数字信号处理课后辅导第5章

1、无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章第5章无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计5.1学习要点学习要点5.2例题例题5.3教材第教材第6章习题与上机题解答章习题与上机题解答无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 5.1 学学 习习 要要 点点5.1.1 IIR数字滤波器设计的基本概念及基本设计方法数字滤波器设计的基本概念及基本设计方法1 滤波器设计指标参数定义及其描述滤波器设计指标参数定义及其描述滤波器设计指标参数定义及其描述在教材中有详细的介绍， 下面仅给出低通滤波器幅频特性函数和损耗函数描述的滤波器指标参数的示意图， 如图5.1.1所示， 并给出二者的换算关系。 无限脉冲响应(I

2、IR)数字滤波器的设计第章图5.1.1 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章滤波器的指标常常在频域给出。 数字滤波器的频响特性函数H(ej)一般为复函数， 所以通常表示为H(ej)=|H(ej)|ej()其中， |H(ej)|称为幅频特性函数， ()称为相频特性函数。 常用的典型滤波器|H(ej)|是归一化的， 即|H(ej)|max=1， 下面的讨论一般就是针对归一化情况的。 对IIR数字滤波器， 通常用幅频响应函数|H(ej)|来描述设计指标， 而对线性相位特性的滤波器， 一般用FIR数字滤波器设计实现。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章应当注意， H(ej)是以2为周期的

3、， 这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别。 所以， 在后面的叙述中， 只给出主值区, 区间上的设计指标描述。 图5.1.1中， 1和2分别称为通带波纹幅度和阻带波纹幅度， p为通带边界频率， p为通带最大衰减(dB)， s为阻带边界频率， s为阻带最小衰减(dB)。 一般要求： 当0|p时， 20lg|(Hej)|p无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 当s|时， s20 lg|H(ej)|1p1(1)120 lg20 lg11a s=20 lg2 当p=3 dB时， 记p为c， 称c为3 dB截止频率。 c是滤波器设计的重要参数之一。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章因为， 所

4、以c又称为滤波器的半功率点。 因此， 设计数字滤波器时， 应根据指标参数及对滤波特性的要求， 选择合适的滤波器类型（巴特沃斯、 切比雪夫、 椭圆滤波器等）和设计方法（脉冲响应不变法、 双线性变换法、 直接法等）进行设计。 IIR数字滤波器的设计既可以从模拟滤波器的设计入手进行， 也可以直接根据数字滤波器指标参数， 直接调用滤波器设计子程序或函数进行。2/1| )e (|2jcH无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章2 采样数字滤波器的概念及其指标参数换算采样数字滤波器的概念及其指标参数换算由于数字信号处理的诸多优点， 在信号处理工程实际中， 常常希望采用数字滤波器实现对模拟信号的滤波处理。

5、 所谓采样数字滤波器， 就是实现这种处理的系统， 其组成如图5.1.2所示。 图中， 设采样频率Fs2fc(T=1/Fs为采样间隔）， fc为模拟信号xa(t)的最高频率。 设G(j)为理想低通滤波器， 则截止频率为折叠频率即/T（当G(j)不是理想低通时， 以下结论要进行修正）。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章采样数字滤波系统的设计指标一般由采样数字滤波系统的等效模拟滤波器Ha(j)的指标给出。 所以设计这种滤波系统， 其关键是由Ha(j)指标确定其中的数字滤波器H(ej)的指标。 可以证明， H(ej)与Ha(j)具有如下关系： jjaja/a(e )(e) 0 |(j)0 |

6、22(e )jjjTTTkkHHTHTkHHkHTT (5.1.1)(5.1.2)无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章且 h(n)=IFTH(ej)=Tha(nT) （5.1.3）其中 ha(t)=IFTHa(j)由此可见， Ha(j)与H(ej)之间仅是=T的频率尺度变换关系。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.1.2无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章通过关系式（5.1.2）可由Ha(j)指标确定数字滤波器H(ej)的指标（如p, s, p, s等）; 利用频率转换关系=T容易求出H(ej)的各边界频率; 选用适当的设计方法可得到数字滤波器的系统函数H（z）。 由（

