3.2定积分的应用ppt课件

1、5.2 微积分基本公式5.3定积分的换元积分法与分部积分法基本要求基本要求5.4 广义积分5.1 定积分的概念与性质5.5定积分的应用主要内容主要内容 5.5.1 5.5.1 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 5.5.2 5.5.2 定积分在经济上的应定积分在经济上的应用用1. 平面图形的面积平面图形的面积(1)(1)由连续曲线与直线所围成的由连续曲线与直线所围成的平面图形的面积平面图形的面积 ( )yf x,0 xa xb y( ).baAf x dx(2)(2)由连续曲线由连续曲线 与直线所围与直线所围成的平面图形的面积成的平面图形的面积 ( ),( )yf x yg x,xa x

2、b( )( ).baAf xg x dxxy0( )yf xabAxba0y( )yf xxba0y( )yf xc当当 时时 ( )0f x ( )baAf x dx当当 时时 ( )0f x 当当 在区间在区间上有正上有正, , 有负时有负时 ( )f x , a b( )baAf x dx( )( )cbacAf x dxf x dxAA( )( )baAf xg x dx当当 时时 ( )( )f xg x( , )xa b有时有时有时有时 ( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )caAf xg x dx( )( )bcg xf x dxAAAxba0y( )f x

3、c( )g xxy0( )f xab( )g xxba0y( )f x( )g x(3)(3)由连续曲线与直线由连续曲线与直线 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积（我们仅讨论（我们仅讨论 的情况的情况 ) )( )xy,yc( ).dcAy dx,0yd x( )0y( )xyx0ydcA( )xyx0ydc( )xyA(4)(4)由连续曲线由连续曲线 与直线与直线所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积（我们仅讨论（我们仅讨论 的情况的情况 ) ) ( ),( )xy xy,yc yd( )( )yy( )( )dcAdxyy例例2525求抛物线求抛物线 和和 轴所围成的平面图

4、轴所围成的平面图形的面积形的面积 21yx x解解:12311114(1)()33Ax dxxx作出图形通过观察图形作出图形通过观察图形,我我们选择们选择x作为积分变量比较方作为积分变量比较方便所以所求图形的面积为便所以所求图形的面积为 例例2626解解:求抛物线求抛物线 和直线和直线 所围成的平所围成的平面图形的面积面图形的面积 2yx2yx 作出图形通过观察图形作出图形通过观察图形,我们我们选择选择x作为积分变量比较方便作为积分变量比较方便.解方程组解方程组 得得所以所求图形的面积为所以所求图形的面积为 223 211133Ax dxx22yxyx 1,2xx解解:例例2727求由曲线求由

5、曲线 和直线和直线 所围所围成的平面图形的面积成的平面图形的面积 xye1,1,1xxy0110(1)(1)xxAe dxedx作出图形通过观察图形作出图形通过观察图形,我我们选择们选择x作为积分变量所以作为积分变量所以所求图形的面积为所求图形的面积为 01110(1)(1)2xxeee e *2.旋转体的体积旋转体的体积设设 是是 上的连续上的连续函数，由曲线函数，由曲线 与直与直线线 ， ， 围成的围成的曲边梯形绕曲边梯形绕 轴旋转一周，轴旋转一周，得到一个旋转体，怎样求得到一个旋转体，怎样求这个旋转体的体积？这个旋转体的体积？xax( )f x , a b( )yf x0yxb? ?用微

6、元法分析问题的一般步骤用微元法分析问题的一般步骤: :（1 1定变量根据问题的具体情况，选取一个积定变量根据问题的具体情况，选取一个积分变量，并确定变量的变化范围，如取分变量，并确定变量的变化范围，如取 为积分变为积分变量，的变化区间为量，的变化区间为 ；（2 2取微元在区间取微元在区间 内任意一点处，给内任意一点处，给 以以微小的增量微小的增量 ，在，在 上将上将 看作常值，构看作常值，构造所求量的微元造所求量的微元 ；（3 3求积分将上述微元求积分将上述微元“积积起来，得到所求起来，得到所求量量1100( ).UdUQ x dx( )f x , a bxx , a bxdx ,x xdx(

7、 )dUQ x dx用微元法来求旋转体的体积用微元法来求旋转体的体积 : 选定选定x为积分变量，为积分变量，x的变化范围的变化范围为为 .在在 上任取一小区间上任取一小区间 过点过点x作垂直于作垂直于x轴的平面，则截面是轴的平面，则截面是一个以一个以 为半径的圆，其面积为为半径的圆，其面积为( )f x ,x x dx , a b , a b 再过点再过点 作垂直于作垂直于x轴的平面，得到另一轴的平面，得到另一个截面由于个截面由于 很小，所以夹在两个截面之间的很小，所以夹在两个截面之间的“小薄小薄片可以近似地看作一个以片可以近似地看作一个以 为底面半径、为底面半径、 为高的为高的圆柱体其体积为

