机械结构稳定与非线性分析

1、机械结构稳定与非线性分析 哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学 机电工程学院机电工程学院1机械结构稳定与非线性分析第一章 概概 论论 结构失效的主要形式：强度结构失效的主要形式：强度 、 刚度、刚度、 稳稳定、定、 疲劳、疲劳、 腐蚀腐蚀 本课程主要讲授结构本课程主要讲授结构稳定稳定与与（几何）非线（几何）非线性性计算分析方法计算分析方法 分析的对象为机械分析的对象为机械金属结构金属结构 局限于材料局限于材料弹性弹性范围内（弹性理论）分析范围内（弹性理论）分析 非线性问题分类机械结构稳定与非线性分析3非线性非线性材料非线性材料非线性(物理非线性物理非线性)几何非线性几何非线性小变形，小位移小变形，小位

2、移小变形，大位移小变形，大位移大变形，大位移大变形，大位移a）小位移线性分析）小位移线性分析 c）大位移非线性分析）大位移非线性分析 b）二阶理论（小位移非）二阶理论（小位移非线线 性）分析性）分析 结构分析理论的逐步替进：结构分析理论的逐步替进： 线性理论线性理论-二阶理论二阶理论(小位移几何非线性）小位移几何非线性） -大位移几何非线性理论大位移几何非线性理论MQLMQLP yQ x MQLP y弹性稳定理论的基本概念 1.1 稳定问题分类稳定问题分类；平衡分支失稳（第一类失稳、平衡分支失稳（第一类失稳、质变质变失稳）失稳）极值点失稳极值点失稳 （第二类失稳、（第二类失稳、量变量变失稳）失

3、稳）跃越失稳跃越失稳 1.2 稳定问题的计算方法稳定问题的计算方法平衡法平衡法能量法能量法动力法动力法2机械结构稳定与非线性分析1.1.1平衡分枝失稳平衡分枝失稳 （一类稳定问题）（一类稳定问题）-质变失稳质变失稳理想、无缺陷、挺直的轴心受压构件理想、无缺陷、挺直的轴心受压构件-一类稳定问题一类稳定问题 理想的在中面内受压的平板、受压的圆柱壳理想的在中面内受压的平板、受压的圆柱壳-一类稳定问题一类稳定问题1.1.2极值点失稳（二类稳定问题）极值点失稳（二类稳定问题）-量变失稳量变失稳 极值点失稳的荷载挠度曲线只有极值点，没有出现极值点失稳的荷载挠度曲线只有极值点，没有出现 变形状态的分岔点，构

4、件弯曲变形的性质始终如一，故变形状态的分岔点，构件弯曲变形的性质始终如一，故称为称为极值点失稳极值点失稳。 极值点失稳的现象是十分普遍，如双向受弯构件和双极值点失稳的现象是十分普遍，如双向受弯构件和双向压弯构件发生弹塑性弯扭失稳都是属于向压弯构件发生弹塑性弯扭失稳都是属于极值点失稳极值点失稳。跃越失稳跃越失稳拱的失稳现象为跃越失稳，它既无平衡分岔点，又无拱的失稳现象为跃越失稳，它既无平衡分岔点，又无极值点，它在丧失稳定平衡之后又跳跃到另一个稳定极值点，它在丧失稳定平衡之后又跳跃到另一个稳定平衡状态。平衡状态。 两杆结构的跃越失稳两杆结构的跃越失稳 拱的跃越失稳拱的跃越失稳:一类稳定问题的屈曲荷

5、载一类稳定问题的屈曲荷载(平衡分枝荷载平衡分枝荷载)和二类稳定和二类稳定问题的失稳极限荷载问题的失稳极限荷载(压溃荷载压溃荷载) 统称为统称为临界荷载临界荷载，与，与临界荷载相应的状态称为临界荷载相应的状态称为临界状态临界状态。 结构平衡的三种状态：结构平衡的三种状态：a)稳定平衡，稳定平衡，b) 不稳定平衡不稳定平衡 ，c) 随遇平衡。随遇平衡。 结构稳定分析都是针对着在荷载作用下存在变形的条件下进结构稳定分析都是针对着在荷载作用下存在变形的条件下进行的，由于所研究的结构变形与荷载之间呈非线性关系，因行的，由于所研究的结构变形与荷载之间呈非线性关系，因此此稳定计算属于几何非线性问题稳定计算属

6、于几何非线性问题。1.2稳定问题的计算方法稳定问题的计算方法 稳定问题的分析方法通常有三种：稳定问题的分析方法通常有三种： 平衡法平衡法 能量法能量法 动力法动力法 （1）平衡法）平衡法 静力平衡法，简称平衡法，根据已产生了静力平衡法，简称平衡法，根据已产生了微微小变形后小变形后结构的受力条件建立平衡方程而后求解。结构的受力条件建立平衡方程而后求解。如果得到的解有不止一个，其中具有最小值的一如果得到的解有不止一个，其中具有最小值的一个才是该结构的分岔荷载。个才是该结构的分岔荷载。 平衡法求解临界力实例平衡法求解临界力实例 0 0 MPk l crP Pk l 在微小变形后基础上建立平衡方程得：

7、在微小变形后基础上建立平衡方程得：解得临界力：解得临界力： （2）能量法）能量法 结构总势能结构总势能 是结构的应变能是结构的应变能U和外力势能和外力势能V之之和和 。若结构处在平衡状态，总势能必有。若结构处在平衡状态，总势能必有驻值驻值 。由总势能。由总势能对位移的一阶变分对位移的一阶变分为零，为零，可得到平衡方程并求解可得到平衡方程并求解分岔屈曲荷载分岔屈曲荷载 。 用总势能驻值原理可求解屈曲荷载，用总势能驻值原理可求解屈曲荷载， 用总势能最小原理可以判断屈曲后平衡的稳定性。用总势能最小原理可以判断屈曲后平衡的稳定性。 ()UV （临界状态）稳定状态）0(022()0UV (0) 能量法求