7、5.1.3）式知， 也可以采用脉冲响应不变法将等效模拟滤波器Ha(s)转换成采样数字系统中数字滤波器的系统函数H(z)。 但必须注意： 对ha(t)的采样频率必须满足采样定理； 对高通和带阻滤波处理， 这种方法不能用， 需要用双线性变换法， 这时设计稍复杂一些， 后面的例5.2.3将详细说明双线性变换法的设计过程。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章3 IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法关于滤波器的设计原理与具体的设计方法， 教材及其他数字信号处理书中都有详细叙述， 本章不再赘述。 下面仅对IIR数字滤波器的几种设计方法及设计步骤作简要归纳， 并指出学习要点， 并通过例题及习

8、题与上机题解答说明各种设计方法的具体设计过程及相关设计公式， 以便读者能有条理地解答滤波器设计题目， 设计实际应用滤波器。 为了使初学者对IIR数字滤波器设计方法有一个整体概念， 先抛开繁杂的设计过程和设计公式， 用图5.1.3归纳IIR数字滤波器的一般设计方法。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.1.3 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章下面对图5.1.3中给出的五种设计方法及其学习要点进行简要归纳。 对频域直接逼近法和时域波形逼近法都必须借助计算机设计（即CAD设计）， 且已有商业设计程序， 所以只简要介绍其设计思想及逼近准则。 5.1.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器

9、的设计为了叙述方便， 用AF表示模拟滤波器， 用DF表示数字滤波器。 从教材中的详细介绍知道， 从AF入手设计DF时， 首先要设计一个“相应的AF”， 所以下面以流程图形式给出AF的设计步骤， 如图5.1.4所示。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.1.4 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章由于AF设计手册中给出了各种典型AF归一化低通原型的设计公式和图表及系统函数G(p)， 因此设计AF很方便。 所以， 对需要设计的实际AF（低通、 高通、 带通和带阻AF)，首先将其指标参数转换成相应的归一化(p=1)低通指标参数， 将设计各种实际AF转化为设计归一化低通AF； 最后将

10、设计好的归一化低通G(p)转换成实际滤波器H(s)。 为此，下面归纳四种实际AF系统函数H(s)与其相应的归一化低通AF系统函数G(p)的相互转换关系， 如图5.1.5所示。 图中总结出了图5.1.4中第（2）步和第（4）步所涉及的所有转换关系和转换公式。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.1.5 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.1.5中的系统函数及变量符号的含义如下： G(p)低通AF系统函数； p=+jG（p）的拉氏复变量； G(j)低通AF频响函数； G()的频率变量； H(s)需要设计的“实际AF”系统函数； s=+j拉氏复变量； 模拟角频率（rad/s）

11、； H(j)实际AF的频响函数。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章由图5.1.5很容易看出各种实际AF指标参数的符号和含义， 以及向箭头方向转换的有关公式。 由于四种实际H(j)向G(j)转换的公式较多， 所以图中用、 、 和表示， 它们分别代表以下四组频率变换公式。 为了简化计算， 一般取p=1， 这时的G(p)称为归一化低通滤波器， 为归一化频率。 当然， 也可以根据需要， 对于其他频率（如s或c）进行归一化。 根据教材中模拟滤波器的设计原理知道， 设计巴特沃斯滤波器时， 对于3 dB截止频率c进行归一化最方便。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.1.5中、 、 、

12、 对应的4组频率变换公式： ppspsp1, 频率变换公式：归一化低通边界频率：ppppss 1, 频率变换公式：归一化低通边界频率：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章Wpupl0plpuslsu220p220slpssl,1,WWBBB 带宽通带中心频率 如果不满足, 要进行指标调整( 见教材174频率变换公式:归一化低通边界频率：页式(6.2.57)无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章Wsuslplpuslsup220ps220sl(1,WWBBB 20阻带带宽, 阻带中心频率如果不满足, 按教材中式( 6. 2. 57) 调整）频率变换公式: 归一化低通边界频率: 归一化低

13、通G(j)的通带最大衰减和阻带最小衰减仍为ap和as。 图5.1.4中第(3)、 (4)个方框涉及的设计与转换方法直接套用教材6.2.6节的相关公式或例题的解法。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章5.1.3 从从AF入手设计入手设计DF由于AF设计理论很成熟， 而且有很多特性优良的典型AF可供选用， 所以常常从AF入手来设计DF。 其设计流程图如图5.1.6所示。 图5.1.6中的(3)（设计相应AF）前面已介绍过。 所以只要掌握了将Ha(s)转换成H(z)的方法与公式， 以及相应的数字频率与模拟频率之间的关系式， 就可以进行图5.1.6中的（2）和（4）， 从而完成从AF入手设计DF