8、圆柱体其体积为 . 叫做体积微元叫做体积微元2 ( )f xdxx dx( )f xdx2 ( )dVf xdxdV把体积微元在上求定积分，便得到所求把体积微元在上求定积分，便得到所求旋转体的体积：旋转体的体积：类似地可以推出：由曲线类似地可以推出：由曲线 与直线与直线 所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而轴旋转一周而得到的旋转体的体积为得到的旋转体的体积为( )xyy,yc yd , a b(),0cd x2 ( )bxaVf xdx2 ( )dycVydy 例例2828解解:21.3Vr h证明：底面半径为证明：底面半径为r，高为，高为h的圆锥体的体的圆锥体的体积为积为 以圆

9、锥的顶点为坐标原点，以圆锥的顶点为坐标原点，以圆锥的高为以圆锥的高为 轴，建立直角坐标轴，建立直角坐标系，则圆锥可以看成是由直角三系，则圆锥可以看成是由直角三角形角形ABO绕绕 轴旋转一周而得到的轴旋转一周而得到的旋旋xxryxh22232202200133hhhrrrxVxdxx dxr hhhh转体直线转体直线OA的方程为的方程为 于是，所求体积为于是，所求体积为 解解:例例2929求由抛物线求由抛物线 与直线与直线 所围成的所围成的封闭图形绕封闭图形绕 轴旋转一周所得旋转体轴旋转一周所得旋转体的体积的体积. 2yx1yy旋转体的体积为旋转体的体积为 120()Vy dy12 10022y

10、dyy定积分在经济中的应用归纳起来一般分为两大定积分在经济中的应用归纳起来一般分为两大类型：类型：第一，已知边际函数或变化率，用定积分求原来的第一，已知边际函数或变化率，用定积分求原来的函数；函数；第二，已知边际函数或变化率，用定积分计算产量第二，已知边际函数或变化率，用定积分计算产量由到由到 时原来函数的改变量时原来函数的改变量一般地，已知边际成本、边际收入、边际利润等去一般地，已知边际成本、边际收入、边际利润等去考虑总成本、总收入、总利润等问题考虑总成本、总收入、总利润等问题ab(1)(1)已知某产品的边际成本为已知某产品的边际成本为 ，固定成本，固定成本为，则产量为为，则产量为 个单位时

11、总成本函数为个单位时总成本函数为产量由产量由 变到变到 时，总成本函数的改变量为时，总成本函数的改变量为( )C xMC0Cxba( )baCC x dx 00( )( )xC xC x dx C(2)(2)已知某产品的边际收入为已知某产品的边际收入为 ，则产量为则产量为 个单位时总收入函数为个单位时总收入函数为产量由产量由 变到变到 时，总收入函数的改变量为时，总收入函数的改变量为( )R xRCxba( )baRR x dx 0( )( )xR xR x dx(3)(3)某产品的边际利润为某产品的边际利润为则产量为则产量为 个单位时总利润函数为个单位时总利润函数为积分积分 是不计固定成本下

12、的是不计固定成本下的利润函数，有时也称为毛利润利润函数，有时也称为毛利润产量由产量由 变到变到 时，总利润函数的改变量为时，总利润函数的改变量为( )( )( )L xR xC xMR CRxab0 ( )( )xR xC x dx00( ) ( )( )xL xR xC x dx C ( )( )baLR xC x dx 例例3030已知某产品的边际成本为已知某产品的边际成本为（百元（百元/吨吨 ）,求：产量由求：产量由2吨增加到吨增加到5吨时总成本的改变量及平均成本吨时总成本的改变量及平均成本 .( ) 100 2C xx解解:（百元）（百元） 产量由产量由2吨增加到吨增加到5吨时总成本的

13、改变量吨时总成本的改变量5522( )(100 2 )CC x dxx dx 3211073Cx252(100)321x x平均成本为平均成本为 （百元（百元/吨）吨） 设生产某产品的边际成本为设生产某产品的边际成本为(万元万元/件件) ，边际收入为，若在最，边际收入为，若在最大利润的基础上再生产大利润的基础上再生产30件产品，利润件产品，利润会发生什么变化？会发生什么变化？ 3MC18 0.06MRx例例3131解解:该产品的边际利润为该产品的边际利润为令令 , ,即，得惟一的驻点即，得惟一的驻点 ; ;( )0L x( )18 0.063 15 0.06L xMR MCxx 15 0.06

14、0 x250 x解解:且且 ，所以产量为，所以产量为 件时，利润件时，利润最大在最大利润的基础上再生产最大在最大利润的基础上再生产 件产品，利润件产品，利润的改变量为的改变量为亦即最大利润的基础上再生产亦即最大利润的基础上再生产3030件产品，利润件产品，利润会减少会减少2727万元万元280280250250()(15 0.06 )LMR MC dxx dx 2280250(150.03 )27xx( )0.06 0L x25030(万元万元)课堂练习课堂练习 ：（答案：（答案：2 ）3若某产品的固定成本为若某产品的固定成本为5万元，边万元，边际成本为际成本为 （万元（万元/百件），百件），求总成本函数求总成本函数61MCx（答案：（答案： ）2( )35C xxx1求由曲线在求由曲线在 上与轴所围成图形上与轴所围成图形的面