BB傅立叶级数PPT课件

1、1第五节第五节一、三角函数系的正交性一、三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第五章 傅里叶级数傅里叶级数 四、以四、以2 l 为周期的函数展开为为周期的函数展开为傅里叶级数傅里叶级数( 略）略） 第1页/共40页2问题的提出问题的提出非正弦周期函数非正弦周期函数: :矩形波矩形波1不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加第2页/共40页3第3页/共40页4第4页/共40页5第5页/共40页6第6页/共40页7第7页/共40页8一、三角级数及三角函数系的正交一、三角级数及三角函数系的正交性性简单的周期运动 :(谐波

2、函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.第8页/共40页9定理定理 1. 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系证证:同理可证 :正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在第9页/共40页10上的积分不等于 0 .且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 第10页/共40页11二、二、函数展开成傅里叶级函数展开成傅里叶级数数定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数可逐项积分, 则有证证: 由定理条件,对在逐项积分, 得第11页/共40页12(利用正交性)类似地,

3、用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得第12页/共40页13叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;由公式 确定的以的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数 第13页/共40页14定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里里叶级

4、数的条件比展成幂级数的条件低得多.第14页/共40页15例例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解解: 先求傅里里叶系数将 f (x) 展成傅里里叶级数. 第15页/共40页16第16页/共40页171) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近说明说明:f (x) 的情况见右图.第17页/共40页18例例2.上的表达式为将 f (x) 展成傅里里叶级数. 解解: 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 第18页/共40页19第19页/共40页20说明说明: 当时, 级数收敛于例例2.上的表达式为设 f (x) 是周期为 2 的周

5、期函数 , 它在 第20页/共40页21周期延拓傅里里叶展开上的傅里里叶级数定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展的傅氏级数展开法开法其它第21页/共40页22例例3. 将函数将函数级数 .则解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函数 F(x) , 第22页/共40页23例例3. 将函数将函数级数 .展成傅里里叶第23页/共40页24例例4.叶级数展式为则其中系提示提示:利用“偶倍奇零”(93 考研)的傅里 第24页/共40页25三、正弦级数和余弦级三、正弦级数和余弦级数数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (

6、x) , 其傅里里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 ,它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为第25页/共40页26例例5. 设设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此第26页/共40页27n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f (x) 的情况见右图.n5第27页/共40页282. 在在0, 上的函数展成正弦级数与余弦上的函数展成正弦级数与余弦级数级数周期延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x

7、)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成第28页/共40页29例例6. 将将函数函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,第29页/共40页30注意注意:在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 第30页/共40页31再求余弦级数再求余弦级数.将则有作偶周期延拓 ,第31页/共40页32说明说明: 令 x = 0 可得即第32页/共40页33思考与练思考与练习习1. 将函数展开为傅立叶级数时为什么最好画出其图形 ?答答: 易看出奇偶性及间断点 , 2. 计

8、算傅立叶系数时为什么有些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算时 ,如出现某些正整数作分母,这些正整数对应的系数就必须单独计算 .从而便于计算系数和写出收敛域 .第33页/共40页34内容小结内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 其中注意注意: 若为间断点,则级数收敛于第34页/共40页352. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .思考与练习思考与练习第35页/共40页36处收敛于2.则它的傅里里叶级数在在处收敛于 .提示提示:设周期函数在一个周期内的表达式为 ,第36页/共40页373. 写出函写出函数数傅氏级数的和函数 .答案:第37页/共40页38P355 1(1); 2 (1) , (2) ; 3(1) (3); 4; 5 ; 6作业作业 第38页/共40页39傅里叶傅里叶 (1768 1830)法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用