14、。 用脉冲响应不变法和双线性变换法将AF的系统函数Ha(s)转换成DF的系统函数H(z)的步骤、 公式及与的关系式, 教材中都有详细的叙述， 所以不再重复。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.1.6 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章5.1.4 IIR-DF的直接设计法的直接设计法所谓直接设计法， 就是直接在数字域设计IIRCD*2DF的方法。 相对而言， 因为从AF入手设计DF是先设计相应的AF， 然后再通过s-z平面映射， 将Ha(s)转换成H(z)， 所以这属于间接设计法。 该设计法只能设计与几种典型AF相对应的幅频特性的DF。 而需要设计任意形状幅频特性的DF时，

15、只能用直接设计法。 直接设计法一般都要借助于计算机进行设计， 即计算机辅助设计（CAD）。 现在已有多种DF优化设计程序。 优化准则不同， 所设计的滤波器特点亦不同。 所以最主要的是建立优化设计的概念， 了解各种优化准则的特点， 并根据设计要求， 选择合适的优化程序设计DF。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章例如， 设希望逼近的频响特性为Hd(ej)， 所设计的实际滤波器频响函数为H(ej)。 二者的频响误差为E(ej)=Hd(ej)H(ej)均方误差定义为22j1|(e)| d2E使均方误差2最小的优化设计准则称之为“最小均方误差准则”。 这里的“最小”指|E(ej)|在整个频带,

16、 上的积分（总和）最小， 而既非通带波纹最小， 又非阻带波动最小。 所以， 用这种优化程序设计的滤波器的阻带最小衰减和通带波纹可能不满足要求。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 特别是以理想滤波器特性作为Hd(ej)时， 为了使2最小， 优化过程尽可能逼近Hd(ej)的间断特性（即使过渡带最窄）， 而使通带出现较大过冲、 阻带最小衰减过小， 不能满足工程要求。 建立如上概念后， 调用频域最小均方误差准则优化设计程序时， 可正确构造Hd(ej)。 设置合适的过渡带特性， 可使通带和阻带逼近精度大大提高， 即以加宽过渡带为代价， 换取通带平坦性和更大的阻带最小衰减。 这一原则在各种设计法中

17、都成立。 或者根据需要， 选用其它优化设计方法。 IIR-DF的优化技术设计法有22频域最小均方误差法， 最小P误差法、 最小平方逆设计法和线性规划法等。 利用线性规划法可实现等波纹逼近， 即最大误差最小化逼近。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 5.2 例例 题题例例5.2.1 设计低通DF， 要求幅频特性单调下降。 3 dB截止频率， 阻带截止频率， 阻带最小衰减s=15 dB， 采样频率fs=30 kHz， 分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计。 解解： （1） 用脉冲响应不变法设计。 按图5.1.6流程设计。 确定DF指标参数。pcrad3s4rad5pcpssrad,3

18、dB34rad,15 dB5aa无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 将DF指标参数转换成相应的AF指标参数。 因为在脉冲响应不变法中， =T， 所以p3pp3sss30 1010000 rad/s3 dB3430 1024000 rad/s3 dB5aTaT， 求相应的AF系统函数Ha(s)。 a. 计算阶数N， 根据要求， 应选择巴特沃斯AF。 由教材（6.2.18）式有无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章spsspp0.10.5sp0.10.3spsp240002.4100001011015.54631011011g1g5.54631.95691g1g2.4aakkN取N=2

19、。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章b. 查教材第157页表6.2.1， 得到二阶巴特沃斯归一化低通原型： 21( )21G pppc. 频率变换， 由图5.1.5中LPLP变换公式求出相应的AF系统函数Ha(s):p282pas222482pp10 ( )( )|210 210 pHsG pssss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 将Ha(s)转换成H1(z)： 11120.4265( )1 0.70400.2274zH zzz以上结果是调用MATLAB impinvar函数直接求出的， 这样就不用求极点s1和s2以及部分分式展开。 请读者按教材（6.3.1）式和(6.3

