第四讲椅子放稳模型

1、 在日常生活中，将一张在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，平的地面上， 通常只有三只通常只有三只脚着地脚着地,而使椅子不平稳。但而使椅子不平稳。但我们的祖先为什么把都把椅我们的祖先为什么把都把椅子做成四脚连线呈正方形子做成四脚连线呈正方形 ，矩形或等腰梯形。请你通过矩形或等腰梯形。请你通过建立模型解释这一现象。建立模型解释这一现象。 一、问题重述一、问题重述 在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。我们的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。我们通

2、过建立模型分别解决以下问题：通过建立模型分别解决以下问题： 1 1解释只需适当将椅子解释只需适当将椅子“挪动挪动”几次就可使椅子放几次就可使椅子放稳这一现象；稳这一现象； 2 2如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的当的“挪动挪动”能够放稳吗？能够放稳吗？ 3 3椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳？最后对模型进行了分析和推广。放稳？最后对模型进行了分析和推广。 二、模型假设二、模型假设 为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设：为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设： 1 1椅子四条腿

3、一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形； 2 2地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；学上的连续曲面； 3 3相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地； 4

4、4挪动仅只是绕一个定点的旋转。挪动仅只是绕一个定点的旋转。 假设假设1 1显然是合理的。否则显然是合理的。否则即便放在平面上也不会是椅子放即便放在平面上也不会是椅子放稳。稳。 假设假设2 2相当于给出了椅子能相当于给出了椅子能够放稳的必要条件，因为如果地够放稳的必要条件，因为如果地面高度不连续（比如在有台阶或面高度不连续（比如在有台阶或裂缝的地方）是无法使椅子四只裂缝的地方）是无法使椅子四只脚同时着地。脚同时着地。 假设假设3 3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使

5、连续变化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。 首先，根据假设首先，根据假设1 1， 椅脚连线椅脚连线呈正方形呈正方形, ,而正方形以中心为对称而正方形以中心为对称, ,即正方形绕中心的旋转可以表示椅即正方形绕中心的旋转可以表示椅子位置的改变，于是可以用旋转角子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。如图度这一变量表示椅子的位置。如图1 1，椅脚连线为正方形，椅脚连线为正方形ABCD，在图，在图1 1所示的坐标系下对角线所示的坐标系下对角线AC与与ox轴轴重合重合, ,椅子绕中心椅子绕中心o o 旋转角度旋转角度 后后, ,正方形正方形 转至的

6、位置，如图转至的位置，如图2 2所示，即对角线所示，即对角线AC与与ox轴的夹角轴的夹角表示了椅子的位置。表示了椅子的位置。DCBAxBADCOD C B A 正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转 其次，要把椅子着地用其次，要把椅子着地用数学符号表示出来。如果用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的某个变量表示椅脚与地面的竖值距离，那么当这个距离竖值距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅为零时就是椅脚着地了。椅子在不同的位置时，椅脚与子在不同的位置时，椅脚与地面的距离不尽相同，所以地面的距离不尽相同，所以这个距离是变量这个距离是变量 的函数。的函数。 虽然椅子有四只脚，因而有

7、四个距离，即每一个椅虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，即每一个椅脚和地面都有一个距离。但由假设脚和地面都有一个距离。但由假设3 3以及正方形关于中心以及正方形关于中心的对成性，只要设两个距离就可以了。设的对成性，只要设两个距离就可以了。设A、C两脚与地两脚与地面的距离之和为面的距离之和为f( ) ，B、D两脚与地面的距离之和为两脚与地面的距离之和为g( ), , 显然显然f( ) 、 g( ) 0。由假设。由假设2 2知知f( ) 、 g( )都是都是连续函数。在由假设连续函数。在由假设3 3知，椅子在任何位置上至少有三只知，椅子在任何位置上至少有三只脚着地，所以对于任意的脚着地，所以对于任意

8、的 ， f( ) 、 g( )中至少有一个中至少有一个为零。当为零。当 = 0 时，不妨设时，不妨设f( ) 0、 g( ) = 0。另一方面，。另一方面，由对称性知道，旋转由对称性知道，旋转/2/2的角度后，相当于的角度后，相当于AC和和BD互互换一个位置换一个位置. .故有故有f(/2)=0 ，g(/2)0，这样，改变椅子这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下数学命题。位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下数学命题。 命题命题1 1 已知已知f( )和和g( )是是 的连续函数，对任意的的连续函数，对任意的 ，有，有f( ) g( )=0 ，且且 f(0 )0 、 g(0)=