8、解临界力实例能量法求解临界力实例 （上例中）总势能：（上例中）总势能： 总势能驻值的条件：总势能驻值的条件： 按小变形理论作分析，因按小变形理论作分析，因 得杆的屈曲荷载：得杆的屈曲荷载： 由总势能二阶变分判断杆平衡状态稳定性由总势能二阶变分判断杆平衡状态稳定性 当当 处于稳定状态，处于稳定状态， 处于不稳定状态。处于不稳定状态。22211(1 cos )sin(1 cos )22UVkPlklPl 2sincossinsin (cos)0klPllklP sin0, cos1crPPk l222cos2cosklPlklPl 20,Pkl 时，20Pkl 时， ， （3）动力法）动力法处于平

9、衡状态的结构体系，如果施加微小于扰处于平衡状态的结构体系，如果施加微小于扰使其发生振动，当荷载小于稳定的极限值时，使其发生振动，当荷载小于稳定的极限值时，干扰撤去以后，运动趋丁静止，结构的平衡状干扰撤去以后，运动趋丁静止，结构的平衡状态是稳定的，否则是不稳定的；临界状态的荷态是稳定的，否则是不稳定的；临界状态的荷载即为结构的屈曲荷载可由载即为结构的屈曲荷载可由结构振动频率为零结构振动频率为零的条件的条件解得。解得。 利用动力法确定临界荷载的步骤利用动力法确定临界荷载的步骤：(1)假定体系在平衡位置附近作微小的自由振假定体系在平衡位置附近作微小的自由振动，动，写出振动方程写出振动方程，并，并求出

10、其振动频率的求出其振动频率的表达式；表达式；(2)根据体系于临界状态时根据体系于临界状态时频率等于零频率等于零这一条这一条件件确定临界荷载确定临界荷载。动力法求解临界力实例动力法求解临界力实例 1动力法求解临界力实例动力法求解临界力实例 2第二章 轴心受压构件的弯曲屈曲（第一讲）分析稳定问题的基础章节，何时考分析稳定问题的基础章节，何时考虑剪切变形对于稳定的影响虑剪切变形对于稳定的影响。19机械结构稳定与非线性分析上一讲要点回顾 1.1 稳定问题分类稳定问题分类；平衡分支失稳（第一类失稳、平衡分支失稳（第一类失稳、质变质变失稳）失稳）极值点失稳极值点失稳 （第二类失稳、（第二类失稳、量变量变失

11、稳）失稳）跃越失稳跃越失稳 1.2 稳定问题的计算方法稳定问题的计算方法平衡法平衡法能量法能量法动力法动力法2机械结构稳定与非线性分析本章要点1. 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲；轴心受压构件的弹性弯曲屈曲；2. 稳定理论在金属结构设计中应用；稳定理论在金属结构设计中应用；机械结构稳定与非线性分析21本章主要内容1. 弯矩平衡微分方程（二阶、四阶）；弯矩平衡微分方程（二阶、四阶）；2. 计算长度系数计算长度系数；3. 稳定系数稳定系数。2.1 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲机械结构稳定与非线性分析22小挠度理论小挠度理论大挠度理论大挠度理论初弯曲和初偏心初弯曲和初偏心塑性发展塑性发展基本假定1、21.

12、 构件是理想的等截面挺直杆构件是理想的等截面挺直杆2. 材料符合虎克定律材料符合虎克定律机械结构稳定与非线性分析23基本假定3、43. 平截面假定平截面假定4. 构件的弯曲变形是微小的构件的弯曲变形是微小的机械结构稳定与非线性分析24两端铰接压杆欧拉临界力1 建立内外力矩平衡方程建立内外力矩平衡方程机械结构稳定与非线性分析25EIuMN u 22 0 () cossinNuk ukEIuAkzBkz0, 0 0, 0 0sin 0 , 0, , 2 , 3 . (n=0,1,2,3.)zuAzluBklBkln简支梁简支梁边界条件边界条件两端铰接压杆欧拉临界力2 得最小临界力得最小临界力 变形

13、曲线变形曲线机械结构稳定与非线性分析2622crEEINNlsinuBnzl曲线形状曲线形状怎么才能出怎么才能出现现b)b)和和c)c)悬臂梁欧拉临界力 平衡方程：平衡方程： 边界条件：边界条件：机械结构稳定与非线性分析27222 () cossinEI uN uNNuk ukkEIuAkzBkz0, 0 0, 0 0, (1 cos)3 cos0, , , .22zuAzuBzluklklkl 22(2 )crEEINNl计算长度系数机械结构稳定与非线性分析2822 ()crEEINNl22 EcrENEA120.6990.5两种等效方法两种等效方法两端弹簧约束轴心受压构件的欧拉临界力机械结

14、构稳定与非线性分析29四阶弯矩平衡方程机械结构稳定与非线性分析300IVEIyPy四阶公式的四阶公式的优缺点？优缺点？四阶弯矩平衡方程求解 1 四个积分常数可内构件两端的几何边界条四个积分常数可内构件两端的几何边界条件和自然边界条件确定：件和自然边界条件确定：机械结构稳定与非线性分析312/kP EI四阶弯矩平衡方程求解 2 此外还有此外还有： 根据构件两端的四个独立的边界条件可以根据构件两端的四个独立的边界条件可以建立四个线性齐次方程：建立四个线性齐次方程：机械结构稳定与非线性分析32四阶弯矩平衡方程求解 3 方程有非零解的条件是式中的系数行列式方程有非零解的条件是式中的系数行列式为零为零