20、.4)式或（6.3.11）式计算， 验证以上结果。 （2） 用双线性变换法设计。 确定DF指标参数； 与脉冲响应不变法中的相同。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 将DF指标参数转换成相应AF指标参数。 因为在双线性变换法中， 和为非线性关系， 所以， 需要预畸变校正（学习重点）。 只有采用非线性预畸变校正， 由DF边界频率求得相应AF边界频率， 才能在经过双线性变换， 将Ha(s)转换成H(z)过程中的非线性畸变后， 保持DF原来边界频率不变。 按教材（6.4.7）式得到2tan2T无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章p44pp44sss2tan6 10 tan3.4641 1

21、0 rad/s,3 dB2622tan6 10 tan18.466 10 rad/s,15 dB25aTaT 设计相应的Ha(s)。 a. 计算阶数N： 由教材中(6.2.18)式， 有ksp=5.5463 （与脉冲响应不变法中的相同）sspp18.46615.32763.4661无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章spsp1g1g5.54631.02421g1g5.3276kN工程上为了简化系统， 可取N=1（工程上允许时， 可如此处理）。 b 查教材表6.2.1得归一化低通原型G(p)为1( )1G ps c 经频率变换， 得p4pas4p3.4641 10( )( )|3.4641

22、 10pHsG pss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 用双线性变换法将Ha(s)转换成H2(z)， 由教材中(6.4.3)式， 有1142a12 14411113.4641 10( )( )|16 103.4641 1010.366(1) 1 0.267 95zsTzHzHszzzz无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(3) 设计性能比较。 用脉冲响应不变法设计的H1(z)和用双线性变换法设计的H2(z)的损耗函数曲线分别如图5.2.1（a）和（b)所示。 由图可见， 在通带内， 二者均能满足要求， 但|H1(ej)|在=附近存在频率混叠失真， 从而使s=0.8处衰减不到12

23、 dB， 不满足指标要求。 |H2(ej)|无频率混叠失真， 满足要求。 但|H2(ej)|存在非线性频率失真， 且频率越高， 失真越明显。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.2.1无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章其它类型的DF设计过程见教材第6章习题与上机题解答。 例例5.2.2 采样数字系统的组成框图如图5.2.2所示。 理想情况下， A/D变换器对模拟信号采样， 得到序列x(n)=xa(nT)， 而D/A变换器是将序列y(n)变成模拟带限信号ya(t)。 a()sin( )( )()ntnTTy ty ntnTT整个系统的作用可等效为一个线性时不变模拟滤波器。无限

24、脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.2.2 (1) 如果h(n)表示一截止频率为/8的低通数字滤波器， 采样频率。 试求等效模拟滤波器的截止频率。 s110 kHzFT无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(2) 如果Fs=20 kHz， 重复（1）。 解解: 对采样数字系统， 数字频率与模拟频率f满足线性关系=2fT。 已知数字滤波器截止频率， 所以， 必须满足c rad8cc28f Tfc为等效模拟滤波器截止频率。 由上式可求得ccss182216fFFT无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章cc1(1) 10 000625 Hz161(2) 20 0001250 Hz16

25、ff由以上结果可见， 对相同的数字滤波特性H(ej)， 当采样数字系统中的采样频率不同时， 等效的模拟滤波器频响函数Ha(j)的边界频率也不同， 反之亦然。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章例例5.2.3 采样数字滤波器组成如图5.1.2所示， 分别用双线性变换法和脉冲响应不变法设计其中的数字滤波器。 总体等效模拟滤波器指标参数如下： (1) 输入模拟信号xa(t)的最高频率fc=100 Hz； (2) 选用巴特沃斯滤波器， 3 dB截止频率fc=100 Hz， 阻带截止频率fs=150 Hz， 阻带最小衰减s=20 dB。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解： 为了满足采样

26、定理， 减少脉冲响应不变法引入的频率混叠失真， 并降低对恢复滤波器的要求， 取采样频率Fs=400 Hz。 （1） 用双线性变换法。 由（5.1.2）式确定数字滤波器H(ej)的指标参数。 因为采用双线性变换法设计， 数字频率与相应的模似频率之间为非线性关系。 但根据（5.1.1）式和（5.1.2）式， 采样数字系统要求其中的数字滤波器H(ej)与总等效模拟滤波器Ha(j)之间的频率映射关系为线性关系=T。 2tan2T无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章所以， 不能直接按等效模拟滤波器技术指标设计相应模拟滤波器Ha(s)， 再将其用双线性变换法映射成数字滤波器H(z)。 因此， 我们必