9、0， 、 ，则存在则存在 ，使得，使得f( 0 )= g( 0 ) =0 .()02f ()02g 00 ,2 可以看到，可以看到， 引入变量引入变量 和和函数函数 f( ) 、 g( ) ， 就把模型的就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论假设条件和椅脚同时着地的结论用简单而精确的数学语言表示出用简单而精确的数学语言表示出来，从而构成了这个实际问题的来，从而构成了这个实际问题的数学模型。数学模型。 令令h( )= f( )g( )，则，则h(0)0和和h( /2)0 、 g(0) =0 ， f( )=0 、 g( ) 0 ， 则存则存在在 0， , 使得使得f( 0 )= g( 0 ) =0

10、 。 3. 3. 模型的进一步分析与推广模型的进一步分析与推广 由于正方形和矩形的任意一个顶点通过适当的旋转，由于正方形和矩形的任意一个顶点通过适当的旋转，可到达每一个顶点，即就是说正方形和矩形的四个顶点可到达每一个顶点，即就是说正方形和矩形的四个顶点绕其中心旋转一周所得轨迹是同一个圆周。这也就是正绕其中心旋转一周所得轨迹是同一个圆周。这也就是正方形和矩形的四个顶点共圆，可通过适当的旋转将椅子方形和矩形的四个顶点共圆，可通过适当的旋转将椅子放平稳。那么，椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接放平稳。那么，椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，是否一定可通过适当的旋转可将椅子放平稳？四边形，是否

11、一定可通过适当的旋转可将椅子放平稳？反之，通过适当的旋转可将椅子放平稳，椅子四脚连线反之，通过适当的旋转可将椅子放平稳，椅子四脚连线是否一定是圆内接四边形？是否一定是圆内接四边形？ 我们先看一个实例，设地面为一个足够大的球面部分，我们先看一个实例，设地面为一个足够大的球面部分，其方程为其方程为：2222(10000)10000 (10000)xyzz 椅子四只脚构成一菱形椅子四只脚构成一菱形ABCD，对角线的长度分别为，对角线的长度分别为AC=8，BD=6。根据球面的特点，要使得菱形根据球面的特点，要使得菱形ABCD的顶的顶点至少有三个在球面上，则其三个顶点必在同一个圆上。点至少有三个在球面上

12、，则其三个顶点必在同一个圆上。不妨取菱形不妨取菱形 ABCD 所在的平面与球面的截痕及菱形，在所在的平面与球面的截痕及菱形，在xoy面上投影图如示图，其圆周的半径为面上投影图如示图，其圆周的半径为ABCD256R 258R 25284RAC 22251166(0,1000010000() )D 这说明这说明A、C两点必两点必有一点在球面之外。有一点在球面之外。于是于是D点到底面即球面的距离为点到底面即球面的距离为0100007625100006111000022d这说明通过旋转永远也不可能将椅子放稳。即就是说椅子这说明通过旋转永远也不可能将椅子放稳。即就是说椅子四脚连线所构成的四边形不是园内接

13、四边形，通过旋转不四脚连线所构成的四边形不是园内接四边形，通过旋转不可能将椅子放稳。可能将椅子放稳。 下面我们来讨论另一个问题。下面我们来讨论另一个问题。 众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚连线呈等腰梯形，那么，对这样的椅子甚至四脚连线为任连线呈等腰梯形，那么，对这样的椅子甚至四脚连线为任意园内接四边形的椅子是否也能在不平的平面上放稳？为意园内接四边形的椅子是否也能在不平的平面上放稳？为解决此问题我们重新建立模型。解决此问题我们重新建立模型。模型假设模型假设 1 1椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子四条腿一样长，椅脚与地面的

14、接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点。椅子所占的地面面积可视为一个点。 2 2地面凹突破面世连续变化的，沿任何方向都不会地面凹突破面世连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有向台阶那样的情况），即地面可看作数出现间断（没有向台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面。学上的连续曲面。 3 3相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。 4 4椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，即椅子四脚共圆。即椅

15、子四脚共圆。 5 5挪动仅只是旋转。挪动仅只是旋转。模型建立模型建立 将椅子放在地面任何一个将椅子放在地面任何一个位置，并使至少三只脚同时着位置，并使至少三只脚同时着地。这时以椅子四脚共圆的圆地。这时以椅子四脚共圆的圆心心O O为原点，四脚连线所在的为原点，四脚连线所在的平面为平面为xoy坐标面，并使椅脚坐标面，并使椅脚之一（如椅脚之一（如椅脚A）在）在ox轴的正轴的正半轴上建立平面坐标系图半轴上建立平面坐标系图. .ABCDo 由假设由假设4 4，椅子四脚，椅子四脚A、B、C、D共圆，设其半径为共圆，设其半径为R，则这四点必在圆周则这四点必在圆周x2+y2=R2上。上。不妨设不妨设OB、OC

