A第十二章第节PPT课件

1、2022年5月1日星期日1第1页/共84页2022年5月1日星期日2 设设一一曲线形构件位于曲线形构件位于xoy平面上的一段平面上的一段曲线弧曲线弧 L 上上, 线密度线密度 (x, y)为为 L 上的连续函上的连续函数数，求该曲线形构件的质量求该曲线形构件的质量 M。- 具有连续转动切线的曲线具有连续转动切线的曲线。第2页/共84页2022年5月1日星期日3xyAB(1) ： 插入分点插入分点：,11 niMMM1M1 iMiM1 nM), 2 , 1(1niMMnABii 个小弧段个小弧段为为分分设设 ABL每一小每一小弧段长弧段长.1 iiiMMS(2) ：,),(iiiS 任取一点任取

2、一点则小则小弧段质量弧段质量：,),(iiiiSM 第3页/共84页2022年5月1日星期日4(3) ： niiiiniisMM11),( (4) ),max(is 令令时，时，当当0 第4页/共84页2022年5月1日星期日5 设设L为为xoy平面内的一条光滑曲线弧段，平面内的一条光滑曲线弧段，M1, M2, , Mn-1 把把 L 分成分成若若和式的极限和式的极限则称此极限值为则称此极限值为。函数函数 f (x, y) 在在L上有界上有界， ),max(is 令令用用L上的任意上的任意点点第5页/共84页2022年5月1日星期日6也称为也称为。记作记作L 积分弧段积分弧段（积分路径积分路径

3、） ds 弧元素弧元素(1) f (x, y) 在在 L 上连续上连续, 则曲线积分必存在则曲线积分必存在。(2) f (x, y)虽为二元函数虽为二元函数, 但点但点(x, y)被限制在被限制在L上上, 变量变量 , 须满足曲线须满足曲线 L 的方程的方程。(3)若若L是是, 常记成常记成(4)推广到空间曲线推广到空间曲线, 有有 niiiiisf10),(lim 第6页/共84页2022年5月1日星期日7 Ldsyxgyxf),(),()1( LLdsyxgdsyxf.),(),(为常数）为常数）（kdsyxfkdsyxfkLL ,),(),()2( LLLsdyxfdsyxfdsyxf1

4、2),(),(),(.21LLL (3) 若若L是分段光滑的曲线段是分段光滑的曲线段，即即第7页/共84页2022年5月1日星期日8(4) 设在设在 L 上上，),(),(yxgyxf 则则 LLdsyxgdsyxf),(),(5) 设设 f (x, y) 在在 L 上上连续连续，则必则必存在存在,),(L 使得使得 Llfdsyxf),(),( 其中其中 l 为为 L 的长度。的长度。第8页/共84页2022年5月1日星期日9(1) 如曲线如曲线 L 关于关于 y 轴对称，轴对称，L1 是是 L 的的 部分，部分，0 x,),(),(时时则当则当yxfyxf 1),(2),(LLdsyxfd

5、syxf,),(),(时时当当yxfyxf 0),( Ldsyxf(2) 若交换若交换 x, y 两变量时，两变量时，L的方程不变，则的方程不变，则 LLdsxyfdsyxf),(),(第9页/共84页2022年5月1日星期日10上上有有定定义义且且连连续续，弧弧在在曲曲线线设设Lyxf),(上具有一阶连续导数，上具有一阶连续导数，在在其中其中,)(),( tt且且, 0)()(22 tt ),(),(),( ttytxL 的参数方程为的参数方程为：则则曲线积分曲线积分存在存在， 且且第10页/共84页2022年5月1日星期日11ds 弧长元素弧长元素 (弧微分弧微分)22)()(ydxdsd