27、须先按（5.1.2）式将等效模拟滤波器指标参数转换成采样数字滤波系统中的数字滤波器指标参数， 再用双线性变换法的一般设计步骤设计该数字滤波器。 采样数字滤波系统中数字滤波器的指标参数： 通带边界频率： pcc2 1002 rad4002f T通带最大衰减： p3 dBa无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章阻带截止频率：ss2 15032 rad4004f T阻带最小衰减： as=20 dB 用双线性变换法设计数字滤波器的一般过程如下：a. 预畸变校正， 确定相应的模拟滤波器的指标参数： pppsss2tan800tan800rad/s,3 dB2423tan800tan1931.37ra

28、d/s,20 dB28TTaa无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章b. 设计相应的模拟滤波器， 确定其系统函数Ha(s)。 (a) 求Ha(s)阶数N： sp0.12sp0.30.1ssppspsp1011019.97001011011931.372.4148001g1g9.97002.6091g1g2.141aakkN取N=3。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章在实际工作中， 调用IIR滤波器阶数来计算程序函数， 很容易求出满足要求的最小阶数N值。 如前述， buttord函数用于计算butterworth滤波器阶数。 本例中， 求阶数的MATLAB程序如下： Wp=800；

29、Rp=3； Ws=1931.37； Rs=20； N、 Wc=buttord(Wp， Ws， Rp， Rs， s)； 运行结果： N=3， Wc=897.9654无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(b) 求相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。 查表得到三阶Butterworth归一化低通原型系统函数： a231( )122Gpppp去归一化（即低通原型到低通的频率变换）, 得c8aa332688005.12 10( )( )|1.6 101.28 105.12 10sspHsGpsss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章c. 用双线性变换法将Ha(s)映射成数字滤波器系统函数H(

30、z)： 11a2111231512163( )( )|0.16670.50.50.16671 1.3278 100.3333.362 10zsTzH zHszzzzzz损耗函数曲线如图5.2.3(a)所示。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章实际工程设计时， 可直接调用MATLAB函数来完成数字滤波器的双线性变换法设计。 程序如下： Wp=pi/2； rp=3； Ws=3*pi/4； rs=20； %数字滤波器指标参数N， Wc=buttord(Wp， Ws， rp， rs)； %计算阶数N和3dB截止频率WcB， A=butter(N， wc)； % 求数字滤波器系统函数H(z）运行结

31、果如下： B= 0.1970 0.5910 0.5910 0.1970A= 1.0000 0.2114 0.3452 0.0194无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章由此可写出系统函数：1231230.19700.59100.59100.1970( )1 0.21140.34520.0194zzzH zzzz损耗函数曲线如图5.2.3(b)所示。 比较发现， 和H(z)的幅频特性都满足设计指标要求， 但二者的系数有较大差别。 这是函数butter在计算过程中进行合理的数据归一化的结果。 的优点是其系数差别小， 便于量化实现， 所以， 在实际设计中一般直接调用MATLAB函数来完成数字滤波

32、器的双线性变换法设计。 ( )H z( )H z无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章图5.2.3 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章（2） 用脉冲响应不变法。 由于总的等效模拟滤波器为低通滤波器， 所以根据（5.1.3）式， 直接用脉冲不变法将等效模拟滤波器转换成数字滤波器即可满足要求。 因此首先按所给的等效模拟滤波器指标参数设计其系统函数Ha(s)， 然后将Ha(s)转换成H(z)即可。 设计等效模拟滤波器Ha(s)。 a. 计算阶数N:spsspp9.9701501.5100kff无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章spsplglg9.9705.67lglg1.5kN

33、取N=6。 b. 查表得到六阶Butterworth归一化低通原型G(p)， 并以3 dB截止频率c=2100去归一化得模拟滤波器系统函数Ha(s)：654321( )3.86377.46419.14167.46413.86371G pssssss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章ca16654931221416( )( )6.1529 10 2.427652.94672.2676 101.1633 103.7836 106.1529 10spHsG pssssss 调用MATLAB函数impivar， 将Ha(s)转换成H(z)： 151234451234561 ( )9.6634

