高等数第十二章拉普拉斯变换ppt课件

1、第十二章第十二章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第二节 拉氏变换的性质第三节 拉普拉斯逆变换第四节 拉氏变换运用举例第一节 拉氏变换的概念第一节第一节 拉氏变换的概念拉氏变换的概念一、拉氏变换的定义二、常见的拉氏变换一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义定义 ( )f t0t 设函数当时有定义，而且积分 0( )stf t edt在 的某一域内收敛，那么由此积分所确定的函数可写为s 0( )( )stF sf t edt函数称为的拉普拉斯变换式简称拉氏变换式( )f t( )F s记为( ) ( )F sL f t 是一个复参量，在积分运算中可视为实数。 s 是复变量函数( )F s将函数 变换为函数

2、 ( )f t( )F s在实践问题中遇到的函数，它们的拉氏变换总是存在的. 以后总假定在 时0t ( )0f t 二、常见的拉氏变换二、常见的拉氏变换例1求单位跃阶函数 0,0( )1,0tu tt的拉氏变换。 解 ( ) ( )F sL u t0stedt01stes 1s01(lim)sttees 上式中lim0stte，理由如下：()tlimtielimsttetlim(cossin)0tetit得11Ls常用结论，由欧拉公式 设sicossiniei(0)(Re( )0)s 例2解 ( )ktf te求指数函数 的拉氏变换 (k为实数)()00( )ktktsts k tF sL e

3、eedtedt()011s k tesksk (Re( )sk1ktL esk常用结论例3解 求正弦函数 的拉氏变换. ( )sinf tkt0( )sinsinstF sLktkt edt02222(sincos)stekktkktsksk(Re( )sk22sinkLktsk22cossLktsk二、常见的拉氏变换二、常见的拉氏变换例4解 周期函数三角波 ,0( )22ttbf tbtbtb (2 )( )f tbf t，且 求 ( )L f t0 ( )( )stL f tf t edt24(21)022( )( )( )bbkbstststbkbf t edtf t edtf t ed

4、t(21)20( )kbstkbkf t edt2tkb2tkb0(21)tkb2b令，当时；当时那么(21)2(2)20( )(2)kbbstskbkbf t edtfkb ed二、常见的拉氏变换二、常见的拉氏变换220( )bkbssefed2200( )(2)bbbstststbf t edttedtbt edt221(1)bses2200( )bkbsstkef t edt2200( )bstkbskf t edte22011kbsbskee而所以 ( )L f t21bseRe( )0s 当时，故有2201( )1bstbsf t edte ( )L f t所以常用结论以T 为周期的

5、函数 ( )f t，当 在一个周期上分段延续时，那么有 ( )f t ( )L f t01( )1TstTsf t edte(Re( )0)s 二、常见的拉氏变换二、常见的拉氏变换设 0,0,1( )0,0.tttt 0当时，( ) t的极限0( )( )limtt称为狄拉克函数，简称函数。函数。 定义 狄拉克函数的拉氏变换 0( )stt edt0lim( )stt edt01limstedt0limlimstsedte01e ( )L f t ( )1Lt常用结论二、常见的拉氏变换二、常见的拉氏变换第十二章第十二章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第二节 拉氏变换的性质第三节 拉普拉斯逆变换第四节

6、 拉氏变换运用举例第一节 拉氏变换的概念第二节第二节 拉氏变换的性质拉氏变换的性质一、线性性质二、微分性质三、积分性质四、位移性质五、延迟性质一、线性性质一、线性性质性质, 假设 是常数， 11( )( )L f tF s22( )( )L f tF s，那么有 1212( )( )( )( )Lf tf tL f tL f t1( )(1)atf tea求函数 的拉氏变换. 例1 ( )L f t11(1)1atatLeLeaa解111atLL eaa111()()asa sas sa二、微分性质二、微分性质性质 ( )s ( )(0)L f tF sF那么有 ( )( )L f tF s假

7、设，推论 ( )( )L f tF s假设， 那么有( )12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnL fts F ssfsff(1)(0)(0)(0)0nfff当初值时，有( )( )( )nnL fts F s可将函数的微分运算化为代数运算 作用 利用微分性质求函数( )sinf tkt的拉氏变换.例2解由于 ( )cosf tkkt2( )sinftkkt ，(0)0f(0)fk因此，所以 22sin( ) ( )(0)(0)LkktL fts L f tsff二、微分性质二、微分性质22() ( )ksL f tk22 ( ) ( ),k L f ts L f tk即22sin

8、()kLktks即例312()( ),( )(1),( )!mmmf tmtftm mtftm解(1)(0)(0)(0)0mfff故1! mmmL ts(Re( )0)s () !( ) ( ) mmmmL mL ftsL f tsLt故 ! !1 ,mL mm Ls又1! ( )mmmL f tL ts故二、微分性质二、微分性质例4解222222sin ( ) ( )() ()skksL tktL tf tF ssksk ( )( ) ( ) FsLtf tL tf t 由于22sinkLktsk而故有2222222 cos()()ssskL tktsksk 同理可得 常用结论1!mmmL