6、 ,)(),(时时所以当所以当tytx (1)(2),)()(时时：当当bxaxyyL Lbaxyxfsdyxf)(,),(dxxy)(12 dtttds)()(22 第11页/共84页2022年5月1日星期日12(3) Lrrfdsyxf sin)(,cos)(),(4)( ),( ),( )xx tyy tzz t 对对空空间间曲曲线线：则则),( t( , , ) ( ), ( ), ( )f x y z dsf x ty tz t (5)时时，：当当)()( rrL drr22 tdzyx222 上述所有计算公式中上述所有计算公式中，等式右边的定积分等式右边的定积分的积分下限都必须小于

7、上限的积分下限都必须小于上限。第12页/共84页2022年5月1日星期日13一段弧一段弧(如图如图).例例1:ABa232aA (0, a), 法法一：一：选选 为积分变量为积分变量，L：22xay )20(ax xdysd21 xdxaa22 xI22xa xdxaa22 20adxxa.813a xya第13页/共84页2022年5月1日星期日14一段弧一段弧(如图如图).法二法二： 选选 为积分变量为积分变量，L：22yax )23(aya ydyaa22 ydxsd21 yI aadyya2322ya ydyaa22 .813a ABa232axya第14页/共84页2022年5月1日

8、星期日15一段弧一段弧 (如图如图).法三法三：tdtytxsd)()(22 L 用参数方程表示用参数方程表示: taytaxLsincos:)23( ttda tataIsincos tda 2323sin2 ta .813a ABa232axyat第15页/共84页2022年5月1日星期日16xy1 22例例2：ABOBABOAL OBABLOAydsydsydsyds. 52 :OA:AB:OB,2xy ;10 x,24xy ;21 x, 0 y;20 x sd.5dx sd.5dx sd.dx x2dx50 )24(xdx512 0dx021o第16页/共84页2022年5月1日星期日

9、17例例3： 2cos22ar drrsd22 L 1|4|LLsdysdy.)224(2a 利用极坐标利用极坐标。 da2cos 402cossin2cos4 daaa利用对称性利用对称性, 有有 14Lsdyxy第17页/共84页2022年5月1日星期日18例例4：,124322 yxL的方程可写为的方程可写为因为因为 L 关于关于 x 轴对称，轴对称，2xy 关于关于 y 是奇函数，是奇函数，, 02 Lxyds所以所以 LLdsyxdsyxxy)43()432(2222则则 Lds12 Lds12.12a 第18页/共84页2022年5月1日星期日19 习题习题 1(3), 2习题习题

10、 1(1, 4)第19页/共84页2022年5月1日星期日20 常力作功常力作功:).,cos(SFSFSFW 变力作功变力作功, badxxfW)(力力 f (x) 的方向与运动方向一致的方向与运动方向一致, 第20页/共84页2022年5月1日星期日21xyAB，设设 ABL(1)插入分点插入分点 M1(x1, y1) , ,Mn-1(xn-1, yn-1),n个个有向小弧段有向小弧段 iiMM1)., 2 , 1(ni M1Mn-1Mi-1Mi将将L任意分成任意分成设一设一质点在质点在xoy面内沿光滑曲线弧面内沿光滑曲线弧L从从A移动到移动到jyxQiyxPyxF),(),(),( 的作

11、用的作用，其中其中P, Q在在B。移动过程中移动过程中，这质点受到变力这质点受到变力L上连续上连续。现计算在上述移动过程中变力所作的功现计算在上述移动过程中变力所作的功。第21页/共84页2022年5月1日星期日22xyABMi-1Miix iy (2)1,iiMM 近近似似代代替替有有向向弧弧段段,),(1 iiiiMM 任取任取则由常力则由常力:jQiPFiiiiii),(),(),( 近似代替近似代替),(yxF变力变力则则.),(),(iiiiiiyQxP jyixMMiiii 1用用iiiiiMMFW1),( 第22页/共84页2022年5月1日星期日23.),(),(1iiiiii