34、100.0240.3347 0.29850.04637.4472 101 0.76660.76740.3857 0.13100.02600.0023H zzzzzzzzzzzz无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章5.3 教材第教材第6章习题与上机题解答章习题与上机题解答1 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率fp=6 kHz，通带最大衰减ap=3 dB， 阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减as=25 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)以及实际滤波器的Ha(s)。 解解: （1） 求阶数N。spspsp0.12.5sp0.10.3lglg10110117.7941

35、01101aakNpks无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章3ssp3p2 12 10226 10 将ksp和sp值代入N的计算公式, 得lg17.7944.15lg2N 所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到简化）。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章（2） 求归一化系统函数G(p)。 由阶数N=5直接查教材第157页表6.2.1, 得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数G(p)为54321( )3.2365.23615.23613.23611G pppppp或221( )(0.6181)(1.618

36、1)(1)G pppppp当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章121j22e 0,1,2,3,4kNkpk再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为401( )()kkG ppp最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果。（3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一化系统函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章由于本题中ap=3 dB， 即c=p=26103 rad/s， 因此caa5c54233245ccccc( )( )|3.23615.23615.23613

37、.2361spHsHpsssss对分母因式形式， 则有caa52222ccccc( )( )|(0.6180)(1.6180)()spcHsHpsssss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章如上结果中，c的值未代入相乘， 这样使读者能清楚地看到去归一化后，3 dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。 2 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率fp=3 kHz，通带最大衰减p=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减s=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际的Ha(s)。 解解: （1） 确定滤波器技术指标。 p=0.2 dB, p=2fp=610

38、3 rad/ss=50 dB,s=2fs=24103 rad/s p=1,ssp4无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4) 求阶数N和。sp1s0.110.1arch arch 1011456.65101arch 1456.653.8659arch 4aakNkN为了满足指标要求， 取N=4。 p0.11010.2171a 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 (3) 求归一化系统函数G(p)411111( )2()1.7368()NNkkkkQ ppppp其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下： (21)(21)ch sinjch cos1,2,3,4221111ar

39、sharsh0.558040.2171kkkpkNNN 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章1234ch0.5580sinj ch0.5580cos0.4438j1.07158833ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.44388855ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.44388877ch0.5580sinj ch0.5580cos0.4438j1.0788pppp 15无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)： pa44p44p11( )( )|1.7368()1

40、.7368()sppkkkkHsQ pspss其中， sk=ppk=6103pk, k=1, 2, 3, 4。 因为p4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s2*。 将两对共轭极点对应的因子相乘， 得到分母为二阶因子的形式， 其系数全为实数。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章16222211222482487.2687 10( )(2Re | )(2Re| )7.2687 1016(1.6731 104.7791 10 )(4.0394 104.7790 10 )aHsss ssss ssssss也可得到分母多项式形式， 请读者自己计算。 3 设计一个巴特沃斯高

41、通滤波器， 要求其通带截止频率fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB， 阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求： p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB (2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式， p=1, s=p/s， 得到 p=1, ap=3 dB , 2spsas=15 dB无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(3) 设计相应的归一化低通G(p

42、)。 题目要求采用巴特沃斯类型， 故ps0.1sp0.1ssppspsp1010.181012lglg0.182.47lglg2aakkN 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三阶巴特沃斯归一化低通G(p)为321( )221G pppp(4) 频率变换。 将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)： c33223ccc( )( )|22pssH sG psss式中c=2fc=220103=4104 rad/s 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： a22( )()saHssab(1

43、)(2)a22( )()bHssab式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z)。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解: 该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。 所以， 求解该题具有代表性， 解该题的过程， 就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式。 设采样周期为T。 (1)a22( )()saHssabHa(s)的极点为s1=a+jb, s2=ajb将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章12a2212122122121 22 122( )()()

44、()()()()AAsaHssabssssA ssA sssabAA sAsA ssab比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程： 121 22 11AAAsA sa无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以a1/21/2( )(j )(j )Hssabsab 套用教材（6.3.4）式， 得到21(j )1(j )111/21/2( )1 e1 e1 ekkTsab Tab TkAH zzzz 按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。 由于两个极点共轭对称， 所以将