15、得屈曲方程得屈曲方程机械结构稳定与非线性分析33det( )0A 解的讨论解的讨论！例题 A机械结构稳定与非线性分析34例题 B机械结构稳定与非线性分析352.2 轴心受压构件的稳定理论在金属结构设计中的应用 欧拉公式的欧拉公式的适用范围适用范围 因为欧拉公式是在材料弹性前提下推导的，因为欧拉公式是在材料弹性前提下推导的，因此构件截面应力不应大于比例极限应力因此构件截面应力不应大于比例极限应力 p，由此得出欧拉公式适用的限制长细比，由此得出欧拉公式适用的限制长细比p 机械结构稳定与非线性分析362p, / = crppE切线模量理论 a) 轴心压杆临界应力曲线轴心压杆临界应力曲线 b) 切线应

16、力及切线模量切线应力及切线模量机械结构稳定与非线性分析37轴心受压构件弹塑性阶段的稳定性 1973年，我国在编制钢结构设计规范年，我国在编制钢结构设计规范时，对轴心受压构件弹塑性阶段的稳定性时，对轴心受压构件弹塑性阶段的稳定性进行了试验试验数据的回归结果为：进行了试验试验数据的回归结果为： 或改写为：或改写为：机械结构稳定与非线性分析38210.245()crss 210.43()crsc 2 s1.33, =/ , 0.57csscsE235345 123 102ccQQ用许用应力法验算轴心受压构件的整体稳定性机械结构稳定与非线性分析39n nk k是什么是什么?轴心受压稳定系数机械结构稳定

17、与非线性分析40轴心受压稳定系数计算公式 在相同的长细比的条件下，受压构件的临界应力在相同的长细比的条件下，受压构件的临界应力与钢材强度不成线性关系，提高钢材强度时，临与钢材强度不成线性关系，提高钢材强度时，临界应力不按同一比例提高。当小长细比时，提高界应力不按同一比例提高。当小长细比时，提高钢材强度可提高临界应力，大长细比时则高强度钢材强度可提高临界应力，大长细比时则高强度钢材对提高临界应力效果不大。钢材对提高临界应力效果不大。机械结构稳定与非线性分析41第二章 轴心受压构件的弯曲屈曲（第二讲）分析稳定问题的基础章节，何时考分析稳定问题的基础章节，何时考虑剪切变形对于稳定的影响虑剪切变形对于

18、稳定的影响。42机械结构稳定与非线性分析机械结构稳定与非线性分析 11:36:15 PM 43上一讲主要内容1. 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲；轴心受压构件的弹性弯曲屈曲；2. 稳定理论在金属结构设计中应用；稳定理论在金属结构设计中应用；上一讲要点1. 弯矩平衡微分方程（二阶、四阶）；弯矩平衡微分方程（二阶、四阶）；2. 计算长度系数计算长度系数；3. 稳定系数稳定系数。机械结构稳定与非线性分析 11:36:15 PM 44本章主要内容1. 格构式轴心受压构件的稳定性格构式轴心受压构件的稳定性；2. 剪切变形对轴心压杆临界力的影响；剪切变形对轴心压杆临界力的影响；本章要点1. 考虑剪切变形的弯矩

19、平衡微分方程；考虑剪切变形的弯矩平衡微分方程；2. 折算长细比；折算长细比；2.3 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲 实腹式一般是由型钢制成。常用的截面形式有角实腹式一般是由型钢制成。常用的截面形式有角钢、工字钢、丁字型钢、圆钢管、方形钢管等。钢、工字钢、丁字型钢、圆钢管、方形钢管等。实腹式也可用钢板焊接成组合截面。实腹式也可用钢板焊接成组合截面。机械结构稳定与非线性分析 11:36:15 PM 45格构式构件 格构式由分离杆件组成。其分离的各截面部分叫格构式由分离杆件组成。其分离的各截面部分叫肢杆，肢杆间由缀材连接。穿过肢杆腹板的截面肢杆，肢杆间由缀材连接。穿过肢杆腹板的截面主轴叫做主轴叫做实轴实

20、轴，穿过缀材的截面主轴叫做，穿过缀材的截面主轴叫做虚轴虚轴。机械结构稳定与非线性分析 11:36:15 PM 46剪切变形的影响 在研究实腹式轴心受压构件的整体稳定性在研究实腹式轴心受压构件的整体稳定性时，忽略了剪切变形对稳定性的影响，因时，忽略了剪切变形对稳定性的影响，因为实腹式受压构件的抗剪刚度较大，剪切为实腹式受压构件的抗剪刚度较大，剪切变形的影响很小。变形的影响很小。 格构式受压构件中，剪切变形较大，剪切格构式受压构件中，剪切变形较大，剪切变形对受压构件整体稳定性的影响已不可变形对受压构件整体稳定性的影响已不可忽略。忽略。机械结构稳定与非线性分析 11:36:15 PM 47什么是什么

21、是Timoshenko梁？梁？什么时候用到这种梁？什么时候用到这种梁？剪切变形对轴心受压构件临界应力的影响 请注意剪力函数请注意剪力函数机械结构稳定与非线性分析 11:36:15 PM 48平衡微分方程的推导 1机械结构稳定与非线性分析 11:36:15 PM 49平衡微分方程的推导 2机械结构稳定与非线性分析 11:36:16 PM 50平衡微分方程的推导 3机械结构稳定与非线性分析 11:36:16 PM 51平衡微分方程的推导 4机械结构稳定与非线性分析 11:36:16 PM 52平衡微分方程的推导 5机械结构稳定与非线性分析 11:36:16 PM 53不考虑剪切变形影不考虑剪切变形