12、niyQxP niiWW1 作和作和(3)(4)取极限取极限),max(1 iiMM 记记),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 第23页/共84页2022年5月1日星期日24 2、定义定义 设设 L 为为 xoy 平面上从点平面上从点A到到B的一条有向的一条有向 光滑曲线光滑曲线, 函数函数 P(x, y) 、Q(x, y) 在在 L 上有界上有界。分成分成 n个有向小弧段个有向小弧段则称则称此极限值此极限值把把 L 第24页/共84页2022年5月1日星期日25为为函数函数 P(x, y) 在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上, 记作记作同理同理, ,则称此极限值为函数则称此极限

13、值为函数 Q(x, y) 在有向曲线弧在有向曲线弧 L上上, 记作记作第25页/共84页2022年5月1日星期日261) P(x, y), Q(x, y) 中的中的 受受 L 的限制而的限制而。2)。时，时，AB 3) 前述变力作功前述变力作功 LdyyxQdxyxPW),(),(,),(),(),(jyxQiyxPyxF 其中其中jydixdsd (有向弧元素有向弧元素)sddydxsd 22)()(,1iiiyyy ,1iiixxx 变号变号第26页/共84页2022年5月1日星期日274)对空间曲线对空间曲线 L, 有有 ),(zyxF其中其中,),(),(),(kzyxRjzyxQiz

14、yxP .kzdjydixdsd 5),(),(),(zyxRzyxQzyxP若若在在 L 上连续上连续, 则此曲线积分必存在则此曲线积分必存在。第27页/共84页2022年5月1日星期日28 3、性质性质(1) 设有向曲线设有向曲线 L, L 与与 L 则有则有: LdxyxP),( LdyyxQ),( ydQxdPL(2) 其余性质类似于对弧长的曲线积分其余性质类似于对弧长的曲线积分。 LxdyxP,),( LydyxQ,),( LydQxdP.第28页/共84页2022年5月1日星期日29 设设曲线曲线L由参数方程由参数方程给出，给出，)(),(tytx 为端点的闭区间上具有为端点的闭区

15、间上具有及及在以在以 )(),(tt一阶连续导数一阶连续导数, 且且),(yxMt时，时，变到变到由由当当 又函数又函数 P(x, y), Q(x, y) 在在L上上连续连续,L 的的, 0)()(22 tt 描出有向曲线描出有向曲线 LAB , 第29页/共84页2022年5月1日星期日30起点起点 A (x = a), 终点终点 B (x = b)f (x) 在在 a, b 或或 b, a 上有连续导数上有连续导数, 则则 LdyyxQdxyxP),(),()()(,)(,xfdxfxQdxxfxP badxxfxfxQxfxP)()(,)(, badxxfxfxQdxxfxP)()(,)

16、(, 第30页/共84页2022年5月1日星期日31起点起点 A ( y = c ), 终点终点 B ( y = d )g(y) 在在 c, d 或或 d, c 上有连续导数上有连续导数, 则则 LdyyxQdxyxP),(),( ( ), ( ) ( ), P g yy dg yQ g yy dy dc dcdyyygQygyygP),()(),( ( ), ( ) ( ), P g yy g y dyQ g yy dy 第31页/共84页2022年5月1日星期日32 空间曲线空间曲线:起点起点 A dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(则则终点终点 B第32页/共84页20

17、22年5月1日星期日33例例1.(1) L: 圆心为原点圆心为原点,半径为半径为1, 按逆时针方向绕行按逆时针方向绕行的上半圆周的上半圆周。xyAB1-1tytxLsin,cos: .0: t则则，由由BAtdttttI)(sin)(cos)(cos)sin(220 .34 tdtt)cossin(330 第33页/共84页2022年5月1日星期日34(2) L: 直线直线 AB.xyAB1-1,0: yL则则，由由BA. 11: xdxxI)0(022 11 = 0.第34页/共84页2022年5月1日星期日35(3) L: 折线折线 ACB.xyABC1-11: yxLAC1: xyLCB

