高等数学12.1数项级数的概念和性质ppt课件

1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院第第1212章章 无穷级数无穷级数12.1 12.1 数项级数的概念及其性质数项级数的概念及其性质12.2 12.2 数项级数的收敛性判别法数项级数的收敛性判别法12.3 12.3 幂级数幂级数数项级数及其收敛性数项级数及其收敛性数项级数的根本性质数项级数的根本性质数项级数收敛的必要条件数项级数收敛的必要条件12.1 12.1 数项级数的概念和性质数项级数的概念和性质 由于式中的每一项都是常由于式中的每一项都是常数，数，定义定义1 设给定一个数列设给定一个数列 u1 , u2 , , un , ，那么表达式

2、那么表达式u1+ u2 + + un + 称为无穷级数称为无穷级数. 其中 u1 , u2 , 叫做该级数的项，un 称为普通项或通称为普通项或通项项.所以又叫数项级数，所以又叫数项级数，简称级数，简称级数，. 1 nnu并记为并记为称称 u1+ u2 + + un + = 为部分和数列，记作为部分和数列，记作Sn. 1 nnu即即,limSSnn , 1 nnu 收敛收敛则称级数则称级数 级数的和级数的和. S 称称为为,1 nnuS并并记记为为 这时也称该级数收敛于 S .假设部分和数列的极限不存在，假设部分和数列的极限不存在， 1 nnu就称级数就称级数发散发散.定义定义2假设级数假设级

3、数 的部分和数列的部分和数列 1nnu nS的极限存在，的极限存在，例例 1 试讨论级数试讨论级数的收敛性的收敛性.1111 22 31()nn试证明其发散试证明其发散. ., )1ln()( xxxf 令令,0)0( f则则由此知由此知 f (x) f (x) 为增函为增函数数. .例例2 级数级数n131211称为调和级数，称为调和级数，证证x先证一个不等式先证一个不等式xx ()1ln( . )0 xxf 111)(.0 1,31,21,1 代代入入上上式式得得令令nx )( xf即即可得可得, )0(fx)1ln(x 1) 11ln( 21)211ln( n1)11ln(n 相加得相加

4、得nSn131211 )134232ln(nn )1ln( n,时时当当 n,)1ln( n, nS所以所以 故级数故级数nn1ln34ln23ln2ln 11nn 发发散散。例例 3 试讨论等比级数试讨论等比级数a + ar + ar2 + + arn-1 + (a 0)的收敛性的收敛性.当当 r 1 时，时， 所给级数的部分和为所给级数的部分和为,11rraSnn 根据等比数列前根据等比数列前 n n 项的求和公式可知，项的求和公式可知，解解时时当当于于是是 1, r.111limlimrarraSnnnn 由定义由定义 2 知，知， 该等比级数收敛，该等比级数收敛，,1raS 其和其和即

5、即.111 nnarra, 1 时时当当 r.11limlim rraSnnnn所以这时该等比级数发散所以这时该等比级数发散.当当 r = 1 时，时，, )( nnaSn当当因此该等比级数发散因此该等比级数发散.部分和数列极限不存在，部分和数列极限不存在，故该等比级数发散故该等比级数发散.,11 nnar等比级数等比级数;1时收敛时收敛当公比当公比 r ,)1(1aaaaaSnn 当 n 为奇数，,1 时时当当 r当当 n 为偶数，为偶数，,0r当公比当公比.1时发散时发散解解 留意到留意到 1123,nn 因此，因此， nS nkkk1)3)(2(1)3121(1 kknk.3131 n1

6、23()()nn 练习练习 求级求级数数 1)3)(2(1nnn的和的和. 所以该级数的和为.31)3131(limlim nSSnnn即即.31)3)(2(11 nnn 不影不影响级响级数的收敛性数的收敛性.性质性质1 在级数的前面加上或去掉有限项，在级数的前面加上或去掉有限项，但普通将会改动收敛级数的和但普通将会改动收敛级数的和. 性质性质2 用一个非零的常数用一个非零的常数 c,1的每一项的每一项乘级数乘级数 nnu,1Sunn 且且若若.1cScunn 则则相相的的收收敛敛性性与与原原级级数数所所得得到到新新的的级级数数 11nnnnucu.同同 所得级数收敛所得级数收敛且其和等于两个

7、级数和的相加且其和等于两个级数和的相加. .性质性质3 3 两个收敛级数的对应项相加，两个收敛级数的对应项相加，, 1项项的的前前去去掉掉级级数数nunn 1nkku所所得得的的级级数数,1的余项的余项称为级数称为级数 nnu,nr记记为为即即.321 nnnnuuur, , 1 1Sunn收收敛敛于于若若级级数数可可知知由由性性质质 这是能借助级数作近似计算这是能借助级数作近似计算的根本根据的根本根据., 也必收敛也必收敛则余项则余项nr.0lim nnr且有且有这是由于这是由于,nnSSr .0)(limlim SSSSrnnnn时时替代级数和替代级数和就是用部分和就是用部分和显然显然SS

8、rnn,所产生的误差所产生的误差. ., 1的的概概念念那那么么由由其其部部分分和和收收敛敛于于若若数数项项级级数数Sunn 就有就有.1 nnnSSu于是于是.)(limlim1 nnnnnSSu.limlim,1SSSnnnn 知知依据级数收敛的定义可依据级数收敛的定义可因此这时必有因此这时必有.0lim nnu这就是级数收敛的必要条件这就是级数收敛的必要条件 ., 0lim nnu若若现实上，现实上，, 1收敛收敛如果如果 nnu,0lim nnu必必有有. 1发发散散 则则级级数数 nnu, 1收收敛敛若若数数项项级级数数 nnu定理定理那那么么. 0lim nnu这与假设这与假设. 0lim相矛盾相矛盾 nnu例例 4 试证明级数试证明级数 1ln32ln221ln1ln 1nnnnnnn.发散发散,1ln nnnun级数的通项级数的通项 证证,时时当当 n 1lnlimnnnn.1)11(1lnlim nnn.,0lim所以该级数发散所以该级数发散因为因为 nnu例例 5 试讨论级数试讨论级数.2sin1的收敛性的收敛性 nn解解 留意到级数留意到级数 010101012sin1nn,