22、影响时构件的长细比响时构件的长细比考虑剪切变形后的考虑剪切变形后的折算长细比折算长细比格构式受压构件折算长细比的计算机械结构稳定与非线性分析 11:36:16 PM 54格构式受压构件折算长细比的计算 缀条式双肢受压构件对虚轴的折算长细比缀条式双肢受压构件对虚轴的折算长细比机械结构稳定与非线性分析 11:36:16 PM 55主肢总面积主肢总面积腹杆总面积腹杆总面积缀板式双肢受压构件对虚轴的折算长细比机械结构稳定与非线性分析 11:36:16 PM 56缀板式双肢受压构件对虚轴的折算长细比 A为主肢总面积，为主肢总面积，I1为单主肢截面惯性矩，为单主肢截面惯性矩，I2为单缀板截面惯性矩。为单缀

23、板截面惯性矩。 当缀板刚度较大时，可简化为当缀板刚度较大时，可简化为机械结构稳定与非线性分析 11:36:16 PM 57221h不考虑剪切变形影响时，不考虑剪切变形影响时，受压构件对虚轴的长细比受压构件对虚轴的长细比单主肢长细比，计算长度取单主肢长细比，计算长度取缀板间净距缀板间净距l01，而非中心距而非中心距l1四肢受压构件对两个虚轴的折算长细比 缀条式四肢受压构件缀条式四肢受压构件 绕绕X轴：轴： 绕绕Y轴：轴： A1x, A1y分别为分别为X平面或平面或Y平面内斜腹杆总平面内斜腹杆总面积，通常面积，通常机械结构稳定与非线性分析 11:36:16 PM 582140hxxxAA2140h

24、yyyAA四根主肢总面积四根主肢总面积11/ 2xyAAA四肢受压构件对两个虚轴的折算长细比机械结构稳定与非线性分析 11:36:17 PM 59221h改为按最小回改为按最小回转半径轴计算转半径轴计算2.4 变截面轴心受压构件的稳定 临界力为：临界力为：机械结构稳定与非线性分析 11:36:17 PM 602max22()crEINl长度换算法长度换算法22max2crEINl惯性矩换算法惯性矩换算法两种换算法比较 长度换算法长度换算法 惯性矩换算法惯性矩换算法机械结构稳定与非线性分析 11:36:17 PM 61有没有问有没有问题？题？变截面构件的临界应力 临界应力为临界应力为 长细比为长

25、细比为:机械结构稳定与非线性分析 11:36:17 PM 6222222max2 max2222()crErErEll2maxmax2/()l rlr悬臂变截面构件处理 对于一端固支一端自由截面不对称变化的对于一端固支一端自由截面不对称变化的变截面构件，可先用支承方式长度系数变截面构件，可先用支承方式长度系数1=2乘以构件几何长度将其化为计算长度乘以构件几何长度将其化为计算长度为为1l的两端简支、截面对称变化的变截面的两端简支、截面对称变化的变截面构件，然后再用长度换算法或惯性矩换算构件，然后再用长度换算法或惯性矩换算法将其进一步换算成两端简支的相当等截法将其进一步换算成两端简支的相当等截面构

26、件，其长细比为面构件，其长细比为:机械结构稳定与非线性分析 11:36:17 PM 6312max1max2/()l rlr 悬臂梁和简支梁欧拉临悬臂梁和简支梁欧拉临界力之间的关系？界力之间的关系？第三章 稳定计算的近似分析法介绍能量法和应用能量法解决弹性介绍能量法和应用能量法解决弹性稳定问题。稳定问题。64机械结构稳定与非线性分析上一讲要点回顾 2.4 轴心受压构件的弹性屈曲轴心受压构件的弹性屈曲实腹式和格构式构件及其组成实腹式和格构式构件及其组成剪切变形对轴心受压构件的影响剪切变形对轴心受压构件的影响格构式受压构件折算长细比格构式受压构件折算长细比h的推导和计算的推导和计算 2.5 变截面

27、构件的弹性屈曲变截面构件的弹性屈曲变截面构件的形式和种类变截面构件的形式和种类等效方法（长度换算法）等效方法（长度换算法）等效方法（惯性矩换算法）等效方法（惯性矩换算法）2机械结构稳定与非线性分析3.1 能量守恒原理 对于对于保守结构体系保守结构体系，外力和内力所作的功，外力和内力所作的功只取决于运动的起点和终点的，与运动所只取决于运动的起点和终点的，与运动所经历的路线无关。经历的路线无关。 能量守恒原理表为：如果贮存在结构体系能量守恒原理表为：如果贮存在结构体系中的应变能等于外力所作的功，则该保守中的应变能等于外力所作的功，则该保守体系处在平衡状态。体系处在平衡状态。U= W机械结构稳定与非

28、线性分析3弹性应变能弹性应变能外力功外力功铁摩辛柯（Timoshenko）能量法 当结构在外力作用下偏离其原来的当结构在外力作用下偏离其原来的平衡位平衡位置置而存在而存在微小变形微小变形时时:如果应变能的增量如果应变能的增量U大于外力功增量大于外力功增量W，则此结构处于则此结构处于稳定稳定平衡状态。平衡状态。如果如果U W ，则结构处于，则结构处于不稳定不稳定平衡状态平衡状态而导致失稳。而导致失稳。如果如果U= W ，则结构处于由稳定平衡过渡，则结构处于由稳定平衡过渡到不稳定平衡的到不稳定平衡的临界临界状态。状态。机械结构稳定与非线性分析4用能量守恒原理来解用能量守恒原理来解决结构弹性稳定问题

