第14章机械振动课件

1、1第十四章第十四章 机械振动机械振动 14-1 简谐运动简谐运动14-4 简谐运动的合成简谐运动的合成14-2 阻尼振动阻尼振动14-3 受迫振动受迫振动2一、简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程fkx 222d0dxxt固有角频率固有角频率mk(4)( (弧度弧度/ /秒秒) )0v(2)0f 0v22ddxmamt 0f0v(3)(5)cos()xAt简谐运动方程简谐运动方程(1)平衡位置平衡位置14-1 简谐运动简谐运动, k mxfvf v ffkx 0 x 3cos()xAt简谐运动方程简谐运动方程二、二、简谐运动中的简谐运动中的振幅振幅 周期周期 频率频率和和相位相位1. 振幅振幅

2、 A2. 周期周期 Tt +T 状态不变状态不变cos()xAtcos ()AtTsin()AtT dsin()dxvAtt 2T2T频率频率 1vT22 vT(4)0v(2)0,0 xf0v0f0v(3)(5)(1)平衡位置平衡位置, k mxfvf v f4cos()xAt简谐运动方程简谐运动方程(4)0v(2)0,0 xf0v0f0v(3)(5)(1)平衡位置平衡位置, k mxfvf v f3. 相位相位()tt = 0 时时t为初相位为初相位(1) . .描述振动系统描述振动系统形象状态形象状态的物理量的物理量()t02223A00A0 xvA00AA(2) . .描述振动系统描述振

3、动系统状态的变化趋势状态的变化趋势(3) . .描述描述频率相同频率相同的两振动系统的两振动系统或或（两物理量）（两物理量）的振动的振动变化步调变化步调相位超前相位超前相位落后相位落后5cos()xAt简谐运动方程简谐运动方程22002vAx100vtgx由初始条件由初始条件 x0 和和 v0 00c o sxA0sinvA 4. 常数常数 A和和 的确定的确定(4)0v(2)0,0 xf0v0f0v(3)(5)(1)平衡位置平衡位置, k mxfvf v f6三、简谐运动速度及加速度三、简谐运动速度及加速度22ddxat ddxvtsinAt cos()2At2cosAt 2cos()Atc

4、os()xAtmvA2Aam速度速度超前位移超前位移/2 相位相位加速度加速度超前位移超前位移相位相位TAA2A2AxatttAAoooTTv0取取cosxAt7cos()xAtt) 0( tAr四、四、旋转矢量旋转矢量AA)(tArxx0BBv简谐运动简谐运动(4)0v(2)0,0 xf0v0f0v(3)(5)(1)平衡位置平衡位置, k mxfvf v f8系统系统机械能守恒机械能守恒KPEEE2211sin()cos()22mAtkAt2221122mAkA()k m五、五、 简谐运动的能量简谐运动的能量221122mvkx以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例cos()xAt-AA9简谐

5、运动的判据简谐运动的判据1. .动力学判据动力学判据受正比而反向的恢复力作用受正比而反向的恢复力作用fkx 即即22d0dxkxtm2. .能量判据能量判据振动系统振动系统机械能守恒机械能守恒d0dvkxtmdd0ddvxkxxtmdd0mvvkxx积分积分221122mkx 恒量v3. .运动学判据运动学判据cos()xAt相对平衡位置的位移随相对平衡位置的位移随时间按正余弦规律变化时间按正余弦规律变化（一次积分）（一次积分）（二次积分）（二次积分）101. 水平弹簧振子水平弹簧振子222d0dxxtkmsinmgmgmF2. 单摆单摆 很小时很小时222dsindmglmlt22d0dgt

6、l gl令令cos()xAt-AA22mTk固有周期固有周期glT2cos()t 六、举例六、举例固有周期固有周期l11sinMmgl -简谐振动简谐振动3. .复摆复摆 很小时很小时力矩力矩222d0dt mglJMmgl 令令C 质心质心mgsinl0轴轴Ml 周期周期2JTmgl22ddJt124. 竖直弹簧振子竖直弹簧振子mg自然自然平衡平衡任意任意x0 xm gkxmgfma()fk xxkxma由以上三式可得由以上三式可得22d0dxkxtm与水平弹簧振子相同，只改变平衡位置。与水平弹簧振子相同，只改变平衡位置。fkm13弹簧串并联时的劲度系数弹簧串并联时的劲度系数（1） 两个弹簧

