积分变换课后答案

1、1-1之马矢奏春创作1.时间：二0二一年七月二十九日2.试证：若ft满足Fourier积分定理中的条件，则有sindcosd,b分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题,请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier积分的复数形式由于aa,bb,所以2. 求下列函数的Fourier积分:1)ft1t2,t210,t212)0,t0etsin2t,t03)ft0,1,1,0,t1t0t1t分析:Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题请读者试用三角形式解解：1）函数ft解：1）函数ft0,t2,t2t21为连续的偶函数，其Fourier变1换为f(t)的Fouri

2、erf(t)的Fourier2tcos22sint3t2sint4（s严口（偶函积分为2）所给函数为连续函数，其Fourier变换为j1121(2jr(2)j2522j2562（实部为偶函数，虚数为奇函数）f(t)的Fourier变换为这里用到奇偶函数的积分性质3）所给函数有间断点-1,0,1且f(-t)=-f(t)是奇函数，其Fourier变换为12jo1sintdt（奇函数）f(t)的Fourier积分为其中t-1,0,1（在间断点to处，右边f（t）应以to0代）.3.求下列函数的Fourier变换,并推证下列积分结果:1)0）,证明:2)f(t)eNcost,证明：o224costd4

3、討cost;3)f(t)sint,t0,",证明:nsinTtsin012-dn.&sint,20,证明:1)函数ftU为连续的偶函数,其Fourier变换为再由Fourier变换得即2）函数ftehcost为连续的偶函数，其Fourier变换为时间：二O二一年七月二十九日再由Fourier变换公式得costdne円cost23）给出的函数为奇函数Fourier变换为4.求函数ftet0,t0的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式解：根据Fourier解：根据Fourier正弦积分公式，并用分部积分法，有根据Fourier余弦积分公式，用分部积分法，有1

4、-21.求矩形脉冲函数f（t）A,ot的Fourier变换.o,其他解：2.设F是函数ft的Fourier变换，证明F与ft有相同的奇偶性.证明：F与ft是一个Fourier变换对，即所以ft亦为奇函数.Fftejtdt,ft1Fetd2n如果F为奇函数,即FF,则（令u)Fueutdu2n（换积分变量u为）12Fej冗tdft如果ft为奇函数，即ftft,则(令tu)fuejudu(换积分变量u为t)ftejtdtF所以F亦为奇函数.同理可证ft与F同为偶函数.4. 求函数ftett0的Fourier正弦变换，并推证解：由Fourier正弦变换公式，有由Fourier正弦逆变换公式，有由此，

5、那时t0,可得5.设FftF(),试证明：1) ft为实值函数的充要条件是F()Fp)；2) ft为虚值函数的充要条件是F()亍).fit式和证明：在一般情况下，记ftfrtjfit其中frt和均为t的实值函数，且分别为ft的实部与虚部.因此其中ReFfrtcostfitsintdt,a1)若ft为t的实值函数，即ftfrt,fit0此时，ab式分别为所以反之,若已知fF,则有此即标明F的实部是关于的偶函数；F的虚部是关于亦即标明ftfrt为t的实值函数.从而结论1）获证.2）若ft为t的虚值函数，即ftjfit,frt0.此时，a式和b式分别为所以反之,若已知FF,则有此即标明F的实部是关于

6、的奇函数；F的虚部是关于的偶函数.因此，肯定有Ffitsintdtjfitcostdt,亦即标明ftjfit为t的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier变换f（）汇，求该函数ft.解：F（）为连续的偶函数，由公式有但由于那时a0那时a0那时a0,0归d0,所以得ft0,t17.已知某函数的7.已知某函数的Fourier变换为7C求该函数ft.解：由函数3tt0gtdtgt0,易知8.求符号函数（又称正负号函数）sgnt1,t0的Fourier1,t0变换.解：容易看出sgntutut,而Fu(t)F()n0).j求函数ft10ta01a0ta0t-的222Fourier变换

7、.解：acosacos2.求函数ftcostsint的Fourier变换.解：已知22由ftcostsint1sin22t有Fftn020211.求函数ftsin31的Fourier变换解：已知Fej0t2n00,由即得12.求函数ftsin5tn3的Fourier变换.解：由于故Fnft2S5053n02505.14.证明：若FejtF,其中t为一实数，则其中F为F的共轭函数.证明：因为Fjteejtdt1FjtjtFeee!jtdtcostejtdtFcost同理可证另一等式.17.求作如图的锯齿形波的频谱图（图形见教科书）1ht,0tTtT0,其他1.若1FM)性性质）：分析:根据证明：

8、根据6.若F()分析:根据证明：FIf1（t）,F2（）Ff2（t）,是常数,证明（线Fourier变换的界说很容易证明.Fourier变换与逆变换的公式分别有Ff（t）,证明（翻转性质）：F（）Ff（t）Fourier变换的界说，再进行变量代换即可证明f(t)tdtsintFt(令tu)（换u为t）设函数f1,t0,tudutdt利用对称性质，证明：n0,证明：Ftdt1ejtdt1由对称性质：Ff(t)的值:12.利用能量积分21ftdtF2n,则FF(t)2开2d,求下列积分其中从而3)解:4)2)4)1cosx,dxx4sinx,2dxxydxx212MX1xx21.证明下列各式:2)

