数值分析第二次作业

1、解：根据题目要求，编写相应算法的matlab程序，求解结果如下（求解精度为0.00001，最大迭代次数10000）图1 三种方法解对比图1、 方程的解：如下图所示其中红色线是Gauss_Sedel迭代法所求解的分布，黄色线共轭梯度法所求解的分布，蓝色线是最速下降法所求解的分布。图2 最速下降算法收敛特性图3 Gauss_Sedel算法收敛特性图3 共轭梯度算法收敛特性（1）从图中可以看到，在相同的最大迭代次数和预设求解精度的条件下，共轭梯度算法仅需要5次迭代就能求出方程组的解，耗时0.001068秒，求解精度为0.000001375108745；最速下降法需要迭代2588次才能达到相应精度范围

2、，耗时0.005251秒，求解精度为0.000009988923；Gauss_Sedel算法需要迭代968次达到相应的精度范围，耗时0.001302秒，求解精度为0.0000099928165。其中共轭梯度算法求解速度最快，迭代次数最少且精度最高，Gauss_Sedel算法迭代次数远小于最速下降算法，但其求解精度稍小于最速下降法。（2）为了进一步探究三种算法的特性，取精度为0.0001，再次比较三种算法的特性。最速下降算法、Gauss_Sedel算法和共轭梯度算法分别耗时0.007475秒、0.00195秒、0.001480秒；迭代次数分别为398次、465次、4次；精度分别为0.000099

3、3773356、0.0000997415800、0.000039764696674。此时仍旧是共轭梯度算法最优，但是此时最速下降算法却优于Gauss_Sedel算法但差距不大。（3）接下来取精度为0001，比较三种算法特性。最速下降算法、Gauss_Sedel算法和共轭梯度算法分别耗时0.001618秒、0.001473秒、0.000824秒；迭代次数分别为96次、86次、4次；精度分别为0.000994311565196、0.000965569337096、0.000039764696674。此时仍旧是共轭梯度算法大幅度优于另外两种算法，但此时Gauss_Sedel算法稍优于最速下降算法，差

4、距不大。在求解精度为0.00001，最大迭代次数10000条件下，三种算法具体的解为：最速下降算法：X= 0.950662082138357 0.974295876768521 1.005656270680240 1.028751762773389 1.0423586100285361.008567958184437 0.992604203400630 0.975658907325424 Gauss_Sedel算法：X= 0.983350937419313 1.200001063891104 0.729923465833249 0.836779561471914 0.9826337758233

5、47 1.080047756658904 共轭梯度算法：X= 0.983350937419313 1.027078401878105 0.977623373400489 1.020473865018369 1.009203108635403 0.999772406052047 0.988443827495926 0.976094192494137 0.962844741652360 附录：matlab程序：主程序：clc;clear;A=hilb(16);%生成希尔伯特系数矩阵b=2877/851;3491/1431;816/409;2035/1187; 2155/1423;538/395;1

6、587/1279;573/502; 947/895;1669/1691;1589/1717;414/475; 337/409;905/1158;1272/1711;173/244;%右端向量M=10000;err=0.001;x1,n1,xx1,jingdu1=ZSXJ(A,b,err,M);%最速下降法求解tic;x2,n2,xx2,cc2,jingdu2=gauss_seidel(A,b,err,M);%gauss_seidel求解toc;tic;x3,n3,xx3,jingdu3=con_grad(A,b,err,M);%共轭梯度法求解toc;tic;x4,n4,xx4,jingdu4=

7、bicg(A,b,err);%matlab内置双共轭梯度求解toc;%计算相应结果，用于作图num=1:16'jie=num,x1,x2,x3%三者方法解对比%三者迭代次数num1=1:n1'fit1=num1,jingdu1'num2=1:n2'fit2=num2,jingdu2'num3=1:n3'fit3=num3,jingdu3'子程序：最速下降算法：function x,n,xx,jingdu=ZSXJ(A,b,eps,M);%×îËÙϽµ

8、83;¨Çó½âx0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);x=x0+r0*t0;r=b-A*x;xx(:,1)=x;k=0;while norm(r)>eps r=r; x=x; t=r'*r/(r'*A*r); x=x+r*t; r=b-A*x; k=k+1; xx(:,k+1)=x; if k>=M disp('µü´ú´ÎÊýÌ

9、1;¶à¿ÉÄܲ»ÊÕÁ²'); break; end n=k; jingdu(k)=norm(r);endendGauss_Sedel算法：functionx,n,xx,cc,jingdu=gauss_seidel(A,b,err,M)for ii=1:length(b) if A(ii,ii)=0 x='error' break; endendD=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)U;c

10、c=vrho(B);%µü´ú¾ØÕóÆհ뾶FG=(D-L)b;x0=zeros(length(b),1);x=B*x0+FG;k=0;xx(:,1)=x;while norm(A*x-b)>err x0=x; x=B*x0+FG; k=k+1; xx(:,k+1)=x; if k>=M disp('µü´ú´ÎÊýÌ«¶

11、à¿ÉÄܲ»ÊÕÁ²'); break; end n=k; jingdu(k)=norm(A*x-b);endend共轭梯度算法：function x,n,xx,jingdu=con_grad(A,b,eps,M);%¹²éîÌݶȷ¨Çó½âx0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;p0=r0;t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);x=x0+r0*t0;r=b-A*x;xx(:,1)=x;k=0;x=x0;r=r0;p=p0;while norm(r)>eps r=r; x=x; p=p; afa=r'*r/(p'*A*p); x1=x+afa*p; r1=r-afa*A*p; beta=r1'*r1/(r'*r); p1=r1+beta*p; x=x1; p=p1; r=r1; k=k+1; xx(:,k)=x; if k>=M disp