7、串联两个弹簧串联：pk1k2k对每个弹簧有对每个弹簧有对整个弹簧，有对整个弹簧，有22pkl11kl1212pplllkk pk l 121212k kppkpplkkkk12111kkk14（2） 两个弹簧并联两个弹簧并联 ：pk1k2k对每个弹簧，有对每个弹簧，有对整个弹簧，有对整个弹簧，有222pkl111pkl1212pppklkl pk l 1212klklpkkkll 15例例1. 将劲度系数将劲度系数 k 的轻弹簧截成三等分，取其中的两根，将它的轻弹簧截成三等分，取其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量们并联在一起，下面挂一质量 m 的物体，则振动系统的频率的物体，则振动系统

8、的频率1( )2kAm解解: : 设每一等分弹簧的劲度系数为设每一等分弹簧的劲度系数为 k0 ，由弹簧串联关系，有由弹簧串联关系，有两个同样的弹簧并联，有两个同样的弹簧并联，有振动频率为振动频率为答案答案：( B)16()2kBm13()2kCm12()2kDm013kk03kk02kk 116222kkmm16已知：简谐振动曲线如图，已知：简谐振动曲线如图，求：振动方程求：振动方程解解：0.5 cmA 2 sT 2(1 s)T初始条件初始条件0cos0.5cos0.25(cm)xAcos0.53)3cos(5 . 0tx对吗？对吗？初始条件初始条件00.5sinv sin03 3 0.5co

9、s()(cm)3xt例例2.0.25-0.50 t (s)2x(cm)00 xAA/2A33cos()xAt例例3. .水平弹簧振子，倔强系数水平弹簧振子，倔强系数 k = 24N/m，m = 6kg的物体静的物体静止在平衡位置。设一水平恒力止在平衡位置。设一水平恒力 F =10N 向左作用于物体（不计向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了摩擦），使之由平衡位置向左运动了 0.05m，此时撤去此时撤去 F。当。当重物运动到左方最远位置开始计时，求物体的运动方程。重物运动到左方最远位置开始计时，求物体的运动方程。解：运动方程解：运动方程 恒外力做功等于弹簧获得的机械能，恒外力做功等

10、于弹簧获得的机械能，当物体运动到最左端时，这些能量当物体运动到最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能全部转化为弹簧的弹性势能222111222FsksmvkAmkFxA s Ocos()xAt22 10 0.050.204m24FsAk242rad/s6km物体运动到A 时计时，初相 = 0.204cos(2)xt171814-2 阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动粘性阻力粘性阻力rfCv22ddddxxkxCmtt2202dd20ddxxxtttex22020特征方程特征方程将试探解将试探解代入上式代入上式令令0km 2Cm无阻尼振动无阻尼振动2202d0dxxtmk0)cos(00tAx

11、水平弹簧谐振子水平弹簧谐振子运动方程运动方程220 阻尼系数阻尼系数 -表征阻尼大小的常量表征阻尼大小的常量0 阻尼度阻尼度 192202dd20ddxxxtttex220( )cos()tx tAet220方程解为方程解为1. .阻尼振荡阻尼振荡（阻尼小）（阻尼小）tx阻尼振荡阻尼振荡220i cossinieicossiniei0220 0(1) 202. 过阻尼运动过阻尼运动（阻尼较大）（阻尼较大）当当方程解为方程解为无周期，非振动。无周期，非振动。3. 临界阻尼运动临界阻尼运动当当在在振幅衰减到原来的振幅衰减到原来的2200(1) 222200()()12( )ttx tc ec e2

12、20(1) 12( )()tx tcc t e1%371e时间，时间，tx临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼阻尼振荡阻尼振荡220 21定态解定态解暂态解暂态解周期性驱动力周期性驱动力式中式中cosppFFt22ddcosddpxxkxCFtmtt2202dd2cosddpxxxfttt2Cm0kmFfm0( )cos()cos()tppx tA etAt14-3 受迫振动受迫振动22二、定态解二、定态解振幅振幅 相位相位222220()4ppfAx 2202ppparctg()( )ppitx tAe令定态解令定态解定态解定态解暂态解暂态解2202dd2cosddpxxxfttt0( )cos()

