次函数精品课堂二次函数与一元二次方程导学案

1、.第22章二次函数精品课堂二次函数与一元二次方程【问题探究】王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行道路满足抛物线，其中m是球的飞行高度，m是球飞出的程度间隔 ，结果球离球洞的程度间隔 还有2 m1恳求出球飞行的最大程度间隔 。2假设王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，那么球飞行道路应满足怎样的抛物线，求出其解析式答案：1令，得： 解得：， 球飞行的最大程度间隔 是8 m 2要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，那么球飞行的最大程度间隔 为10 m抛物线的对称轴为，顶点为 设此时对应的抛物线解析式为 又点在此抛物线上， 解得： 【新课引入】提问：1、二次函数与轴的交

2、点坐标是什么？答案：二次函数与x轴的交点坐标。令，即 解得：所以二次函数与x轴的交点坐标为和2、一解元二次方程答案： 解： 解得，由此可知：当时，即，也就是说，是一元二次方程的一个根。 同样，当时，即，也就是说，是一元二次方程的另一个根。总结：一般地，假如二次函数的图象与轴有两个公共点、，那么一元二次方程有两个不相等的实数根、。 反之也成立。【总结归纳】一、二次函数图象与一元二次方程的关系一般地，二次函数的图象与一元二次方程的根有如下关系： 1、假如二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根； 2、假如二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程有两个相

3、等的实数根； 3、假如二次函数的图象与x轴没有公共点，那么一元二次方程没有实数根；二、二次函数与一元二次方程的关系 决定抛物线与x轴交点的个数 1、 抛物线与x轴有两个交点； 2、 抛物线与x轴只有一个交点；3、 抛物线与x轴没有交点。三、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 关系图表所示如下：判别式二次函数一元二次方程一元二次不等式或的解集图象与轴的交点坐标抛物线与x轴交于两点，且一元二次方程有两个不相等的实数根的解集为的解集为的解集为的解集为抛物线与x轴相切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根的解集为的所有实数不等式无解不等式无解的解集为所有实数抛物线

4、与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解或称无实数根的解集为所有实数的解集为所有实数不等式无解的解集为所有实数【精选例题】一二次函数与一元二次方程的关系例1、1抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为2关于的二次函数的图象与轴有交点，那么的范围是且且解析：1；没有实数根。2前思后想：在二次函数中，令，就得到一元二次方程的标准形式，所以一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点坐标。牛刀小试：1、关于的方程有两个相等的实数根，那么相应二次函数与轴必然相交于点，此时。2、函数是常数的图象与轴的交点个数为0121或2 3、二次函数（1） 假设抛物线与x轴有

5、两个不同的交点，求k的取值范围。（2） 假设抛物线的顶点在x轴上，求k的取值。4、函数1求证：不管为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；2假设函数有最小值，求函数表达式答案：1、一；4 。 2、3、在一元二次方程中，1=当k5时，抛物线与x轴有两个不同的交点。2=，k=5时，抛物线的顶点在x轴上。4、1，不管为何值时，都有，此时二次函数图象与轴有两个不同交点2，或，所求函数式为或。二二次函数图象和一元二次方程的关系图1例2. 二次函数的图象如图1所示，那么的取值范围是A、3 B、3C、03D、03解析：观察图1，抛物线与轴有两个不同的交点根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得一元二

6、次方程有两个不相等的实数根0解得3又抛物线开口向上，0xyO13的取值范围是03，选D例3、二次函数的部分图象如图2所示，那么关于的一元二次方程的解为解析：由图象得，抛物线对称轴是过点1，0且平行于轴的直线抛物线与轴一个交点的横坐标3设抛物线与轴另一个交点的横坐标为每对对称点到对称轴的间隔 相等，解得-1根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得一元二次方程的解为-1和3前思后想：二次函数的图象与轴的交点个数可转化为一元二次方程的解的个数求解。牛刀小试：1、函数的图象如图3所示，那么以下结论错误的选项是 A、 B、C、两根之和为负 图3D、两根之积为正 2、如图4所示，函数的图象与轴只有一个交点

7、，那么交点的横坐标图43、函数的图象如下图，那么关于的一元二次方程的根的情况是3有两个不相等的实数根有两个异号的实数根有两个相等的实数根没有实数根答案：1、D2、3、三抛物线与直线的交点例4、关于的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与轴交于A、B两个不同的点。（1） 试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；（2） 假设A点坐标为，试求B点坐标；（3） 在2的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当取何值时，的值随值增大而减小？解析：（1） 对于关于的二次函数， 由于， 所以此函数的图象与轴没有交点。对于关于的二次函数，由于， 所以此函数的图象与轴有两个不同的交点。故图象经过A、B两点的二