45、H(z)的两项通分并化简整理， 可得无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章11221ecos()( )1 2ecos()eaTaTaTzbTH zbT zz这样， 如果遇到将a22( )()saHssab用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时， 直接套用上面的公式即可， 且对应结构图中无复数乘法器， 便于工程实际中实现。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章a22( )()bHssab(2)Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb将Ha(s)部分分式展开： ajj22( )(j )(j )Hssabsab 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章套用教材（6.3.4）式， 得

46、到 (j )1(j )1jj22( )1 e1 eab Tab TH zzz 通分并化简整理， 得到1122esin()( )1 2ecos()eaTaTaTzbTH zbT zz无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章5 已知模拟滤波器的系统函数如下： a21( )1Hsss (1)(2)a21( )231Hsss试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。 设T=2 s。 解解: . 用脉冲响应不变法(1)a21( )1Hsss 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s)的极点为121313j,j2222ss a1313jj2

47、2221133jj33( )1313jj232233jj33( )1 e1 eTTHsssH zzz 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章将T=2代入上式， 得1 j 311 j 3111112233jj33( )1 e1 e2 3e sin331 2ecos 3eH zzzzzz 方法二 直接套用4题（2）所得公式。 为了套用公式， 先对Ha(s)的分母配方， 将Ha(s)化成4题中的标准形式： 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章a22( )()bHscsabc为一常数由于2222131312422ssss 所以a222312 32( )131322Hssss 无限脉冲响应(I

48、IR)数字滤波器的设计第章对比可知， ， 套用公式， 得13,22ab112221111222 3esin()( )31 2ecos()e2 3e sin331 2ecos 3eaTaTaTTzbTH zzbTzzzz(2)a2111( )123112Hsssss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章21112112111( )|1 e1 e111 e1 eTTTH zzzzz或通分合并两项得12112132(ee )( )1 (ee )ezH zzz无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章 用双线性变换法（1） 11a22111,21111 21 2111 21221( )( )|11

49、111(1) (1)(1)(1)(1)12 3zsTTzH zHszzzzzzzzzzzz无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(2)11a21111111 21 221 21211( )( )|1123111(1)2(1)3(1)(1) 12 62zszH zHszzzzzzzzzzz无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章6 设ha(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应， 即0.9ae 0( )0 0tth tt用脉冲响应不变法， 将此模拟滤波器转换成数字滤波器（用h(n)表示单位脉冲响应， 即 h(n)=ha(nT)）。 确定系统函数H(z)， 并把T作为参数， 证明： T为任何值时

50、， 数字滤波器是稳定的， 并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解: 模拟滤波器系统函数为0.9a01( )eed0.9tstHstsHa(s)的极点s1=0.9， 故数字滤波器的系统函数应为110.9111( )1 e1 es TTH zzzH(z)的极点为z1=e0.9T, |z1|=e0.9T无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题6解图所以， T0时， |z1|slsu， 所以不满足教材（6.2.56）式。 按照教材（6.2.57）式, 增大sl， 则plpuslsu0.3538=0.30221.1708 无限脉冲响应(IIR

51、)数字滤波器的设计第章采用修正后的设计巴特沃斯模拟带通滤波器。 (3) 将带通指标转换成归一化低通指标。 套用图5.1.5中带通到低通频率转换公式， sl220slpsslW1, B求归一化低通边界频率： p1,2220slssl0.35380.30221.97440.3022 0.4399WBps3 dB,15 dBaa无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4) 设计模拟归一化低通G(p)：ps0.10.3sp0.11.5ssppspsp101101 09744lglg 0.18032.5183lglg1.9744kkNaa 取N=3。 无限脉冲响应(IIR)

52、数字滤波器的设计第章查教材表6.2.1， 得到归一化低通系统函数G(p)：321( )221G pppp(5) 频率变换， 将G(p)转换成模拟带通Ha(s)： 220wa33w22 322222223300w0ww365432( )( )|()2()2()0.0850.87981.44840.70760.51240.11010.0443spsBHsG pB ssssBss Bs Bsssssss无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(6) 用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)： 11a21115123415561234561( )( )|(0.0181 1.7764 100.054

53、34.44090.05432.7756 100.0181)(1 2.2723.51513.26852.31290.96280.278)zsTzH zHszzzzzzzzzzzz以上繁杂的设计过程和计算， 可以用下面几行程序ex612.m实现。 程序运行结果如题12解图所示。 得到的系统函数系数为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章B = 0.0234 0 0.0703 0 0.0703 0 0.0234A= 1.0000 2.2100 3.2972 2.9932 2.0758 0.8495 0.2406与手算结果有差别， 这一般是由手算过程中可能产生的计算误差造成的。无限脉冲响应(IIR

