用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1、精选优质文档-倾情为你奉上 最值问题 训练篇A1直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C，3 D2，3解 选A设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距离为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20的距离为2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知条件可得|AB|2，所以ABP面积的最大值为|AB|·dmax6，ABP面积的最小值为|AB|·dmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,62斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2

2、B. C. D.解 选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|···，当t0时，|AB|max.3已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，所以d1d2的最小值为31. 4过圆x2y

3、21上一点作圆的切线，与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A. B.C2 D3解 选C设圆上的点为(x0，y0)，其中x00，y00，则有xy1，且切线方程为x0xy0y1.分别令y0，x0得A，B，则|AB|2，当且仅当x0y0时，等号成立5已知点P是椭圆1上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2的平分线上一点，且·0，则|的取值范围是()A0,3)B(0,2) C2，3) D(0,4解 选B如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.·0，.又MP为F1PF2的平分线，|PF1|PG|，且M为F1G的中点O为F1F

4、2中点，OM=F2G.|F2G|PF2|PG|PF1|PF2|，|2a2|PF2|4|PF2|.42<|PF2|<4或4<|PF2|<42，|(0,2)6.已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点.（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值和的取值范围.解 （1）连接，由为等边三角形可知在中，于是，故曲线的离心率.（2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：，即，由及得，又由知，故，由得，所以，从而，故，当，时，存在满足条件的点.7 已知椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，直线ykx与椭圆交于A，B

5、两点(1)若AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1(2，1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围解 (1)由题意得c3，根据2a2c16，得a5.结合a2b2c2，解得a225，b216.所以椭圆的标准方程为1.(2)由得x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x20，x1x2，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2BF2，因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以·(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x

6、28，所以有8，结合b29a2，解得a212，所以离心率e.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为1，由题可知A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，所以k1k2，又，即k2，由2k11可知，k2.即直线PB的斜率k2.8. 已知椭圆的离心率是（1）求椭圆的方程；（2）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于两点，直线分别交轴于不同的两点. 如果为锐角，求的取值范围解 （1）由题意解得.所以椭圆的方程为 4分（2）由已知直线的斜率不为0.设直线方程为.直线与椭圆的交点为.由得.由已知，判别式恒成立，且直线的方程为，令，则.同理可得.所以 .将代入并化简，得.依题意，为锐角，

7、所以，即.解得或.综上，直线斜率的取值范围是.9. 如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上.(1)设中点为，证明：垂直于轴；(2)若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围. 分析 第（1）要设出A，B，P的坐标，确定PA，PB其中点坐标，把中点坐标代入抛物线方程，然后利用“点差法”或韦达定理证明P，M中点纵坐标相同；第（2）题要求三角形面积，可视|PB|为底，为高，把底和高表示为或的函数，确定函数定义域，再求其最值.（1）解1设，中点，中点，中点，由在抛物线上得， 两式相减并化简得 ，即，所以垂直于轴.解2 设，则中点为，中点在抛物线上，得，化简得同理可得，

8、因为，所以是方程的两个解，从而，即垂直于轴.（2）因为在半椭圆上，由题意知.由（1）解2得 ， 所以 ，于是，令，则，所以.10.设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:()相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解（1）因为,所以, 即.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆；当且时,方程表示的是椭圆； 当时,方程表示的是双曲线.(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组,得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则其=,(*)即,即,且因,故,解得且,即恒成立.又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由（2）知, 即 ,