29、决结构弹性稳定问题铁摩辛柯（Timoshenko）能量法 对于长度为对于长度为l的单向弯曲的单向弯曲构件构件，略去轴向应变略去轴向应变 弯曲应变能弯曲应变能 轴向位移轴向位移机械结构稳定与非线性分析52012lMUdxEI201( )2lUEI ydxMEIyU0(1 cos )ldx泰勒展开泰勒展开201( )2lydx铁摩辛柯（Timoshenko）能量法 外力功增量外力功增量 屈曲载荷屈曲载荷机械结构稳定与非线性分析6201( )2lWPPydxWPP2020( )( )llEIydxPydx算例1. 求两端铰接压秆的临界荷载 为了比较，把变形曲线取为了比较，把变形曲线取为三种形式。为三

30、种形式。设设设设设设机械结构稳定与非线性分析70铁摩辛柯能量法铁摩辛柯能量法2vaxbxc323224qxvxx llEIsinxvAl2229.8696EIEIPll 设 根据边界条件：根据边界条件： 变形曲线为：变形曲线为： 对变形曲线取导数：对变形曲线取导数： 将其代入将其代入机械结构稳定与非线性分析712vaxbxc0000 xvcxlvbal 2()va xlx22(2)2dvaxldxd vadx2022 3220(412()/3llEIa lEIPa lEIydxydxl2229.8696EIEIPll误差误差21.6%! 设 满足边界条件：满足边界条件： 对变形曲线取导数：对变

31、形曲线取导数： 将其代入将其代入机械结构稳定与非线性分析72000 xvxlv 32322(46)24()2dvqxx lldxEId vqxxldxEI2 52 72022201209.88241720160( )( )()llq lEIEIydxydxEIPlq lEI323224qxvxx llEI横向均布荷载作横向均布荷载作用下的变形曲线用下的变形曲线误差误差0.13%2229.8696EIEIPll 设 满足边界条件：满足边界条件： 对变形曲线取导数：对变形曲线取导数： 将其代入将其代入机械结构稳定与非线性分析73000 xvxlv 2222cos()sin()dvAxdxlld v

32、Axdxll20243222220( )(2)2llAEEIydxydxIlEIPlAl真实真实变形曲线变形曲线没有误差！没有误差！sinxvAl算例2. 求悬臂梁的临界荷载 挠度曲线的真实形状为挠度曲线的真实形状为未未知知。 我们可用自由端作用我们可用自由端作用切向切向载荷载荷的悬臂梁挠度曲线作的悬臂梁挠度曲线作为挠度曲线形状的近似。为挠度曲线形状的近似。 该该曲线的方程曲线的方程：机械结构稳定与非线性分析74铁摩辛柯能量法铁摩辛柯能量法2(3)6QxylxEI23(3)2xylxl33x lQlyEI算例2. 求悬臂梁的临界荷载 弯曲应变能为弯曲应变能为 外力功增量为外力功增量为 由由U=

33、 W机械结构稳定与非线性分析75220325lPdyWPdxPdxl22200()22llMPUdxy dxEIEI22217335 25PlPEIl22422.470617crEIEIPll2222.46744crEIEIPll精确解误差误差0.13%算例2. 求悬臂梁的临界荷载 有时候，即使对于曲线的形状作了很粗略有时候，即使对于曲线的形状作了很粗略的假定，但仍旧能得到良好的的假定，但仍旧能得到良好的结结果果。 例如，我们假定上例的挠度曲线为例如，我们假定上例的挠度曲线为抛物线抛物线，它的方程为它的方程为机械结构稳定与非线性分析7622/yxl22222222008(1)2215(1)2l

34、lMPxPlUdxdxEIEIlEI220223lPdyWPdxPdxl22.50crEIPl误差误差1.3%!2222300122( (2)()22)llEIEIUEI ydxdxll23crEIPl误差误差21.6%!算例3. 求图示变截面压杆的临界载荷 设变形曲线为设变形曲线为 外力功增量外力功增量机械结构稳定与非线性分析771 cos2xyl2220216lPdyPWdxdxl算例3. 求图示变截面压杆的临界载荷 弯曲变形能弯曲变形能 由由U= W机械结构稳定与非线性分析7822221222111411 sincrEIPlll IIlll IIl2222220212222202122c

35、oscos222llllllM dxM dxUEIEIPxIxdxdxEIlIl注意积分段！注意积分段！小结11. 用能量法求临界荷载，应先设定屈曲时的用能量法求临界荷载，应先设定屈曲时的变形曲线。因所设变形曲线不可能完全精变形曲线。因所设变形曲线不可能完全精确，故算出的临界荷载通常是确，故算出的临界荷载通常是近似解近似解。2. 能量法的关键是假定的变形曲线，变形曲能量法的关键是假定的变形曲线，变形曲线应尽可能满足较多的线应尽可能满足较多的边界条件边界条件。最好能。最好能同时满足几何边界条件同时满足几何边界条件(挠度和转角挠度和转角)与与载载荷荷边界条件边界条件(弯距和力弯距和力)。同时满足二

36、者有。同时满足二者有因难时，因难时，至少至少应使几何条件得到满足。应使几何条件得到满足。机械结构稳定与非线性分析79小结13. 通常能量法求得的临界荷载都通常能量法求得的临界荷载都大于大于精确值。精确值。这是因为一般所这是因为一般所假设假设的变形的变形曲线曲线与实际变与实际变形曲线不一致，这就相当于在压杆上形曲线不一致，这就相当于在压杆上加入加入了某些附加约束、提高了压杆的刚度了某些附加约束、提高了压杆的刚度。4. 在推导临界荷载公式时，弯曲应变能在推导临界荷载公式时，弯曲应变能U的表达式有两个。的表达式有两个。机械结构稳定与非线性分析80精度高精度高20( )lUEI ydx( )B202l