18、)1(22 xxIxd)1( 10)1(22 xxxd0-1xdxx)122(012 xdx)12(10 .32 第35页/共84页2022年5月1日星期日36例例2.(1)(2)Axy1dxxxxxxI)()()( 01 102xdx.1102 xdxxxxxxI)()()( 222 01 1032)23(xdxxx= 1.第36页/共84页2022年5月1日星期日37Axy1B(3):OB, 0 y,10:x:BA, 1 x,10:ydxxxOBL)0()0()0( 01;21 dyyyBAL )1()1()1( 01;21 . 1 I)0 , 1(第37页/共84页2022年5月1日星期

19、日38例例3.: 由点由点 (1, 1, 1) 到点到点 (2, 3, 4) 的直线段的直线段。求求 的的方程方程。 的的方向向量方向向量：, 321， s 的的方程方程：312111 zyx其其参数式参数式：, 1 tx, 12 ty, 13 tz. 10:t I(t +1)d(t +1) + (2t +1) d(2t +1)+ (t +1) + (2t +1) 1d(3t +1)01 10)12(1tt2)13( t3dttdt 10)614(= 13.第38页/共84页2022年5月1日星期日39设有向线段设有向线段 L:),(),(tytx ,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方

20、方向向角角上上点点yxL其中其中,)()()(cos22ttt .)()()(cos22ttt L第39页/共84页2022年5月1日星期日40类似有类似有，处的处的上点上点为为),(cos,cos,coszyx 切线向量的方向余弦。切线向量的方向余弦。第40页/共84页2022年5月1日星期日41例例：,3xy 其方向余弦其方向余弦22211)()(cosydydxdx 22)()(cosdydxdy ( coscos)LLPdxQdyPQds,9114x ,91342xx 24319LPx Qdsx 曲线上点曲线上点 (x, y) 处处的切线的方向向量的切线的方向向量为为:,dydx,32

21、dxxdy 第41页/共84页2022年5月1日星期日42二者夹角为二者夹角为 例例: 设设曲线段曲线段 L 的长度为的长度为 s, 证明证明证证:设设在在 L 上连续上连续, 第42页/共84页2022年5月1日星期日43习题习题 1(1), 2, 4, 5第43页/共84页2022年5月1日星期日44 在一元函数积分学中在一元函数积分学中, 牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式： baaFbFdxxf)()()(表示表示：f (x) 在区间在区间a, b上的积分可以用它的原函数上的积分可以用它的原函数 F(x) 在这个区间端点上的函数值来表达在这个区间端点上的函数值来表达。第44页/共84页

22、2022年5月1日星期日45设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成的部分都属于的部分都属于D, , 则称则称D为平面为平面单连通区域单连通区域, , 否则称为否则称为复连通区域复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD第45页/共84页2022年5月1日星期日46边界曲线边界曲线L的正向的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D内在他附近的那一部分总在他的左边内在他附近的那一部分总在他的左边,则他则他行走的方向就是行走的方向就是边界曲线边界曲线L的正向。的正向。LL1L2第46页/共84页2022年5月1日星期

23、日47格林公式格林公式第47页/共84页2022年5月1日星期日48例例1.D,22yyxP ,33xxQ , 22 xPy, 12 xQx由由格林公式：格林公式：)2()1(22 xxPQyx1 DdxdyI ydxd110 xx2.2110 xdxxy0 xy xy2 第48页/共84页2022年5月1日星期日49xyABD， CABCC yP,2 yey xQ,yey .2 yxPQ CABCL Ddxdy2;2 第49页/共84页2022年5月1日星期日50 xyABDC CABCL Ddxdy2;2 :BC, 1 y. 01: x 01)221(dxe;25 e:CA, 0 x. 2

24、1: y 21)2(dyy;3 原式原式 CABCL BC CA.212 e 第50页/共84页2022年5月1日星期日51,yPxQ 令令)1(,0 yxPQxQP，若令若令)1(, 0 yxPQQyP，若令若令)2( yxPQ的的面面积积：则则 D第51页/共84页2022年5月1日星期日52例例4：利用曲线积分利用曲线积分，求下列曲线所围的图形的求下列曲线所围的图形的星形线星形线面积面积 A = Lydxxdy21 2042242)sincossin(cos23dttttta 20222sin83tdta283a 面积面积：0yax第52页/共84页2022年5月1日星期日53 设函数设

