数字图像处理(冈萨雷斯)-4_Fourier变换与频域介绍(DIP3E)

1、第第4章章频率域滤波频率域滤波图像的频域分析图像的频域分析l频率域滤波频率域滤波l频率域平滑（低通）滤波器频率域平滑（低通）滤波器l频率域锐化（高通）滤波器频率域锐化（高通）滤波器4.1 背景知识背景知识将空域中的信号（图像）变换到另外一个域（频域），即使将空域中的信号（图像）变换到另外一个域（频域），即使用该域中的一组用该域中的一组单位正交基函数单位正交基函数（相同基函数内积为（相同基函数内积为1 1，不，不同基函数的内积为同基函数的内积为0 0）的）的线性组合线性组合来表示任意函数来表示任意函数使用这组基函数的线性组合得到任意函数使用这组基函数的线性组合得到任意函数f f，每个基函数的，每

2、个基函数的系数就是系数就是f f与该基函数的内积与该基函数的内积使图像处理问题简化；使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解；有助于从概念上增强对图像信息的理解；l图像变换通常是一种图像变换通常是一种。一般要求：一般要求： 1. 1. 正交变换必须是可逆的；正交变换必须是可逆的； 2. 2. 正变换和反变换的算法不能太复杂；正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 3. 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像率成分上，边缘、线状

3、信息反映在高频率成分上，有利于图像处理处理因此因此广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面像压缩编码和形状分析等方面4.2 傅里叶变换傅里叶变换(一种正交变换一种正交变换)从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数（正、余弦函数）来处理的。从物理效为一系列周期函数（正、余弦函数）来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域为什么要在频率域研究图像为什么要在频率域研究图像? 可以利用可以利用。一些

4、在空。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现图像的频率指什么？图像的频率指什么？ 是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是是表征图像

5、中灰度变化剧烈程度的指标，是。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。 u傅里叶变换及其反变换傅里叶变换及其反变换u傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质u快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（FFT）一维傅里叶变换对一维傅里叶变换对l一维连续函数一维连续函数 的傅里叶变换对定义为的傅里叶变换对定义为( )f x2( )( )( )(4.216

6、)juxjxF uf x edxf x edx2( )( )( )(4.217)ujxjxf xF u eduFed离散形式（离散形式（DFT）：）：2100,1,2,11( )( ),(4.46)0,1,2,1MMjuxxxMF uf x eMuM 2100,1,2,1( )( ),(4.47)0,1,2,1MjuxuMxMf xF u euM 1(4.413)uM x 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的极坐标表示傅里叶变换的极坐标表示 幅度或频率谱为幅度或频率谱为 相角或相位谱为相角或相位谱为22( )( )( )F uRuIu( )( )arctan( )I uuR u 功率谱（谱密度）为

7、功率谱（谱密度）为 222( )( )( )( )P uF uR uIu ( )( )( )( )( )(4.21)uF uF u eR ujI u 4.5.5二维傅里叶变换对二维傅里叶变换对一一二维离散函数二维离散函数 的傅里叶变换对的傅里叶变换对定义为：定义为：( , )f x y11()0020,1,2,1( , )( , ),(4.515)0,1,2,1uxvyMNjMNxyuMF u vf x y evN 11()0020,1,2,11( , )( , ),(4.516)0,1,2,1uxvyMNjMNuvxMf x yF u v eMNyN 注：注：u u和和v v是图像的频率变量

8、，是图像的频率变量，x x和和y y是图像的空域变量是图像的空域变量11001(0,0)( , )( , )(4.621)MNxyFMNf x yMNf x yMN 这说明：这说明：在原点的傅里叶变换和图像的在原点的傅里叶变换和图像的平均灰度成正比平均灰度成正比直流份量直流份量(0,0)( , )(4.622)FMN f x y 谱谱的的最最大大分分量量4.6 二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质4.6.1 空间域抽样间隔和频域间隔之间的关系：空间域抽样间隔和频域间隔之间的关系：1(4.61)uM x 1(4.62)vN y 4.6.2 傅里叶变换对的平移和旋转性质：傅里叶变换对的

9、平移和旋转性质：00002 ()002 ()00( , )(,)(4.63)(,)( , )(4.64)ju x M v y NjuxM vyNf x y eF uu vvf xxyyF u v e 002()()00,( 1)22ju x Mv y NjxyxyMNuvee 当时，( , )( 1)(2,2)(4.68)(2,2)( , )( 1)x yu vf x yF uMvNf xMyNF u v 旋转特性：旋转特性：得到得到引入极坐标引入极坐标cos ,sin ,cos ,sinxryruv00( ,)( ,)(4.65)f rF 原图像及其原图像及其傅里叶变换傅里叶变换旋转后图像及

