高等数学-十三、第三节 定积分定义、换元积分法ppt课件

1、一.曲边梯形的面积 二二. .定积分的定义定积分的定义 四定积分的性质四定积分的性质第三节第三节 定积分定积分三定积分的几何意义六定积分的计算五积分上限的函数一曲边梯形的面积一曲边梯形的面积曲边梯形: 假设图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形。左以下图所示.yoxab例：计算由 所围成的曲边梯形的面积。 ( ),yf x,xaxb及 轴xyox( )yf xab如图yoxab1x2x1ix1ixix1( )yf x110 xxx1iiixxx1nnnxxx111()Afx()iiiAfxi()nnnAfx0 x1x2xa 1ixix 1i

2、xnxb01,xx12,xx1,iixx1,nnxx1nx 求和 把个小矩形面积相加，就得到曲边梯形面积A的近似值n11221( )()()( )nnniiiAfxfxfxfx01lim( ).niiiAfx1,iixx计算曲边梯形面积的详细步骤：0121nnaxxxxxb(1)分割 把区间分成个小区间， 每个小区间长度记为 , a bn1(1,2, );iiixxxin任取分点 取近似 在每个小区间 上任取 一点做高 ,那么得小曲边梯形面积 的近似值 1,iixx(1,2, )in()iiiAfxiA(3) 求和 把个小矩形面积相加，就得到曲边梯形面积A的近似值n11221( )()()(

3、)nnniiiAfxfxfxfx (4) 取极限 令小区间长度的最大值inix1max 趋于零,则和式 iniixf)(1的极限就是曲边梯形面积 A 的精确值， 即 01lim( ).niiiAfx 定义 设函数 在上延续，用 个 ( )f x , a b1n分点 012naxxxxb把 分成 , a bn个小区间 ，其长度 1,iixx1iiixxx在各小区间上任取一点 作乘积 i(),iifx并求和 1()niiifx记 12max,nxxx当 0时，假设和式的极限存在 ， 二、定积分的定义二、定积分的定义01( )dlim( )nbiiaif x xfx那么称此极限值为函数 在区间 上的

4、 ( )f x , a b定积分，记为其中称为被积函数,为被积表达式，为积分区间，分别称为积分下限和上限.( )f x( )df xxx , a b为积分变量，, a b定积分定义的阐明：112200ddxxtt( )d( )dbbaaf xxf tt普通表示为(1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：abab( )d0baf xx ab( )d( )dbaabf xxf xx ( )f x , a b( )f x , a b2 定积分的定义中要求积分限 我们补充如下规定：当时当时上的定积分存在也称可积。(3) 定积分的存在性：当 在 上延续

5、或只需有限个第一类延续点时, 在三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义01( )dlim( )nbiiaif x xfxyox( )yf xab1、当( )0f x 时，那么( )d0baf xx 此时，( )dbaf xx表示由曲线及 轴所围成的x曲边梯形的面积A( )dbaf xxA既A( ),yf x,xaxb2、当( )0f x 时，( )d0baf xx 此时，( )dbaf xx表示由曲线( ),yf x,xaxb及 轴所围成的曲边梯形面积A的负值。( )dbaf xxA 即xyAox( )yf xab3、当( )f x在 区间上有正有负， ( )dbaf xx表示由 , a b

6、( ),yf x,xaxb及 轴所围成的平面图形面积位于 轴上方x的面积减去位于 轴下方的面积。如下图xx即123( )dbaf xxAAAy1Aox( )yf xab2A3A底边在 轴上各个曲边梯形面积的代数和。x四、定积分的性质1 函数代数和的定积分等于定积分的代数和即 ( )( )dbaf xg xx2 被积函数的常数因子可提到积分号外面 即( )d( )dbbaakf xxkf xxk 为常数( )d( )dbbaaf xxg xx注：对于 ，那么，那么 , ,a b c三点的任何其他相对位置，三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立。比如abc( )caf x dx( )d( )d(

7、)dbcbaacf xxf xxf xx 仍有仍有 3 假设acb那么( )dbaf xx( )d( )dcbacf xxf xx( )( )bcabf x dxf x dx( )( )bbacf x dxf x dx , a b4 在区间上假设( )( )f xg x那么有( )d( )dbbaaf xxg xx5 积分中值定理假设函数在区间( )f x , a b( )( )()baf x dxfba上延续，那么在上至少存在一点，使 , a byox( )yf xab思索题 (1) 11dxx; (2) xxRRRd22; (3) 20sin dx x; (4) 11dxx. 1.如何表述