37、MUdxEI( )A容易计算容易计算铁摩辛柯能量法推广 对于更为一般的情形，可设屈曲曲线对于更为一般的情形，可设屈曲曲线为以为以下下方程方程形式：形式： 计算时，通常只取有限的几项计算时，通常只取有限的几项机械结构稳定与非线性分析81满足给定边界满足给定边界 条件的函数条件的函数11221( )( )( )( )nnniiivaxaxaxax试解函数试解函数未知常数变量未知常数变量（广义坐标）（广义坐标）铁摩辛柯能量法推广 由由 屈曲载荷表达式为屈曲载荷表达式为 为求得临界载荷为求得临界载荷Pcr，应选择式中的，应选择式中的 ai使使P最小最小机械结构稳定与非线性分析8211221( )( )

38、( )( )nnniiivaxaxaxax2012121201( ),( )nliininlniiiEIaxdxA a aaPB a aaaxdx铁摩辛柯能量法推广 应选择式中的应选择式中的ai使使P最小最小机械结构稳定与非线性分析832210(1,2,3, )iiiiiABBAPAABaainaBB aBa0iiAA BaB a0(1,2,3, )iiABPinaa1212,nnA a aaPB a aa铁摩辛柯能量法推广机械结构稳定与非线性分析84201( )nljjjiiAEIaxdxaa20101( )2( )( )nljjjiinljjijBaxdxaaxaxdx01(2)( )in

39、ljjjiAEI axdxax1( )( )nijjijaxxa011( )2( )njnljjjjjiaxEIaxdxa铁摩辛柯能量法推广 由由P的极小值条件得的极小值条件得机械结构稳定与非线性分析850(1,2,3, )iiABPinaa0011( )( )()0)nnlljjjjjjiiEI axdxPaxdxxx01( )( )( )( )0nljjjijixxaPxEIxdx 0( )( )( )( )ljjijiiPxEIxdxxxC记10(1,2, )njjjiainC注意对称性！注意对称性！铁摩辛柯能量法推广 由由 得到稳定方程为得到稳定方程为 将此式展开，可得到一个关于将此式

40、展开，可得到一个关于P的的n次代数次代数方程，求出方程，求出P的最小根即可确定临界荷载。的最小根即可确定临界荷载。机械结构稳定与非线性分析861112121222120nnnnnnCCCCCCDCCC10(1,2, )njjjiainC 0nnn naC算例4. 求图示下端固定、上端铰支等截面压杆的临界载荷 取变形曲线为两项级数形式取变形曲线为两项级数形式机械结构稳定与非线性分析8723112212( )( )()()vaxaxa lx xa lx x11222( )(23 )( )2(3 )( )(34 )( )6 (2 )xxlxxlxxxlxxx lx23112415PlClEI3312

41、21410PlCClEIl43222324355PlClEIl算例4. 求图示下端固定、上端铰支等截面压杆的临界载荷 代入稳定方程，得到代入稳定方程，得到 展开并化简得到展开并化简得到机械结构稳定与非线性分析882333343322441510324410355PlPllEIlEIlDPlPllEIllEIl222212822400EIEIPPll220.9187EIPl220.1906crEIPl精确解精确解误差误差3.61%3.61%3.2 势能驻值原理 势能驻值原理可表述为：势能驻值原理可表述为： 当弹性体系当弹性体系(线性或非线性的线性或非线性的)发生发生任意微小任意微小的虚位移时，若

42、体系的总势能的虚位移时，若体系的总势能不变，则不变，则该体系处于平衡状态。该体系处于平衡状态。 即弹性体系处于平衡状态必须满足总势能即弹性体系处于平衡状态必须满足总势能驻值条件驻值条件机械结构稳定与非线性分析89=UV（）=0总势能总势能系统应变能系统应变能外力势能外力势能最小势能原理 最小势能原理指当一个体系的势能最小时，最小势能原理指当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。系统会处于稳定平衡状态。 最小势能原理是最小势能原理是势能驻值原理势能驻值原理在线弹性范在线弹性范围里的特殊情况。围里的特殊情况。 对于一般性问题：真实位移状态使结构的对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻

43、值（一阶变分为零），在线弹性势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题中取最小值。问题中取最小值。机械结构稳定与非线性分析90( )a( )b( ) c势能驻值原理 压杆屈曲时的弯曲应变能压杆屈曲时的弯曲应变能(又称为又称为弹性势能弹性势能)为为 外力外力P在杆件在杆件屈屈曲时所作的功为曲时所作的功为 总势能的表达式为总势能的表达式为机械结构稳定与非线性分析91=UV（）=0222012ld vUEIdxdx2012lMUdxEI或者2012ldvVPPdxdx 2220011=22lld vdvEIdxPdxdxdx势能驻值原理 举例1 设此时的变形曲线为设此时的变形曲线为 总势能总势能 由由

44、=0,得得机械结构稳定与非线性分析92( )sinxv xfl22crEIPl42322=044fffEPllfI22( )cos( )sinxv xllxv xlffl 2220011=22lld vdvEIdxPdxdxdx42223=44ffEIPll势能驻值原理 举例2 设此时的变形曲线为设此时的变形曲线为 总势能总势能 由由=0,得得机械结构稳定与非线性分析9323( )(3)2xv xlxl22333=25EIPll252crEIPl2220011=22lld vdvEIdxPdxdxdx366=025EIPll3.3 瑞利-里兹法 瑞利瑞利-里兹法是建立在势能驻值原理基础上里兹法