10、旋转后图像及其傅里叶变换其傅里叶变换4.6二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质4.6.3 周期性：周期性：F u, v F u M , v F u, v N F u M , v N f x, y f x M , y f x, y N f x M , y N 上述公式表明上述公式表明尽管尽管F(u,v)F(u,v)对无穷多个对无穷多个u u和和v v的值重复出现，但的值重复出现，但只需根据只需根据在任一个周期里的在任一个周期里的N N个值就可以从个值就可以从F(u,v)F(u,v)得到得到f(x,y)f(x,y)只需一个周期里的变换就可将只需一个周期里的变换就可将F(u,v)F(u,

11、v)在频域里完全确定在频域里完全确定同样的结论对同样的结论对f(x,y)f(x,y)在空域也成立在空域也成立( , )( 1)(,)(4.68)22xyMNf x yF uv 说明：（说明：（4.64.68 8）将）将F(u,v)F(u,v)的原点的原点(0,0)(0,0)变换到频率坐标下的变换到频率坐标下的(M/2(M/2，N/2)N/2)，它是，它是M MN N区域的中心（区域的中心（M M、N N为偶数）。这样，在区域为偶数）。这样，在区域0,M-0,M-1(0,N-1)1(0,N-1)内就包含了数据的一内就包含了数据的一个完整周期。（见图个完整周期。（见图4.23 (c)4.23 (c

12、)、(d)(d)） 的原点变换：的原点变换：( , )F u v4.6二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质( )( 1)()2xMf xF u 说明：上式将说明：上式将F(u)F(u)的原点变换到的原点变换到 (M/2)(M/2)处。这样，在区间处。这样，在区间0,M-10,M-1内就包含了数据的一个完整周期。内就包含了数据的一个完整周期。（见图（见图4.23 (a)4.23 (a)、(b)(b)）4.23图图( )a( )b( )c( )d4.6二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质4.6.4 对称性：对称性：共轭对称性共轭对称性l l共轭对称共轭对称（实部相等实部相等

13、, ,虚部互为相反数虚部互为相反数）的，即的，即l l傅里叶变换的频率谱是关于原点偶对称的傅里叶变换的频率谱是关于原点偶对称的( , )(,)(4.614)F u vFuv ( , )(,)(4.619)F u vFuv 如果如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是实函数，它的傅里叶变换是是l复习：当两个复数实部相等复习：当两个复数实部相等, ,虚部互为相虚部互为相反数时反数时, ,这两个复数叫做互为共轭复数这两个复数叫做互为共轭复数. .4.6二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质 其他性质：其他性质：尺度变换（缩放）及线性性尺度变换（缩放）及线性性1( , )( , )(,)(

14、,)|af x yaF u vf ax byF u a v bab ( , )( , )( , )( , )af x ybg x yaF u vbG u v 线线性性性性：a)Image A;b)Image B;c)0.25 * A + 0.75 * Ba)spectrum A;b)spectrum B;c)0.25 * A + 0.75 * B4.6二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质4.6.5二维傅里叶谱和相角：二维傅里叶谱和相角： 幅度或幅度或为为 相角或相角或为为22( , )( , )( , )(4.616)F u vRu vIu v ( , )( , )arctan(4

15、.617)( , )I u vu vR u v 功率谱为功率谱为 222( , )( , )( , )( , )(4.618)P u vF u vRu vIu v ( , )( , )( , )( , )( , )(4.615)ju vF u vF u v eR u vjI u v 二维傅里叶变换的极坐标表示二维傅里叶变换的极坐标表示4.6二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质4.6.6二维卷积定理：二维卷积定理：大小为大小为MN的两个函数的两个函数f(x,y)和和h(x,y)的离散（循环）卷积的离散（循环）卷积卷积定理卷积定理1100( , )( , )(, ) (,)(4.623

16、)MNmnf x yh x yf m n h xm yn ( , )( , )( , )( , )(4.624)( , ) ( , )( , )( , )(4.625)f x yh x yF u v H u vf x y h x yF u vH u v 代代表表“循循环环卷卷积积”计算空间循环卷积计算空间循环卷积 时，要对图像补时，要对图像补0 0以使进行卷以使进行卷积运算的两图像尺寸相同。积运算的两图像尺寸相同。( , )( , )f x yh x y( , ):,( , ):,1,1f x yABh x yCDPACQBD设设( , )0,1,0,1( , )(4.627)0 , ,P Q

17、f x yxAyBfx yxA PyB Q 补补零零：( , )0,1,0,1( , )(4.628)0 ,P Qh x yxCyDhx yxC PyD Q 4.6二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质二维相关定理：二维相关定理：大小为大小为MN的两个函数的两个函数f(x,y)和和h(x,y)的相关系数：的相关系数：相关定理相关定理*1100( , )( , )(, ) (,)MNmnff x yh x yfm n hmfxfyfn 表表示示 的的复复共共轭轭，对对实实函函数数（图图像像）有有：*( , )( , )*( , )( , )( , ) ( , )( , )( , )f

18、x yh x yFu v H u vfx y h x yF u vH u v 代代表表求求“相相关关系系数数” ( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )f x yh x yifft conj F u vH u vf x yh x yifft F u vH u v l自相关理论自相关理论注：复数和它的复共轭的乘积是复数模的平方注：复数和它的复共轭的乘积是复数模的平方222( , )( , )( , )( , )( , )f x yf x yF u vRu vIu v 2( , )( , )( , )f x yF u vF u v l l卷积和相关性理论总结