13、cos()tppx tA etAt代入原方程代入原方程A和和 p220(2) ( )pitppix tfepitfe与初始条件无关与初始条件无关受迫振动稳定后为形受迫振动稳定后为形式上的简谐振动式上的简谐振动220( )()2pitppfx tei23三、共振三、共振当当由由时，振幅时，振幅 A 达到最大，达到最大， 称为称为位移共振位移共振prd0dpA2202pr振幅振幅相位相位222220()4ppfAx 2202ppparctg()( )ppitx tAe定态解定态解2202rfA 1. 位移共振位移共振00(,)pr 24在受迫振动中位移振幅出现极大值的在受迫振动中位移振幅出现极大值

14、的现象称为现象称为位移共振位移共振，简称，简称共振共振。 r 称称为共振的角频率。为共振的角频率。2. .共振峰的宽度或共振峰的宽度或共振宽度共振宽度在在弱阻尼弱阻尼情况下，可以证明共振情况下，可以证明共振宽度为宽度为3. .振动系统的振动系统的品质因数品质因数202QrA2rA202202rfA 共振共振: :A02202pr1940年年4月建成月建成华盛顿的塔科曼大桥华盛顿的塔科曼大桥同年同年7月的一场大风引起桥月的一场大风引起桥的共振使桥摧毁的共振使桥摧毁 25小号发出的波足以把玻璃杯振碎小号发出的波足以把玻璃杯振碎262714-4 简谐运动的合成简谐运动的合成x1A2AA12010 x

15、20 x111cos()xAt222cos()xAt12cos()xxxAt0 x221212212cos()AAAA A11221122sinsintgcoscosAAAA一、两个一、两个同方向同方向同频率同频率简谐运动的合成简谐运动的合成212k 21(21)k 2121AAAAA21AAA21AAA21其它值同相同相反相反相28二二、多多个个同方向同频率同方向同频率简谐运动的合成简谐运动的合成taxcos12cos()xat3cos(2)xat cos(1)nxatn)cos(tAxP0 xBQARasin(2)2ARnsin(2)2aRsin(2)sin(2)nAa1()2POQn 1

16、()2POB12n29sin(2)sin(2)nAa讨论：讨论：1. 2,0, 1, 2.kk 0sin(/2)limsin(/2)nAa naaaaA主极大主极大2. 2nk不等于不等于 n 的整数倍的整数倍sin()sin(/ )kAakn0极小极小P0 xBQARa1, 2.k 30例例1. 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式为达式为14cos(2)6xt求合振动的振幅和初相。求合振动的振幅和初相。解：解：)652()612(tt两振动相位差两振动相位差合振动合振动cos()xAt振幅振幅431A初相初相6当两个分振动的相位差

17、为当两个分振动的相位差为 时，时，合振动的相位与振幅大的振动相位相同，合振动的相位与振幅大的振动相位相同，合振动振幅等于两分振动振幅之差。合振动振幅等于两分振动振幅之差。253cos(2)6xtx0/65/643例例2. . 一质点同时参与了三个简谐振动，振动方程分别一质点同时参与了三个简谐振动，振动方程分别x1=Acos( t+ /3)， x2=Acos( t+5 /3), , x3=Acos( t+ )，求其合振动方程。求其合振动方程。合振动方程合振动方程: : x=0 xo/35/3AAA31A32三、两个三、两个同方向同方向不同频率不同频率简谐运动的合成简谐运动的合成11cosxAt2

18、2cosxAt21xxx2)(cos2)(cos21212ttA)(1212当当准谐振动准谐振动tAtA21coscos（振幅相同初相为零）（振幅相同初相为零）合成振幅合成振幅21()2cos2AAt 拍拍: :频率都较大但两者频率都较大但两者相差很小相差很小的两个同方向简谐振动，的两个同方向简谐振动，合成时所产生的这种合成时所产生的这种合振幅时而加强时而减弱合振幅时而加强时而减弱的现象。的现象。拍的周期：拍的周期：121222221bT正向与反向正向与反向加强加强之间的时间间隔之间的时间间隔121221bbTv单位时间加强或减弱的次数单位时间加强或减弱的次数330.05s0.1s0.15s0