54、)数字滤波器的设计第章%程序ex612.m wp=0.25， 0.45； ws=0.15， 0.55； Rp=3； As=15； %设置带通数字滤波器指标参数N， wc=buttord(wp， ws， Rp， As)； %计算带通滤波器阶数N和3 dB截止频率WcB， A=butter(N， wc)； %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量A和Bmyplot(B， A)； %调用自编绘图函数myplot绘制带通滤波器的损耗函数曲线无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题12解图无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章13* 设计巴特沃斯数字带通滤波器， 要求通带范围为0.25 r

55、ad 0.45 rad, 通带最大衰减为3 dB， 阻带范围为00.15 rad和0.55 rad rad， 阻带最小衰减为40 dB。 调用MATLAB工具箱函数buttord和butter设计， 并显示数字滤波器系统函数H(z)的系数， 绘制数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线。 这种设计对应于脉冲响应不变法还是双线性变换法？无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解： 调用函数buttord和butter设计巴特沃斯数字带通滤波器程序ex613.m如下： %程序ex613.mwp=0.25， 0.45； ws=0.15， 0.55； rp=3； rs=40； N， wc=buttord

56、(wp， ws， rp， rs)； B， A=butter(N， wc)clf； mpplot(B， A， rs)无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章程序运行结果： 数字滤波器系统函数H(z)的系数： B=0.000100.000700.002200.00360 0.003500.002200.000700.0001A =1.00005.3093 16.291334.729756.939974.512280.0136 71.117071.117052.640832.227016.16966.4618 1.98310.4218 0.0524函数buttord和butter是采用双线性变换法

57、来设计巴特沃斯数字滤波器的。 数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题13*解图所示。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题13*解图无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章14*. 设计一个工作于采样频率80 kHz的巴特沃斯低通数字滤波器， 要求通带边界频率为4 kHz， 通带最大衰减为0.5 dB， 阻带边界频率为20 kHz， 阻带最小衰减为45 dB。 调用MATLAB工具箱函数buttord和butter设计， 并显示数字滤波器系统函数H(z)的系数， 绘制损耗函数和相频特性曲线。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题14*解图无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第

58、章解解： 本题以模拟频率给定滤波器指标， 所以， 程序中先要计算出对应的数字边界频率， 然后调用MATLAB工具箱函数buttord和butter来设计数字滤波器。 设计程序为ex614.m。% 程序ex614.mFs=80000； T=1/Fs； wp=2*pi*4000/Fs； ws=2*pi*20000/Fs； rp=0.5； rs=45； N， wc=buttord(wp/pi， ws/pi， rp， rs)； B， A=butter(N， wc)； clf； mpplot(B, A, rs)； %调用本书绘图函数mpplot绘图无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章程序运行结果：

59、 阶数N=4， 数字滤波器系统函数H(z)的系数： B= 0.0028 0.0111 0.0166 0.0111 0.0028A= 1.0000 2.6103 2.7188 1.3066 0.2425数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题14*解图所示。 由图可见， 滤波器通带截止频率大于0.1（对应的模拟频率分别为4 kHz）， 阻带截止频率为0.5（对应的模拟频率分别为20 kHz）， 完全满足设计要求。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章15* 设计一个工作于采样频率80 kHz的切比雪夫型低通数字滤波器， 滤波器指标要求与题14*相同。 调用MATLAB工具箱函数cheb1or

60、d和cheby1设计， 并显示数字滤波器系统函数H(z)的系数， 绘制损耗函数和相频特性曲线。 与题14*的设计结果比较， 简述巴特沃斯滤波器和切比雪夫型滤波器的特点。 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章解解： 本题除了调用的MATLAB工具箱函数cheb1ord和cheby1与题14*不同以外， 程序与14*题完全相同。 本题求解程序ex615.m如下： % 程序ex615.mFs=80000； T=1/Fs； wp=2*pi*4000/Fs； ws=2*pi*20000/Fs； rp=0.5； rs=45; %数字滤波器指标N， wp=cheb1ord(wp/pi， ws/pi，