19、卷积和相关性理论总结卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴趣的物体区域相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴趣的物体区域例例f(x,y)f(x,y)是原始图像，是原始图像， h(x,y)h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板）作为感兴趣的物体或区域（模板）如果匹配，两个函数的相关值会在如果匹配，两个函数的相关值会在h h找到找到f f中相应点的位置上中相应点的位置上达到最大达到最大( )( )()( )f xh xfxh x 相关性匹配举例相关性匹配举例( , ):256 256f x y( , ):38 42h x

20、 y( , ):298 298f x y延拓图像延拓图像f(x,y)f(x,y)延拓图像延拓图像h(x,y)h(x,y)( , )( , ):298 298f x yh x y两个大小不等的图像作两个大小不等的图像作循环卷积或相关运算时，循环卷积或相关运算时，需先将两图像进行周期需先将两图像进行周期延拓后再运算！延拓后再运算！例：例：f(x,y): AB h(x,y): CD延拓周期：延拓周期：x方向：方向：P=A+C-1y方向：方向：Q=B+D-1l频域计算卷积的框图频域计算卷积的框图( , )( , )( , )P QA BC Dgx yfx yhx y ( , ):f x yA B( ,

21、 ):h x yCD:fP Q:h P QDFTDFT1PAC1QBD1PAC1QBD周期延拓周期延拓( , )F u v( , )H u v( , )( , )F u v H u vIDFT( , ):g x yP Q( , ):f x yA B( , ):h x yCD:fP Q:h P QDFTDFT1PAC1QBD1PAC1QBD周期延拓周期延拓( , )F u v( , )H u v*( , )( , )F u v H u vIDFT( , ):R x yP Q*( , )F u v l频域计算相关的框图频域计算相关的框图( , )( , )( , )P QA BC DRx yfx

22、yhx y ( , )( , )( , )( , )f x yh x yifft conj F u vH u v ( , )( , )( , )( , )f x yh x yifft F u vH u v4.11 二维二维DFT的实现的实现4.11.1二维二维DFT的可分离性：的可分离性：212211000( , )(4.( , )111)NMMjuxjuxjvyNMMxxyeF x vF u vee沿着沿着f(x,y)f(x,y)的一行所的一行所进行的傅里叶变换。进行的傅里叶变换。 先通过先通过沿沿输入图像的输入图像的每一行计算一维变换每一行计算一维变换再沿再沿中间结果的中间结果的每一列计算

23、一维变换每一列计算一维变换可以改变上述顺序，即先列后行可以改变上述顺序，即先列后行上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换4.11 4.11 二维二维DFTDFT的实现的实现4.11.2 用用DFT计算计算IDFT：( , )F u v*( , )Fu v( , )f x y * *DFT1MN*( , )DFT F u v*( , )DFT F u v 11*2 ()*00( )( , )( , )(4.113)MNjux Mvy NuvMNfxFu v eDFT Fu v *1( , )( , )f x yDFT Fu vMN 图像傅立叶变换的物理意

24、义图像傅立叶变换的物理意义傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由点，则图像可由z=f(x,y)z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由因此空间中物体在另一个维度上的关系就由来表示，这样我们可以来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提及梯度？通过

25、观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提及梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶我们看我们看到的到的，也叫该点，也叫该点(u,v)(u,v)的频率的大小（可以这么理解，图像中的的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这

26、样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图就可分析原始图像中灰度的变化情况。功率图就可分析原始图像中灰度的变化情况。例例4.2,log 1,l,og 1D u vF u vKD u vK F uFvvu谱图象就是把作为亮度显示出来：。人的视觉可分辨灰度有限：实用公式常用 系数调整：xy( , )( , )f x yx y ( )auv( , )( , )D u vu v ( )b从谱图像中可看出：从谱图像中可看出： 图像的能量分布。如果图像的能量分布。如果，那么那么（因为（因为各点与邻域灰度差异都不大，梯度相对较小），反之，各点与邻

27、域灰度差异都不大，梯度相对较小），反之，那么那么，边界分明且边界两边像素差异较大的。边界分明且边界两边像素差异较大的。图像的频谱分布。频谱移频到显示屏中心后，图像的图像的频谱分布。频谱移频到显示屏中心后，图像的频谱频谱分布是分布是以中心为圆以中心为圆心，对称分布心，对称分布的。的。频谱移中的好处频谱移中的好处 对频谱移频到显示屏中心以后，可以看出图像的频谱分布对频谱移频到显示屏中心以后，可以看出图像的频谱分布是以中心为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可是以中心为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频谱分布以外，还有一个好处，它以清晰地看出图像频谱分布以外，还有一个好处，它，比如正弦干扰，一副带，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰的图像，移频到中心的频谱图上可以看出除了有正弦干扰的图像，移频到中心的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，中心以外还存在以某一点为中心，对称