25、函数 P(x, y), Q(x, y) 在在G 内内定理定理2.2.(1),LG的的闭闭曲曲线线内内任任一一光光滑滑或或分分段段光光滑滑对对，的光滑曲线的光滑曲线到到内从点内从点对对LBAG(2)的值与路径无关的值与路径无关，只与起点只与起点 A 与终点与终点 B 有关有关。(3),(yxuGdyQdxP内是某一函数内是某一函数在在微分式微分式 ,的全微分的全微分.dyQdxPdu 即即(4)内恒成立。内恒成立。在在G.0 LdyQdxP有：有： LdyQPdx具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, 则下列则下列:第53页/共84页2022年5月1日星期日54设设G内闭曲线内闭曲线 L由由12

26、()()L ABL BA与与围围成成，ABL1L2G, 0 LQdyPdx 1LQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx, 02 LQdyPdx.2 LQdyPdx 即曲线积分与路径无关即曲线积分与路径无关，只与只与 A, B 点有关点有关。,21LLL 第54页/共84页2022年5月1日星期日55积分与路径无关积分与路径无关，仅与起点仅与起点,),(),(000有关有关终点终点yxMyxM),(000yxM固定固定dyyxQdxyxPyxyx),(),(),(),(00 ),(yxu:0MEM取折线取折线xy . xxdxyxP0),(0 ),(yxu yydyyxQ0),( yu:

27、0MFM取折线取折线 ),(yxu xxdxyxP0),( yydyyxQ0),(0).,(yxPxu ; ),(yxQ第55页/共84页2022年5月1日星期日56),(yxPxu ),(yxQyu dyyudxxudu ,),(),(dyyxQdxyxP 的全微分。的全微分。是某一函数是某一函数即即),(yxuQdyPdx ,),(),(dyyxQdxyxPdu ,yuQxuP 其中其中,2yxuyP 且且,2xyuxQ P, Q 有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数，.xQyP 第56页/共84页2022年5月1日星期日57,xQyP 对对 G 内任一条内任一条闭闭曲线曲线 L，其所围区域其

28、所围区域,GD 由由格林公式格林公式：dxdyyPxQQdyPdxDL)( .0 (1)常用常用 (4)来来判定判定 (1)、(2)、(3) 的成立的成立。第57页/共84页2022年5月1日星期日58(2)则则若若,xQyP xy .第58页/共84页2022年5月1日星期日59(3) 四个四个等价命题只适用于等价命题只适用于，不适用于多连通域。不适用于多连通域。例：例：,2222dyyxxdxyxyIL 取逆时针方向。取逆时针方向。1:22 yxL 2022)cos(sindtttI. 02 在闭区域在闭区域 D 上上，,)(22222xQyxxyyP 为为因为因为10:22 yxD, 2

29、0tdxoyD。在此在此 D 上四个命题不再等价上四个命题不再等价.第59页/共84页2022年5月1日星期日60例例1：证明：证明：与与路径无关路径无关，并求并求, yxP )(yxQ 1 yP,xQ 积分与路径无关积分与路径无关。xy.(1,1).(1, 1)1 xL：取路径取路径11: y 11)(1(dyyI 10. 22yd第60页/共84页2022年5月1日星期日61例例2：计算计算xy)1,2( yPxQ 积分与路径无关。积分与路径无关。)0,2( .42 )1 , 0(xyxycos262 第61页/共84页2022年5月1日星期日62,),(,),(2222yxyyxQyxx