9、ts2222sin ()ksL tktsk22222 cos()skL tktsk三、积分性质三、积分性质性质1 ( )( )L f tF s假设， 那么有01( )( )tLf t dtF ss0001( )( )tttnnLdtdtf t dtF ss 次普通地，有性质2 ( )( )L f tF s假设，( )( )sf tLF s dst那么有普通地，有 ( )( )nsssnf tLdsdsF s dst 次推论 00( )( )f tdtF s dst0( )f tdtt0s 假设积分 存在，取 那么有 其中 ( ) ( )F sL f t三、积分性质三、积分性质例5解知 sin(

10、 )tf tt，求 0sintdtt由推论得例6解0sinttetdt计算 2202( )sin sin (1)stsF sttedtL tts由本节例4得 01sin2ttetdt1s 令，得 21sin 1Lts由第一节例3知，sinlim( )lim1tttf tt，且 00sinsin tdtLt dst0201arctan12dsss四、位移性质四、位移性质性质 那么有 ( )( )L f tF s假设，( )()atL e f tF sa求以下函的拉氏变换. 例5解2( )sintf tett2( )at mf te t1m 为正整数 1由 1!( )mmmL tF ss得 1!(

11、)()at mmmL e tF sasa22222(2)24(2)1(45)sssss2由222 sin ( )(1)sL ttF ss得 2sin ( 2)(2)tL ettF sF s 五、延迟性质五、延迟性质性质 ( )( )L f tF s假设，那么对于恣意非负实数 ，有 ()( )sL f teF s求以下函的拉氏变换. 例6解0,()1;tu tt10,0,0,( )2 ,3 ,03 .tctaf tcatata 21 ( )L u ts1由 1 ()sL u tes得 0 ( )( )stL f tf t edt302aaststacedtcedt302aaststacceess

12、 3(12)asascees 2解法一：解法二：五、延迟性质五、延迟性质( )( )()2(3 )f tcu tcu tacu ta 可用单位阶梯函数表示为 ( )f t32asasccceesss3(12)asascees ( )( )()2(3 )L f tL cu tL cu taLcu ta所以第十二章第十二章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第二节 拉氏变换的性质第三节 拉普拉斯逆变换第四节 拉氏变换运用举例第一节 拉氏变换的概念第三节第三节 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换一、拉氏逆变换的概念二、求拉氏逆变换举例一、拉氏逆变换的概念一、拉氏逆变换的概念定义 ( )( )f tsLF假设， 那么

13、称( )f t为( ) sF的拉氏逆变换1( )( )f tsLF记作求法 1、经过拉氏变换表直接查找 2、用拉氏变换性质转换后再查表3、将象函数变形后再用上述方法拉氏变换性质的逆变换方式 111121212( )( )( )( )( )( )ssssf tf tLFFLFLF11()( )( )atatsaeF se f tLFL二、求拉氏逆变换举例二、求拉氏逆变换举例求以下象函数的逆变换 例11( )2ssF31( )(1)ssF223( )sssF243( )4sssF解1212112tteess LL11233111(1)2ttee tssLL11222323ssssLL1112224

14、343444sssssLLL112112323tss LL34cos2sin22tt二、求拉氏逆变换举例二、求拉氏逆变换举例例2解21( )(1)sssF求 的拉氏逆变换112211111(1)1ttesssss LL221(1)1ABCsssss令1;1;1.ABC 用待定系数法可求得 2111( )1ssss F故二、求拉氏逆变换举例二、求拉氏逆变换举例例3解1( )(1)(2)(3)ssssF求 的拉氏逆变换11(1)(2)(3)sssL111111161152103sssL2311161510ttteee 111,.61510ABC 用待定系数法可求得 1(1)(2)(3)123ABC

15、ssssss令二、求拉氏逆变换举例二、求拉氏逆变换举例例4解223( )25ssssF求 的拉氏逆变换1122232(1)525(1)4sssssLL11221125(1)4(1)4sssLL1122522424ttseessLL52cos2sin22ttetet5(2cos2sin2 )2tett第十二章第十二章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第二节 拉氏变换的性质第三节 拉普拉斯逆变换第四节 拉氏变换运用举例第一节 拉氏变换的概念拉氏变换运用举例拉氏变换运用举例常系数线性常系数线性微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程象函数象函数象原函数象原函数微分方程的解微分方程的解 作拉氏变换 解

16、代数方程求拉氏逆变换例1解拉氏变换运用举例拉氏变换运用举例23tyyye求微分方程 满足初始条件(0)0,(0)1yy 的特解( )( )y tsYLY设方程两边取拉氏变换，思索到初始条件，那么得 211231s YsYYs 2(1)(1)(3)sYsss解出Y,得 2(1)(1)(3)113sABCssssss令 131;488ABC 用待定系数法求得 拉氏变换运用举例拉氏变换运用举例31(32)8ttteee3131( )488ttty teee 取逆变换后得： 即为所求微分方程的解。 113111( )418183ssss Y故求微分方程组 满足初始条件200 xyxxy例2(0)0,(0)1,(0)1xxy的特解拉氏变换运用举例拉氏变换运用举例求微分方程组 满足初始条件200 xyxxy例2(0)0,(0)1,(0)1xxy的特解( )( )x tsXLX( )( )y tsYLY设解2(0)(0)2(0)0(0)0s XsxxsYyXsXxY对方程组取拉氏变换2(1)2100sXsYsXY 代入初始条件，整理得221( )1( )1