19、.2sttt0801v902vx1x2x1+x21234四四、两个相互垂直的两个相互垂直的同频率同频率的简谐运动的合成的简谐运动的合成11cos()xAt22cos()yAt221222212sincos2AAxyAyAx质点沿顺时针方向运动质点沿顺时针方向运动质点沿逆时针方向运动质点沿逆时针方向运动002或21令xy350221AyAx21AyAx1222212AyAx讨论讨论直线运动直线运动正椭圆正椭圆AAA21222Ayx变成圆变成圆当当则则(2)(1)2A12A2222A221222212sincos2AAxyAyAx36五、两个相互垂直的五、两个相互垂直的不同频率不同频率的简谐运动的

20、合成的简谐运动的合成m4m4mm45m23m47m2m2m431:1 1:21:3 2:3 3:4 :n m00 cos()xAm t)cos(0tnAy37总结总结1. 掌握掌握简谐振动的基本特征（简谐振动的基本特征（运动学、动力学和能量特征运动学、动力学和能量特征），），掌握掌握描述简谐振动描述简谐振动各物理量的物理意义及其相互关系各物理量的物理意义及其相互关系。2. 会根据简谐振动的特征判断物体是否作简谐振动，并能建会根据简谐振动的特征判断物体是否作简谐振动，并能建立其运动方程（微分方程）。立其运动方程（微分方程）。3. 掌握掌握用用解析法解析法，旋转矢量法旋转矢量法或或所给的振动图线所

21、给的振动图线描述简谐振动，描述简谐振动，并根据所给条件建立振动表达式。并根据所给条件建立振动表达式。4. 掌握掌握两个同频率同方向简谐振动的合成规律，两个同频率同方向简谐振动的合成规律，了解了解两个相互两个相互垂直的同频率简谐振动的合成。垂直的同频率简谐振动的合成。5. 了解了解阻尼振动、受迫振动和共振现象。阻尼振动、受迫振动和共振现象。381. 劲度系数劲度系数k1，k2 两弹簧和质量两弹簧和质量 m 的小球相连，放在光滑的小球相连，放在光滑水平面上。使小球沿弹簧长度方向上有一个微小位移后放手，水平面上。使小球沿弹簧长度方向上有一个微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否为简谐振动？振动周

22、期为多小球将作振动，这一振动是否为简谐振动？振动周期为多少？少？k2k1m390sin0vA 2. 水平弹簧振子弹簧劲度系数水平弹簧振子弹簧劲度系数 k=10N/m，物体质量物体质量 m=0.3 kg，初始位移和速度分别为初始位移和速度分别为 x0 = 0.1m，v0 = -1m/s，写出弹簧振子的写出弹簧振子的振动方程。振动方程。 220020.2(m )Axv解：解：103km0cos0.5 ,3xA 由于由于30 x0v1 00 .2 co s()(m )33xt403. 一弹簧振子，劲度系数一弹簧振子，劲度系数 k=25 Nm-1, 当物体以初动能当物体以初动能 0.2J 和初势能和初

23、势能 0.6J 振动时，求：振动时，求： （1）振幅；振幅； （2）位移多大时势能和动能相等？位移多大时势能和动能相等？ （3）位移是振幅的一半时，势能多大？位移是振幅的一半时，势能多大？解：解： （1）求振幅求振幅: : 20010.8 (J)2kpEEEkA22 0.8,0.253(m)25AA（2）求势能和动能相等时的位移求势能和动能相等时的位移: :)(sin21022tkAEk)(cos21022tkAEp若若kpEE 则有则有20()1tgt0()1tgt 41相位相位40kt此时位移此时位移)4cos()cos(0kAtAx20.179(m)2xA（3）求位移是振幅一半时的势能求

24、位移是振幅一半时的势能: :)cos(0tAx当当2Ax 时时0cos()2AAt势能势能2201cos ()2pEkAt21)cos(0t210.8()0.2(J)24. .两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振子的两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振子的振动表达式为振动表达式为 x1= Acos( t+ )，当第一个振子从振动的正，当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。( (1) ) 求第二个振子振动表达式和二者的相差；求第二个振子振动表达式和二者的相差；( (2) ) 若若 t =0 时，时，x1= A/2，并向，并向 x 负方向运动，画出二负方向运动，画出二者的者的 x-t 曲线及相量图。曲线及相量图。解：解：(1) 由已知条件画出相量图，可见由已知条件画出相量图，可见第二个振子比第一个振子相位落后第二个振子比第一个振子相位落后 /2，故故 = =