45、是建立在势能驻值原理基础上的的一一个近似方法。个近似方法。 瑞利瑞利-里兹法采用具有里兹法采用具有n个广义坐标的位移个广义坐标的位移函数近似地代替其实的位移曲线函数近似地代替其实的位移曲线； 用解代数方程的方法代替求解微分方程。用解代数方程的方法代替求解微分方程。 设设压杆失稳时的变形曲线为压杆失稳时的变形曲线为机械结构稳定与非线性分析9411221( )( )( )( )nnniiivaxaxaxax满足几何边界条件的已知函数满足几何边界条件的已知函数任意参数任意参数瑞利-里兹法 临界状态的变形形式临界状态的变形形式即即决定于决定于n个独立参数个独立参数ai 总势能的变分总势能的变分可表为：

46、可表为： 势能驻值条件表为势能驻值条件表为:机械结构稳定与非线性分析9512112nniiniaaaaaaaa 0(1,2, )iina瑞利-里兹法 在在线性线性问题中，势能表达式为问题中，势能表达式为 引入变形曲线，得引入变形曲线，得 由势能驻值条件由势能驻值条件 得稳定方程得稳定方程机械结构稳定与非线性分析9622220011=22lld vdvEIdxPdxdxdx22001111=( )( )22nnlljjjjjjEIaxdxPaxdx1112121222120nnnnnnCCCCCCDCCC小结2 瑞利瑞利-里兹法是由势能驻值条件，即由势能里兹法是由势能驻值条件，即由势能的一阶变分

47、等于零导出的的一阶变分等于零导出的。 铁摩辛柯法则是根据临界状态时的能铁摩辛柯法则是根据临界状态时的能量量特特征导出征导出。 两者在概念上是不同的。两者在概念上是不同的。 但两种方法导但两种方法导出出的计算公式却完全相同，的计算公式却完全相同，所得的结果也完全相同。所得的结果也完全相同。机械结构稳定与非线性分析97算例5. 求悬臂梁的临界荷载 1.设变形设变形曲线方程曲线方程为：为：机械结构稳定与非线性分析98瑞利瑞利-里兹法里兹法21va x2222110022 31111=22223llEIa xdxPa xdxEIa lPa l31114403EIalPala23EIPl2222.467

48、44crEIEIPll精确解误差误差21.6%21.6%一项一项算例5. 求悬臂梁的临界荷载 2.设变形设变形曲线方程曲线方程为：为： 由由机械结构稳定与非线性分析99瑞利瑞利-里兹法里兹法2412va xa x2241202241201=212llEIa xa xdxPa xa xdx1200aa和俩项俩项算例5. 求悬臂梁的临界荷载 得得 稳定方程为稳定方程为 求得临界力求得临界力机械结构稳定与非线性分析100222122221212203511820557EIPlaEIPll aEIPlaEIPll a22221223501182557EIPlEIPlEIPlEIPl22.4688EIP

49、l误差误差0.057%0.057%小结3 欲进一步提高精度，还可继续增加参数欲进一步提高精度，还可继续增加参数ai的的数目，设定第三，第四数目，设定第三，第四近似弹性曲线近似弹性曲线表达式求解。不过，每增加一个参数，随表达式求解。不过，每增加一个参数，随之将增加大量的工作量。本例作第二轮近之将增加大量的工作量。本例作第二轮近似计算即已得到满意的结果。似计算即已得到满意的结果。机械结构稳定与非线性分析101课堂练习使用瑞利-里兹法求解临界载荷 取变形曲线为两项级数形式取变形曲线为两项级数形式机械结构稳定与非线性分析10223112212( )( )()()vaxaxa lx xa lx x第四章

50、 有限单元法解稳定问题（第一讲）介绍刚度阵的推导方法，使用插值介绍刚度阵的推导方法，使用插值有限元求解稳定问题有限元求解稳定问题。103机械结构稳定与非线性分析机械结构稳定与非线性分析 11:36:24 PM 104上一讲主要内容1. 铁摩辛柯能量法及其推广；铁摩辛柯能量法及其推广；2. 瑞利瑞利-里兹法解稳定问题；里兹法解稳定问题；上一讲要点1. 铁摩辛柯能量法计算公式；铁摩辛柯能量法计算公式；2. Cij的推导（两种方法）；的推导（两种方法）；3. 能量法及弯矩两种表达的优缺点。能量法及弯矩两种表达的优缺点。机械结构稳定与非线性分析 11:36:24 PM 105本章主要内容1. 单元刚度

51、阵的推导；单元刚度阵的推导；2. 系统刚度阵的组装；系统刚度阵的组装；本章要点1. 线性刚度阵和几何刚度阵；线性刚度阵和几何刚度阵；2. “对号入座对号入座”；4.0 有限元简史 1 从第一次由美国加州大学伯克利分校从第一次由美国加州大学伯克利分校（University of California, Berkeley）的力）的力学教授学教授Ray W. Clough在他的文章中提出并在他的文章中提出并使用使用”有限元方法有限元方法”（Finite Element Method）这一词汇以来，有限元方法以及）这一词汇以来，有限元方法以及相关计算系统的已经发展了相关计算系统的已经发展了40多年多年

52、； Clough第一次使用有限元法（平面三角形第一次使用有限元法（平面三角形单元）分析飞机的蒙皮问题单元）分析飞机的蒙皮问题 ；机械结构稳定与非线性分析 11:36:24 PM 106有限元简史 2 “有限元方法有限元方法”概念的提出，引出了美国概念的提出，引出了美国加州大学伯克利分校有限元技术研究小组加州大学伯克利分校有限元技术研究小组的最为辉煌的十年历程。在这十年里，第的最为辉煌的十年历程。在这十年里，第一个得到开发并公开发布的自动计算系统一个得到开发并公开发布的自动计算系统（The first Automated Finite Element Program），称之为），称之为SAP（S