30、yxP 222)(2yxxyPy 且且xQ .),(22yxydyxdxduyxu ，使得，使得即存在即存在具有一阶连续偏导数，具有一阶连续偏导数，内内显然在显然在),(),(yxQyxPG.),(22的全微分的全微分是某个二元函数是某个二元函数内内所以在所以在yxuyxydyxdxG 第62页/共84页2022年5月1日星期日63 ),(22),(yxyxydyxdxyxuxx02)1ln(21 .),(22yxydyxdxduyxu ，使得，使得即存在即存在xy。dxxxx 021dyyxyy 122yyx122)ln(21 1ln21)1ln(212 x)1ln(21)ln(21222

31、xyx).ln(2122yx 第63页/共84页2022年5月1日星期日64例例4：其中其中：(1) C1不包围也不通过原点的任意不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线。无重点闭曲线。(2) C2以原点为中心的正向单位圆以原点为中心的正向单位圆。(3) C3包围原点的任意无重点正向闭曲线包围原点的任意无重点正向闭曲线。,22yxyxP 22(),xyQxy 除除原点外原点外，22222)(2yxyxyxPy .xQ 第64页/共84页2022年5月1日星期日65(1) C1 不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线 即所围即所围闭区域闭区域 D1为为单连通域单连通

32、域，,xyQP 在在 D1 上上, 都有都有 10C(2) C2 以原点为中心的正向单位圆以原点为中心的正向单位圆xyD1D21C1C2在在(0,0)点点P, Q 无一阶连续偏导数无一阶连续偏导数，.2120 dt 222)()(Cyxdyyxdxyx由定义求。由定义求。2cos:sinxtCyt 20:t第66页/共84页2022年5月1日星期日67习题习题12 3(A)4(2), 5(2), 6(2)1(2, 3), 3, 5习题习题12 3(B)第67页/共84页2022年5月1日星期日68 。 设有一张曲面设有一张曲面, 其边界曲线是分段光其边界曲线是分段光滑的闭曲线滑的闭曲线, 且曲

33、面光滑且曲面光滑, 面密度面密度 (x, y, z)在在上连续上连续，求曲面求曲面的质量的质量。第68页/共84页2022年5月1日星期日69xyz0(1) 任分任分为为 n 块小曲面块小曲面), 2 , 1(niSi (2) 任取一点任取一点,),(iiiiS 则小曲面的质量：则小曲面的质量：,),(iiiiiSM (3) ,),(11iiiiniiniSMM .),(lim10iiiiniSM (4),maxiiS .第69页/共84页2022年5月1日星期日70 上有界，上有界，在光滑曲面在光滑曲面设设 ),(zyxf(1)(2)(3)(4), 2 , 1(niSni 个小块曲面个小块曲

34、面为为任分任分;),(,),(iiiiiiiiSfS 作作任任取取 ;),(1iiiiniSf 和和作作存在，存在，iiiiniSf ),(lim10 ,maxiS 则称此则称此极限值为极限值为f (x, y, z)在曲面在曲面上上。若若第70页/共84页2022年5月1日星期日71记作记作 积分曲面积分曲面dS 曲面面积元素曲面面积元素可见可见，曲面形构件的质量曲面形构件的质量： dSzyxM),( 面密度面密度),(zyx 又又称为称为，( , , )1x y z 当当时时， dSS曲面的面积曲面的面积第71页/共84页2022年5月1日星期日72(1) f (x, y, z) 虽为三元函

35、数虽为三元函数，但点但点(x, y, z)被被限制在曲面限制在曲面上上, 变量变量 ，而而依赖于曲面依赖于曲面的方程的方程。(2)(3) 若若 f (x, y, z) 在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续，则则上述曲面积分存在。上述曲面积分存在。(4) 其其性质与第一类曲线积分相仿。性质与第一类曲线积分相仿。特别特别，时，时，如如分块光滑分块光滑当当)(21 若若是是, 则记作则记作第72页/共84页2022年5月1日星期日73设曲面设曲面 ：(1)(2)(3);xyDxoy平面上的投影区域为平面上的投影区域为在在 z = z(x, y) 在在Dxy 上具有连续偏导数上具有连续偏导数；f (x, y, z) 在光滑曲面在光滑曲