高等数学§6-4二阶线性常系数齐次微分方程ppt课件

1、第四节第四节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程一、定义一、定义二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法三、小结一、定义一、定义时当0)(xf)(xfqyypy 0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的规范方式二阶常系数齐次线性方程的规范方式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的规范方式二阶常系数非齐次线性方程的规范方式二阶常系数线性微分方程的普通方式是:称为二阶常系数线性非齐次微分方程.称为二阶常系数线性齐次微分方程；时当0)(xf二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,xey设将其代入上方程将其代入上方程, 得

2、得0)(2xeqp,0 xe故有故有特征方程特征方程,2422,1qpp特征根特征根0 qyypy02qp解就是齐次方程的两个特，那么，xxeyey21普通地，我们有线性方程解的叠加原理普通地，我们有线性方程解的叠加原理.),()()(0)()(. 121221121为任意常数其中也是它的解。的解，则微分方程是二阶常系数线性齐次和如果定理ccxycxycyqyypyxyxy ),()()(0)()(. 221221121为任意常数其中就是此方程的通解。的两个线性无关解，则微分方程是二阶常系数线性齐次和如果定理ccxycxycyqyypyxyxy 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421q

3、pp2422qpp,11xey,22xey两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为xxeCeCy2121)0( 特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xey,221p)0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为xexCCy1)(21代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqpupu, 0 u知知,)(xxu 取取,12xxey则,)(12xexuy设另一特解为特征根为特征根为)0, 022(12111qppp 有一对共轭复根有一对共轭复根,1i,2i,)(1xiey,)(2xiey)0(

4、 重新组合重新组合)(21211yyy ,cosxex )(21212yyiy,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为得由欧拉公式xixeixsincos)sin(cos1xixeyx)sin(cos2xixeyx求二阶常系数线性齐次方程的通解步骤如下：第一步：写出微分方程的特征方程第一步：写出微分方程的特征方程02qp第二步：求出特征方程的两个特征根第二步：求出特征方程的两个特征根21与第三步：根据两个根的不同情况，写出方程的通解第三步：根据两个根的不同情况，写出方程的通解.xxececy21211假设是特征方程02qp 的

5、相异210 qyypy 的通解为：实根，那么方程上一页 下一页 前往终了0 qyypy 的通解为：2假设是特征方程02qp 的两个21相等实根，那么方程xxxececy11213假设是特征方程02qp 的两个21、共轭复根，0 qyypy 的通解为：那么方程ii21,xexcxcy)sincos(21上一页 下一页 前往终了定义定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法确定其通解的方法称为特征方程法. .032的的通通解解求求微微分分方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0322解得解得, 3, 121故所求通解为故所求通解为.3

6、21xxeCeCy 例例1 1例例2求方程求方程0222 sdtdsdtsd满足初始条件满足初始条件2400 ttss、的特解。的特解。解解所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为0122其根为其根为, 121所求方程的通解为所求方程的通解为tetCCs )(21将条件将条件2400 ttss、带入上式带入上式2, 421 CC所求方程的特解为所求方程的特解为tets )24(.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522解得解得,2121i，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3四、小结四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的普

7、通步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的普通步骤:1写出相应的特征方程写出相应的特征方程;2求出特征根求出特征根;3根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表) 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 02qprr0 qyypy1. 求方程06 yyy的通解. 的通解.096 yyy2. 求方程解 此方程的特征方程为 xxececy3221062的通解为：所以，方程06 yyy0962321所求方程的通解为xexccy321)(解 此方程的特征方程为 上一页 下一页 前往终了练习3,221的通解的通解