数列极限数学归纳法 等差等比数列综合问题

1、数列、极限、数学归纳法·等差、等比数列综合问题·教案  教学目标1熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题2突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力教学重点与难点1用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识、从本质上掌握公式2解决应用问题时，分清是等差数列问题，还是等比数列问题；分清an和Sn，数清项数n教学过程设计（一）复习师：这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、数比数列的综合问题（请学生叙述公式的内容并写在黑板上）生甲：等差、等比数列的通

2、项公式分别是an=a1+（n-1）d，an=a1qn-1生丙：等比数列的前n项和公式要分成q=1和q1两种情况来表示，即生丁：如果m，n，p，q都是自然数，当m+n=p+q时，那么在等差数列中有：am+an=ap+aq，在等比数列中有：am·an=ap·aq师；在上述公式中，涉及到a1，n，d（q），an，Sn五个量，运用方程思想，已知其中三个量，就可以求另外两个量（二）等差、等比数列中方程思想的应用例1  有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数师：这是一道等差、等比数列的综

3、合问题，同学们应认真审题，然后做出分析生甲：题目中给出了四个条件，可设这四个数分别为x，y，m，n，然后列出四个方程解此四元二次方程组即可求得四个数生乙；设四个未知数太麻烦，可以由前三个数成等差数列，设前三个数分别为a-d，a，a+d，第四个数为16-（a-d），列出两个方程：解此方程组即可求出四个数师：看来解决这个问题的最好方法就是列方程组了，要使列出的方程组简单易解，关键在于如何设未知数aq，这样列出的方程组为师：方程组和都是二元二次方程组，运算量差不多，设未知数的思路也是异曲同工的，都是直接应用已知条件如果大家换个角度想问题，设未知数还会有什么方法？教师可将学生说的方法列在黑板上，以便学

4、生进行比较生：如果设这四个数为x，y，12-y，16-x，那么列出的方程组为学生的积极性已经调动了起来，大家纷纷表示第四种设、列方法是最理想的解法如下：解：设四个数分别为x，y，12-y，16-x，则由（1）得：x=3y-12（3）代入（2）得：y2-13y+36=0解得y=4或y=9，分别代入（3）得：x=0或x=15所以所求四个数分别为：0，4，8，16或15，9，3，1师：运用方程思想解决等差、等比数列问题，可以分成三个步骤：设未知数；列方程；解方程此题通过已知条件和未知数x，y之间的关系，间接设第三个数为12-y，第四个数为16-x，由于未知数设的巧妙，从而减少了运算量（三）抓住基本量

5、，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键例2  已知公差不为零的等差数列an和等比数列bn中，a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an=logabn+b成立若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由师：这道题涉及到两个数列an和bn之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究an，bn的性质，应该先抓住数列中的什么量？生：由于an是等差数列，bn是等比数列，所以应该先抓住基本量a1，d，q，由已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，可以列出方程组解出d，q，贝an，bn就确定了师：如果an和bn确定了，那

6、么an=logabn+b就可以转化成含有a，b，n的方程，如何判断a，b是否存在呢？生：如果通过含有n，a，b的方程解出a和b，那么就可以说明a，b存在；如果解不出a和b，那么解不来的原因也就是a和b不存在的理由师：分析得很好让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？解：设等差数列an的公差为d（d0），等比数列bn的公比为解得：d=5，q=6所以an=5n-4而bn=6n-1，若存在常数a，b，使得对一切自然数n，都有an=logabn+b成立，即5n-4=loga6n-1+b，即5n-4=（n-1）loga6n-1+b，即（loga6-5）n+（b-loga6+4）=0对任意nN

7、+都成立有an=logabn+b成立师：本题的关键是抓住基本量：首项a1和公差d，公比q，因为这样就可以求出an和bn的表达式an和bn确定了，其它的问题就可以迎刃而解（四）运用等差数列和等比数列的相关知识解决应用问题例3  某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年，第二年，第三年分别比原计划产值多10万元，10万元，11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值师：对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解请学生读题，并逐句分析已知条件生甲：由每一年比上一年

8、增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S3=300，即如果设原计划三年的产值分别为：x-d，x，x+d则x-d+x+x+d=300生乙：由产值增长的百分率相同，可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x-d+10，x+10，x+d+11则（x+10）2=（x-d+10）（x+d+11）师：甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x，d（板书如下）解：设原计划三年的产值为x-d，x，x+d，则实际三年产值为x-d+10，x+10，x-d+11由得，x=100代入得d=10x-d=90，x+d=110答：原计划三年的产值分别为90万元，

9、100万元，110万元师：等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清an和Sn，抓住基本量a1，d（q），再调用有关的概念和公式求解（五）准确辨别数学符号，提高分析问题和解决问题的能力例4 已知数列an是公差不为零的等差数列，数列akn是公比为q的等比数列，且k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+kn的值师：题目中数列akn与an有什么关系？生：数列akn中的项是以数列an中抽出的部分项师：由已知条件k1=1，k2=5，k3=17可以知道等差数列an中的哪些项成等比数

10、列？生：a1，a5，a17，成等比数列师：要求的k1+k2+k3+kn的值，实质上求的是什么？生：实质上就是求数列kn的前n项和师：要求kn的前n项和，就要确定数列kn的通项公式应该从哪儿入手？师：a5，a1要由等差数列an的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d和a1了生：如果设等差数列an的公差为d，那么a5=a1+4d，a17=a1+16d，由于a1，a5，a17，成等比数列，则有（a1+4d）2=a1（a1+16d），从而an应该可以求出了师：请同学们把刚才的分析整理出来（教师板书如下）解：设数列an的公差为d，d0，则a5=a1+4d，a17=a1+16d因a1，a5，a1

11、7，成等比数列，则（a1+4d）2=a1（a1+16d），即2d2=a1d又d0，则a1=2d所以an=a1+（n-1）d=2d+（n-1）d=（n+1）d又akn=（kn+1）d，则2d·3n-1=（kn+1）d由d0，知kn=2·3n-1-1（nN+）因此k1+k2+k3+kn=2·30-1+2·31-1+2·32-1+2·3n-1-1=2（30+31+32+3n-1）-n=3n-n-1师：此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的（六）小结

12、等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d（q），充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒（七）补充作业1  公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是    A1                B2      &#

13、160;            C3                 D42  若等差数列an的首项为a1=1，等比数列bn，把这两个数列对应项相加所得的新数列an+bn的前三项为3，12，23，则an的公差与bn的公比之和为    A-5    &

14、#160;       B7                 C9                     D143  已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a9成等

15、比数列，4  在等差数列an中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25=114，求成等比数列的这三个数5  设数列an是首项为1的等差数列，数列bn是首项为1的等比数列cn的通项公式与前n项和公式6  某工厂四年来的产量，第一年到第三年每年增长的数量相同，这三年总产量为1500吨，第二年到第四年每年增长的百分数相同，这三年总产量为1 820吨，求这四年每年的产量各是多少吨？作业答案或提示1C  2C解得a1=38，d1=0或a2=2，d2=4所以三个数为38，38，38，或2，14，965设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q则6设前三年产量依次为a-d，a，a+d，则a-d+a+a+d=1 500，解解得d=100所以四年产量依次为400，500，600，720吨课堂教学设计说明数学教学不仅要使学生获得数学知识，更重要的是通过知识的获得过程来发展学生的思维能力这节课是与前面所学知识密切联系的，侧重于等差、等比数列有关知识的综合运用，这就要求教师准确把各个知识点，因为知识点是获取知识的量的基本保证，在此基础上帮助学生建立良好的知识结