9、f1tftf1t-Af2ddt10)f分析:证明:4sinxdx；x22dx.1x22sin2-2r2dxx2sint.dttsin2x1cosx2dtdxFd11x2根据卷积的界说证明2)f1t6)f1t?f2tdtddt1-4f/：tXf2tf3計t10)ftutfut1,ttutfd.0,t2.若f1tetut,12t注意：不能随意调换f1t解：由f1tetute0,dttd所以人t:二f2tf2t诂f1tf2ddf1我f2t.dsintut,求f1tLjf2t.和f2t的位置.t,t0t0,f2tsintutsint,t00,t0f2f1tdddtf2t要确定f2f1t0的区间，采纳解

10、不等式组的方法.因为0,f20；t0,f1t0.即必需满足因此（分部积分法）esincos4.若Fi,F2F,证明:证明：F12nF1uF2udu5.求下列函数的Fourier变换:1) ftsin0tut;2) ftetsin0tut;5)ftej0tutt°时间：:二0二一年七月二十九日解：1）已知Fut1戸n3,又jftsin01ut1joteu2jtejotut.由位移性质有n2j03002202）由Fourier变换的界说，有5）利用位移性质及ut的Fourier变换，有再由象函数的位移性质,有7.已知某信号的相关函数Re切，求它的能量谱密度4S,其中a0.解由界说知9.求

11、函数ftetut,0的能量谱密度.解：因为ftt.eeutt,t00,t0那时0,ftft0的区间为0,所以那时0,ftft0的区间为,所以因此,R21e''现在可以求得ft的能量谱密度，即1-51.求微分方程xtxtt,(t）的解.分析：求解微分、积分方程的步伐:1）对微分、积分方程取Fourier变换得象函数的代数方程；2）解代数方程得象函数；3）取Fourier逆变换得象原函数（方程的解）变换，得解：设fxtX,对方程两边取Fourier即其逆变换为xt0,tt0e,t04.求解下列积分方程:1)y1rvdr;2)e"yd2Tie2解:1）利用卷积定理可以求解此

12、类积分方程1*端是未知函数yt与P二的卷积，即ta.显然,方程的左t占.设易知:所以Y由上可知Y,对方程两边取Fourier变换，有b|12bna|Ie2aallF丄1x22ta20cost丄naidtaeab-a22ntb-aab-a22ntb-a2)设Fyt2)设Fyt,对方程两边取Fourier变换,同理可得利用钟形脉冲函数的Fourier利用钟形脉冲函数的Fourier变换FAet2nAe厂及由Fourier变换的界说可求得：f从而2-1en冗F-1j其中，记F2e）则f12net2J上式中第二项可利用微分性质因此t22t21ne'、2nt225. 求下列微分方程的解其中ft,

13、ht为已知函数，a,b,c均为已知常数.解：设tF,FhtH,FxtX.对方程两边取Fourier变换,可得从而1.求下列函数的Laplace变换，并给出其收敛域，再用查表的方法来验证结果.1)fttsin2分析:Laplace变换的界说解题解:.tsin2.tsin2estdtjste2dt2)f2te解:3)f解:4)f解:7)f12j24s21Re(s)2tet2.2testdtdtRe(s)2stdtt2d(est)t2est00testdttd(est)4tesst0stdt_2飞sRe(s)0.sintcost.sintcostcos21.cos2112s2.求下列函数的sintc

14、ostestdtcos2te1s2jstdtcos2te2stdts2js22ss24Laplace变换:3)1)ft解:2)f解:解:4)解:123,1,0,3,cost,t2te4.5ecost3tcostestt1.求下列函数的1)ftt23tsttedt2testtstesint12j11s2Laplace2.dt53tjte2s1s2230estdtjtst.dtstdtRe(s)estdtRe(s)变换式:2t3t4estdt2encostestdt2Tts7Re(s)0stdtstdt丄2jjejs+r丄1s-13)f12et.解:5)fttcosat.解：由微分性质有：6)ft

15、5sin2t解:已知Lsin8)fte4"cos4t.解:由Lcos4t3cos21t4tecos4t2,LcostsJ,则3.若L特别地,L论计算下列各式:1)ft解：L2)ft解：Lss216及位移性质有s+4(s+4216tFs,证明（象函数的微分性质）tftFs,或fte3tsin2t,求Fs.3tesin2t2es+3toe3tsin2tdt,求F；3tsin2tdts3tesin2t1-Lt22s+34,并利用此结唱,求ft.lnssX令LFsft,12sinhtt4.若LFs,证明（象函数的积分性质）sds,或fttLsFsds2s2sinktk2)ft3t干专,求F并