53、tructure Analysis Program），这是由），这是由Ray W. Clough博士的学生博士的学生Edward L. Wilson博士博士主持开发的。主持开发的。机械结构稳定与非线性分析 11:36:25 PM 107有限元简史 3 而另外一名对有限元方法做出重大贡献的而另外一名对有限元方法做出重大贡献的由伯克利分校培养的博士是由伯克利分校培养的博士是Klaus J. Bathe博士。博士。Klaus J. Bathe在在1960年代末在年代末在Clough和和Wilson博士的指导下攻读博士学博士的指导下攻读博士学位，从事结构动力学求解算法和计算系统位，从事结构动力学求解算

54、法和计算系统的研究。大家所熟知的模态求解方法之一的研究。大家所熟知的模态求解方法之一“子空间迭代子空间迭代”（Subspace Iteration）就）就是是Bathe博士期间的一个成果。我们知道，博士期间的一个成果。我们知道，目前几乎所有的商业化软件都在使用这个目前几乎所有的商业化软件都在使用这个算法。算法。机械结构稳定与非线性分析 11:36:25 PM 108有限元简史 4 1972 Willson E. L.教授开发了教授开发了 SAP 1 ， 1972年底开发了年底开发了 SAP 2（SOLID SAP），）， 1973年开发了年开发了 SAP 3（未公开发表，只供（未公开发表，只供

55、赞助单位用），赞助单位用）， 1974年正式发表了年正式发表了 SAP 4（Bathe, Wilson etc.）。）。 据说到目前为止，据说到目前为止，SAP 4 还是美国大学最还是美国大学最常用的程序。常用的程序。机械结构稳定与非线性分析 11:36:25 PM 109有限元简史 5 1974年年 Wilson 与他的学生与他的学生 Bathe 有开发了有开发了SAP 程序的非线性版本程序的非线性版本 NOSAP。 后来南加州后来南加州 SAP 用户协会曾对用户协会曾对 SAP 4 进行进行修改、增加，称为修改、增加，称为 SAP5。 SAP4 ，SAP5 和和 NOSAP 这这3个程序都

56、大约个程序都大约在在1979年间传入中国，许多著名大学曾对年间传入中国，许多著名大学曾对之进行研究和二次开发（北京工业大学，之进行研究和二次开发（北京工业大学，北京工业学院，北京大学，天津大学等上北京工业学院，北京大学，天津大学等上百所大学）。百所大学）。机械结构稳定与非线性分析 11:36:25 PM 110有限元简史6 SAP ALGOR Simulation Multiphysics NOSAP ADINA机械结构稳定与非线性分析 11:36:25 PM 111AUTODESK公司收购公司收购K.J.Bathe自自己的公司己的公司商业软件商业软件有限元求解稳定问题的思想1 有限单元法把结

57、构离散为有限个单元，利有限单元法把结构离散为有限个单元，利用结点的平衡条件建立离散体的刚度方程，用结点的平衡条件建立离散体的刚度方程，然后求解结点位移。然后求解结点位移。 每个单元中任意点的位移，可根据位移插每个单元中任意点的位移，可根据位移插值函数由结点位移间接地确定。值函数由结点位移间接地确定。 由于单元很小，各单元的位移插值函数可由于单元很小，各单元的位移插值函数可以近似地取为相同。以近似地取为相同。机械结构稳定与非线性分析 11:36:25 PM 112有限元求解稳定问题的思想2 由此把一个无限自由度体系的问题化为一由此把一个无限自由度体系的问题化为一个有限自由度体系的问题来分析。个有

58、限自由度体系的问题来分析。 利用有限单元法求结构屈曲临界荷载的问利用有限单元法求结构屈曲临界荷载的问题，其关键在于确定考虑轴向力效应时的题，其关键在于确定考虑轴向力效应时的单元刚度矩阵。单元刚度矩阵。机械结构稳定与非线性分析 11:36:25 PM 1134.1 势能驻值原理推导切线刚度阵 杆件杆件(单元单元)的杆端位移列向量为的杆端位移列向量为 杆端力列向量为杆端力列向量为机械结构稳定与非线性分析114 iijjuwu iijjFQMQM势能驻值原理 杆件的总势能为杆件的总势能为 根据总势能的驻值条件根据总势能的驻值条件 ，有，有 设考虑轴向力效应的单元刚度矩阵为设考虑轴向力效应的单元刚度矩

59、阵为 ，则有则有机械结构稳定与非线性分析115220011( )( ) 22llTEI w xdxPw xdxFu 0 00( )( )( )( ) 0llTEIw xw x dxPw xw x dxFuK KuF势能驻值原理 建立杆端位移与杆上任一点位移之间的关建立杆端位移与杆上任一点位移之间的关系即位移系即位移(插值插值)函数，取函数，取 根据边界条件根据边界条件机械结构稳定与非线性分析11600( )( )( )( ) 0llTEIw xw x dxPw xw x dxFu00 ( )( )( )( )llTuKuEIw xw x dxPw xw x dx321234( )w xa xa

60、 xa xa 为待定常数为待定常数ia(0)(0)( )( )iijjwwww lww l梁单元形函数 得到得到 对上式进行微分对上式进行微分机械结构稳定与非线性分析117( ) w xNu23232323232232322321xxxxxxxxNxllllllll形状函数（或者形状函数（或者简称形函数）简称形函数）( ) ( ) w xG uw xB u222223223266436623 1NxxxxxxxxGxllllllll222322326124661226 NxxxxBxllllllll推导切线刚度阵 切线刚度阵切线刚度阵机械结构稳定与非线性分析11800 ( )( )( )( )