8、次函数为。（2） 将A-1,0代入，得。 整理得， 解得，或。 当 时，。令，得。解得。此时B点坐标是B1，0。 当时，。令，得。解得。此时B点坐标是B3，0。3时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为，所以当时，函数值随的值增大而减小； 时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为，所以当时，函数值随的值增大而减小。前思后想：1、 由来判断二次函数与轴是否有交点；2、 把A点坐标代入解析式，求出m，再解方程；3、 利用二次函数的性质，先找出对称轴。牛刀小试1、假设抛物线与轴的一个交点是-2，0，那么另一个交点坐标是_。2、抛物线和直线，当m为何实数时，抛物线与直线有两个交点？答案：1

9、、4，02、令，整理得， 当抛物线与直线有两个交点时， 即， 所以m取任意实数，抛物线与直线都有两个交点四用图象法求一元二次方程的近似根例5.根据以下表格的对应值：x3.233.243.253.26y=0.060.020.030.09判断方程a0，a，b，c为常数一个解x的范围是 .A3x3.23 B.3.23x3.24 C.3.24x3.25 D.3.25 x3.26 解析：此题主要考察二次函数与一元二次方程的关系.由于二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的一个根,所以此题实际上确定抛物线与x轴交点横坐标的范围,观察表格的数据变化可知3.24x3.

10、25时,抛物线与x轴有一个交点,所以方程a0，a，b，c为常数一个解x的范围是3.24x3.25. 选C。前思后想：此题主要考察二次函数与一元二次方程的关系，解决问题的思路是通过表格观察函数值在什么范围内由负变正，这个范围就是对应的方程的根的范围.例6.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解解析：（1） 作图：作出抛物线和直线；（2） 判断：左边交点横坐标在-1与-2之间，另一个点横坐标在3与4之间；（3） 利用计算器进展探究：是方程的近似解；（4） 用求根公式来验证一下：对于方程，整理得，。因此利用图象求得方程的近似解。前思后想：判断一元二次方程的解的范围,本质是判断相应的二次函数的图象与

11、x轴交点的范围，正确理解二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键.牛刀小试：1、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根。准确到0.12、根据以下表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是6.176.186.196.203、下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，那么以下选项中正确的选项是1.61.82.02.22.4-0.8.-0.54-0.200.220.72A、1.61.8 B、1.82.0 C、2.02.2 D、2.22.4答案：1、画图略，；2、此题以图表的形式给出信息，探求一元二次方程的一个解的范围，根

12、据表格提供的信息，在6.18到6.19之间一定有一个x的值，使0，因为一元二次方程的解是二次函数图象与x轴交点的横坐标，所以方程的一个解的范围是，故答案为C。3、C五二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系例7. 解不等式。解析：解法一： 设， 它大致图象如右图所示，观察图象可知：当时，抛物线在轴下方，即， 所以不等式的解集时。 解法二：由原不等式得 设， 在同一坐标系中它们的大致图象如右图所示得交点坐标为A-1,1，B2,4观察图象可知：当时，抛物线在直线下发，即， 所以不等式的解集时。前思后想：1、 用构造二次函数的方法来解一元二次不等式，需要明确它们之间的内在联络。2、 假设二

13、次函数的图象在x轴的上方或下方，那么或0，此时或0的解集为全体实数或无解。牛刀小试：1、二次函数的图象和轴有交点，那么的取值范围是 A、 B、 C、 D、2、抛物线与直线m为常数 A、没有交点 B、只有一个交点 C、有两个交点 D、至少有一个交点3、二次函数y=ax2+bx+ca0的图象如下左图所示，当y0时，x的取值范围是A、-1x3 B、x3 C、x-1 D、x3或x-1第4题第3题4、二次函数y=ax2+bx+c的图象如上右图所示，那么关于x的不等式bx+a0的解集是A、 B、 C、 D、 例9、如图1，一名男生推铅球，铅球行进高度单位长度：m与程度间隔 单位长度：m之间的关系是那么他将

14、铅球推出的间隔 是 m解析：当y=0时，得，解得 米， 舍去所以他将铅球推出的间隔 是10米前思后想：1、在解有关问题时，应结合详细的函数画出相应草图，充分运用数形结合思想求解。2、这是一道二次函数基此题，利用所学的知识考察了学生的应用才能，难度不是很大因此，平常要注重问题的研究，以培养学生的分析才能，此题表达了新课标的理念：“人人学必需的数学，人人学有用的数学 牛刀小试：1、某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，建立如下图的直角坐标系后，抛物线的表达式为.1假设菜农的身高是1.60米，他在不弯腰的情况下，横向活动的范围是几米？准确到0.01米2大棚的宽度是多少？3大棚的最高点离地面几米？2、某电脑公司开发出一种软件，从研发到年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累计利润万元与销售时间月之间的函数关系即个月累计润总和与之间的关系，根据图象提供的信息解答以下问