16、、OD分别与分别与oxox轴的正向夹角分别为轴的正向夹角分别为 1、 2、 3 . 这三个这三个夹角应满足条件夹角应满足条件0 1 2 3 0， 1 、 2 、 3 是满足不等式是满足不等式0 1 2 3 2 的任意常的任意常数，数， 则一定存在则一定存在 0 0 , 2 ,使当使当 = 0时，时，四点共面。四点共面。DCBA ,( )FA BA CA D 证证 四点共面的充要条件是向量四点共面的充要条件是向量 的混合积的混合积 。不妨设不妨设 111cos()cos,sin()sin,()( )A BRRRR 222cos()cos,sin()sin,()( )A CRRRR 333cos(

17、)cos,sin()sin,()( )A DRRRR 0A BA CA D DCBA ,111222333cos()cossin()sin()( )( )cos()cossin()sin()( )cos()cossin()sin()( )RRRRFRRRRRRRR 即即223321sinsinsin()()( )R 231132sinsinsin()()( )R 212213sinsinsin()()( )R 又因为又因为 ( ) 是以是以2 的连续函数，从而对任意的常的连续函数，从而对任意的常数数a都有都有 2222000()( )( )( )aaa dx dxx dxd 210 ()( )

18、0d 230 ()( )0d 220 ()( )0d 20( )0Fd 再由积分中值定理知，存在一个再由积分中值定理知，存在一个 0 0 , 2 使得使得2001()( )02FFd 0A BA CA D 也就是当也就是当 = 0时时， 四点共面。四点共面。 ,ABCD 即就是即就是 定理定理1 1说明，对四脚共圆的椅子，在不平的地面上，说明，对四脚共圆的椅子，在不平的地面上，总可以经适当的旋转把椅子放稳。总可以经适当的旋转把椅子放稳。 放稳椅子的充要条件放稳椅子的充要条件 前面我们对四脚共圆的椅子进行了讨论，并建立了前面我们对四脚共圆的椅子进行了讨论，并建立了数学模型。那么四脚不共圆的椅子是

19、否也能在一般不平数学模型。那么四脚不共圆的椅子是否也能在一般不平面的地面上放稳呢？回答是否定的，其反例如下：面的地面上放稳呢？回答是否定的，其反例如下： 例：设椅子的四脚不共圆，地面为半径充分大的球例：设椅子的四脚不共圆，地面为半径充分大的球面，则这样的椅子在相应的地面上总放不稳。面，则这样的椅子在相应的地面上总放不稳。 证：反证法证：反证法 假设在这样的地面上存在四点假设在这样的地面上存在四点A A、B B、C C、D D使椅子的使椅子的四脚在这四点同时着地，则四点必共面，即在同一平面四脚在这四点同时着地，则四点必共面，即在同一平面上。从而，这四点必在此平面与球面的交线上，也就是上。从而，这

20、四点必在此平面与球面的交线上，也就是着四点必共圆。这与椅子四脚不共圆矛盾。这矛盾说明着四点必共圆。这与椅子四脚不共圆矛盾。这矛盾说明假设错而例中结论真。假设错而例中结论真。 此例说明：当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时，此例说明：当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时，无论怎么放，也不能在球面型的地面上放稳。而由前无论怎么放，也不能在球面型的地面上放稳。而由前面的数学模型及讨论说明，当椅子四条腿一样长且四面的数学模型及讨论说明，当椅子四条腿一样长且四脚共圆时，对任意的连续平坦地面，无论在何处，都脚共圆时，对任意的连续平坦地面，无论在何处，都可以经过适当的旋转把椅子放稳。这样我们就证明了可以经过适当的旋

21、转把椅子放稳。这样我们就证明了下面结论：下面结论： 定理定理2 2 在不平的地面上把椅子放稳的充要条件在不平的地面上把椅子放稳的充要条件是椅子四脚共圆。是椅子四脚共圆。 模型的应用模型的应用 椅子问题虽然是日常生活中一件非常普通的问题，椅子问题虽然是日常生活中一件非常普通的问题，但在上述的模型中所给出有关椅子的结论对于实践具有但在上述的模型中所给出有关椅子的结论对于实践具有普遍的指导意义。通常，在制作椅子时，我们事先并不普遍的指导意义。通常，在制作椅子时，我们事先并不知道要把椅子放在什么样的地面上，因此，我们无法也知道要把椅子放在什么样的地面上，因此，我们无法也不可能对地面提出任何要求，但为了保证椅子将来能在不可能对地面提出任何要求，但为了保证椅子将来能在任何连续平坦的地面上放稳，我们可对椅子的设计提出任何连续平坦的地面上放稳，我们可对椅子的设计提出一定的要求，这个要求就是