8、定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推证以下积分的值：五积分上限的函数当在上变化时对应于每一个值, 积分 就有一个确定的值，因此就有一个确定的值，因此 x , a bx( )xaf x dx是变上限 的一个函数，记作 ( )dxaf ttx( ) x ()axb为积分上限函数 称 ( ) xyox( )yf xabx普通地( )xaf x dx( ) x ( )xaf t dt定理 假设函数 在 区间上延续，那么积分上限函数 ( ) x ( )dxaf tt在 , a b , a b( )f x上 可导， 那么 ( ) x推论 假设函数在 上延续,那么积分上 ( )f x , a b限函数

9、( ) x ( )dxaf tt是 在 上 的一个原函数。 ( )f x , a bd( )ddxaf ttx( )d xaf tt ( )f x例1 计算( ) x 20sin dxtt在0 x ,2x 处的导数解 20dsin ddxttx( ) x20sin d xtt 2sin x(0)()22sin0 0sin422200coslimxxt dtx例 2 求以下函数的极限20limcosxx200(cos)lim( )xxt dtx1练习: 计算0( )xt xte dt在0,1xx处的导数。0( )xt xte dtxxe(0)0e(1)解 六、定积分计算定理2 设函数在闭区间上延

10、续，又 是的任一个原函数，那么有( )f x , a b( )F x( )f x( )d( )( )baf xxF bF a上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分根本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式： ( )d( )( )( )bbaaf xxF xF bF a例1( )d( )( )( )bbaaf xxF xF bF a221x dx32113x331(21 )373例2cos0 x (coscos0) 20sin xdx例320(3sin )xx dx23(cos ) 220 xx23 ()cos2 22231823 (0)cos02例4 2211d()xxx22211(2)d

11、xxx321(2)13xxx321(2 2)32 54611(2 1)31 例52205sin xdx2015(12 )2cos x dx55sin2222400 xx55sin22454例62312d(1)xxx2312212d()1 ()xx23122arcsinx212(arcsinarcsin)32231211x1dxx1211xx dx022111(1)2x dx01221011xx dxxx dx 320211(1)3x23例7122011(1)2x dx321201(1) 3x 22011xdxx练习222200111xdxdxxx2222200111(1)211d xdxxx2

12、2221ln100 xxx51 ln 25 定积分的换元积分法定理1 函数 在区间 上延续； ( )f x , a b2 函数 在区间 是单值( )xt , 函数，且有延续导数； 3 当 在区间 上变化时， t , ( )xt的值在 上变化，且 , a b( ),( )ab 那么有定积分的换元积分公式 ( )d ( ) ( )baf xxftt dt例8401dxx设xt2xt2dxtdt00 xt42xt401dxx2021tdtt解2012(1)d1tt202ln(1)tt4ln2例9ln20e1dxx设0 x e1xt 2e1xt2ln(1)xt221tdxdttln2x 1t 0t 1

13、2021ttdtt当时，当时，ln20e1xdx12012(1)1dtt102(arctan )tt22例101201dxx设sinxtcosdxtdt0 x 1x 2t0t 当时，当时，220cos tdt1201dxx201(1+cos2t)dt2220011dtcos2tdt22201cos2td2t441sin2t 24401(sinsin0)44430211xdxx练习2112txxtdxtdt设0 x 3x 2t 1t 当时，当时，30211xdxx2212(1) 12ttdtt221(46)tdt103例10 设 在区间上延续,试证明 ( )f x, a a02( )d( )d0

14、aaaf xxf xx由于 00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx当 为偶函数时 ( )f x当 为奇函数时 ( )f x证0( )daf xx对 作变量代换 设 xt dxdt 0( )daf xx0()aft dt ()aoft dt()aofx dx00( )d()d( )daaaaf xxfxxf xx0 ()( )dafxf xx()( )fxf x假设 为偶函数即 ( )f x0( )d2( )daaaf xxf xx()( )fxf x 假设 为奇函数即 ( )f x( )d0aaf xx该题几何意义是很明显的，如图所示该题几何意义是很明显的，如图所示: :

15、 O a x y -a O a a x y 练习题10dxex1221dxexx1321d(11 5 )xx1ln dexx x2205sindx x2201d1xxx20sindx dxdx78325425sin(21)xxdxxx212ee77221(1)4e 5451 ln(25) 700答案例secxatsec tandxattdtxa0t 2xa3t设当时时当2224daaxaxx2224daaxaxx3440tansec tan dsecatatt tat23201sincos dtt ta23201sin d(sin )tta21a2224daaxaxx3440tansec tan dsecatatt tat330s