16、利用此结论计算下列各式:1)ftkI7,e3tsin2ts1.设f1t,f2t均满足1.设f1t,f2t均满足Laplace变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c）,且LFls,L2tF2s,则乘积fitf2t的Laplace变换一定存在其中c,Resc.证明：已知fit,f2t均满足Laplace变换存在定理的条件且其增长指数均为c,由Laplace变换存在定理知f1tf2t也满足Laplace变换存在定理的条件且标明fitf2t的增长指数为2c.因此fitf2t的Laplace变换在半平面Res2c上一定存在，且右端积分在Rescc上绝对且一致收敛，而且在Res2c的半平面内，Fs为解

17、析函数.根据lfitFis,则fit的Laplace反演积分公式为从而（交换积分次第）（交换积分次第）sqtFiq0f2tedtdq2.求下列函数的Laplace逆变换（象原函数）；并用另一种方法加以验证i)Fs2)Fs3)Fsi0)解:2)3)Fssinat.ai0)由Fss21s243ss21ss24求下列函数的1)6)13)彳2s1e2s极点,所以6)令L1lns212s13)L11costcos2t.3Laplace逆变换:用留数计算法,由于s12j,S22j均为Fs的二级In12s1.求下列卷积:s212-s,Fln一stftcosht2ses12s2se_2st,3)t%n(m,n

18、为正整数)cntnkkdm!n!tmn1mn1tmtn的Laplace变换，再由注：本小题可先用卷积定理求出XLaplace逆变换求出卷积6)sinkt.：sinktk0.解：singsinktsinksinktd7)tsinht解：t：sinhtsinhtt：|sinhtd1t1tt20d(e)20t1tcosktcos2kktd201sinkttcoskt22k1ttd(e)-2teesinhtt200sin2tkt一tcoskt1 4k0利用卷积定理证明：LtLutFs1,9)uta|；fta02.设lftFs解：uta營ttuaftd00,tatftd,taa10)Staf来ta0.解

19、：当ta,Sta*ft0.当ta,aftdftfta.atLft：.utLouttftdL0ftdL0ftdt3.利用卷积定理，证明：L1s2a22-sinat2a证明证明s2a22122sa有2-51.求下列常系数微分方程的解：1)yye2t,y00；8)y3y3yy1,y0y0y00；12)y42yy0,y0y0y00,y01；16)yy10sin2t,y016)yy10sin2t,y00,y2分析：解题步伐，首先取Laplace变换将微分方程化为象函数的代数方程，解代数方程求出象函数，再取Laplace逆变换得最后的解.解：1）方程两边取Laplace变换,并结合初始条件可得即、,111

20、Ys.s2s1s2s1从而方程的解为8）对方程两边取Laplace变换,并结合初始条件，有即由留数计算法，由于&0是Ys的一个一级极点，s21是Ys的时间：二O二一年七月二十九日一个三级极点，从而方程的解为1-t2t1e'.212）对方程两边取Laplace变换,并结合初始条件，有即从而方程的解为-1ytLYscostsinttsint.216）对方程两边取Laplace变换,并结合初始条件，有即Ys芝<召亠亠*,从而s21s24s213s21s24s2112010ytLYssintsin2ty0sint.33为了确定y0，将条件yn1代入上式可得y0卫，所以方程23的解

21、为2.求下列变系数微分方程的解：1)tyy4ty0,y03,y00;3)ty2t1yt2y0,y02；5)ty1nyy0,y0y00,n0.解：1）方程两边取Laplace变换,有即LtyLy4Lty0,亦即从而s24dYsYs0ds两边积分可得InY丄1ns242Ci或丫取其逆变换，有欲求c,可由条件3获得，即y0cJ00c3,所以方程的解其中J0Xkok!2kx称为零阶第一类Bessel函数.3）方程两边取Laplace变换，有整理化简后可得即这是一阶线性非齐次微分方程，这里所以从而方程的解为ytL1Ys2e七齐92cfe七（®为任意常数）3!5）方程两边取Laplace变换，有

22、整理化简后可得两边积分可得即从而方程的解为nytCt2Jn2：t（c为任意常数）其中Jn称为n阶第一类Bessel函数.3. 求下列积分方程的解：1)ytattsintyd；03)t0yytd16sin4t；5)t°yyt2tdte.解:1）显然，原方程可写为两边取Laplace变换,并利用卷积定理，有所以从而方程的解为3）原方程可写为两边取Laplace变换,并利用卷积定理，有即取其Laplace逆变换，有1ytLYs8J04t,即标明yt8J04t及yt8J°4t均为所求.这里，J°为零阶第一类Bessel函数.5）原方程可写为两边取Laplace变换,并利用卷积定理，有所以从而方程的解为八L1YS"A4A'即yt4pet及yt4pet均为所求.1nYn求下列微分积分方程的解：1)t0ycostdyt,y01；3)yt2yt2t0ydutb,y02；5)yt4yt4t0yd1