规律探究专题

1、规律探究专题教案教学目标通过规律的探索，培养学生的观察、分析、比较、概括、推理、判断的能力，并积累数学探究经验，提高学生的合情推理能力和灵活解决问题的能力。重点:在规律探索的活动中培养学生的数学思考水平，并形成基本的解题策略。难点：形成基本的良好效的解题策略。教学过程：（一）综述“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养因此规律探究类问题一直成为命题的热点。1规律探索型问题

2、的特点：基础知识广形式灵活善变思维量大解法多样化解题策略：特殊到一般到特殊过程2基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。（二）例题分析提炼方法一数式规律例1观察下列各式，你会发现什么规律？15、35、63、99、143、佃5,请你猜想到的规律用只含一个字母的代数式表示出来：.分析：3X5=15,5X7=35,7X9=63,9X11=99,11X13=143,.25811例2一组按规律排列的式子：丄，g,-岂，b7（abz0）,aaaa其中第7个式子是，第n个式子是（n为正整数）本题难点是，变化的部分太多，有三处发生变化：分子、

3、分母、分式的符号。学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是难点.分析:分子的指数依次排列为：2、5、8112=2+3X05=2+3X18=2+3X211=2+3X3分子是变化规律是：23（n-1）=3n-1例3（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（D）A.38B.52C.66D.74310036*8-4=44,分析：观察图表可知2*4-0=8,4*6-2=22,8*10-6=74例4中央电视台开心辞典”栏目有这么一道题：观察下列一组数列的排列规律1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1，那么

4、第2006个数字是（）A1B.2C.3D.4点拨:认真观察数据可以发现：这组数的排列规律是1,2,3,4,3,2为一个循环，用2006除以6商为334余数为2,对应数列中的2,故选B。例5如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48,我们发现第一次输出的结果为24,第二次输出的结果为12,，则第2010次输出的结果为(B)(A)6(B)3(C)3(D)320032006输I出次数123456输1出数值2412636分析：(2010-2)+2=1004若输出第2011次呢？输出数值是几？9162536例6一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，-，,5122132中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥

5、秘的大门，请你按照这种规律，写出第n(n>1)个数据是.解法一：分子是从3开始的连续的自然数的平方；分子都比分母大24所以第n个数据是(n2)。(n+2)-4解法二：观察发现分母可以依次看作1*5、2*6、3*7、4*8故分母的规律是n(n+4).第n个数据是(n2)n(n+4)例7观察下列各式：1X3=12+2X1；2X4=22+2X2;3X5=32+2X3;请你将猜想到的规律用正整数n表示出来n(n+2)=n2+2_n.方法总结：横向熟悉代数式、算式的结构；纵向观察、对比，研究各式之间的关系，寻求变与不变规律；按要求写出算式或结果。例8(07年重庆市中考题)将正整数按如图所示的规律排

6、列下去。若用有序实数对表示第n排，从左到右第m个数，如（4,3）表示实数9,贝（7,2）表示的实数是。1第一排3第二排6第三排910第四排分析：观察数字排列可知：每排数字是连续的自然数，每排数字的个数等于排数即（7,2）表示的数即1+2+3+4+5+6+2=23，所以（7,2）表示的实数为23。反思：第n排的第m个数对应的是什么实数呢？由特殊到一般的方法可得：1+2+3+（n1）+m=初（n-1）'m,（n,m）表示的实数为2n（n-1）m（三）小结与反思1规律探究题的解题策略是什么？由特殊经合情推理到一般再由一般验证特殊的探究过程。2你获得了哪些解题经验和方法？注意观察数与式中变与不

7、变的规律；连续自然数的求和方法:（首项+末项）乘以项数除以2;用列表法找规律等。二、图形规律例1用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚(用含n的代数式表示)方法一：除第一个图形有4枚棋子外，每多一个图形，多3枚棋子.4+3(n1)=3n+1第2个图第3个图第i个图方法二:每个图形，可看成是序列数与3n+1方法三:(n+1)+2n=3n+1方法总结：认真观察研究图案(形)提取数式信息仿照数式规律得到结论啲倍数又1多1枚棋子2+2X123+2X234+2X3。n(n+1)+2n例2拿出一张长方形的纸对折，可以得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次

8、的折痕保持平行，连续折6次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？由一般到特殊可得：当n=6时，折痕条数为26-1；n=10时，折痕条数为210-1；对折n次，折痕条数为2n-1。例3如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是(670)分析：4+3(n-1)=2011n=670例4如图，小明作出了边长为1的第1个正A1B1C1，算出了

9、正A1B1C1的面积。然后分别取A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面积。用同样的方法，作出了第3个正A3B3C3，算出了正A3B3C3的面积，由此可得，第10个正A10B10C10的面积是（）.分析：依次所作的等边三角形与前一个等边三角形相似，且1相似比是2,面积比为。第一个三角形的面积为工4，所以第n个三角形的面积为1_4BiAi3A3B3C2A2Ci10个正A10B10C103/19二T)(丁)44面积是例5如图，菱形ABCD中，AB=2，/C=60°，菱形ABCD在直线I上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60

10、6;叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心0所经过的路径总长为（结果保留弧002二1203弧0203=菱形中心C所经过的路径=(空心12180180=(834)二例6将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1.在图6-2中，将子向右翻滚90°,然后在桌面上按逆时针方向旋转90°则完成一次变换.若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（B）A.6B.5C.3D.2小结与反思这节课你有哪些收获？收获一：形数结合收获二：循环规律题的特点和解法收获三：必要的动手操作，增强直观性。三

11、、数形结合类规律例1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3,6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16,，这样的数为正方形数.下列数中既是三角数又是正方形数的是（）（A）15（B）25（C）55（D）1225IH49Ifib之|分析：图一的规律是1+2+3+n=图二的规律是m2,故可排除A和C选项。由n（n+1）=2m2,所以2X25=50不能分解为两个连续整数的积，故D选项正确。例2电子跳蚤游戏盘是如图所示的厶ABC,AB=6,AC=7,BC=8.如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2.跳蚤第一步从P

12、0跳到AC边的P1（第一次落点）处，且CP1=CP0;第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点）处，且AP2=AP1;第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点）处，且BP3=BP2;；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（）B.2C.3Pi分析：AB=6,A(=7,BC=8.BP0=2CR二CR=6AR二AP=1PoBF2=BF3=52007-6=334余3到Ps点2010-6=350到P点p0pS=5-2=3点P2007与P201(之间的距离为3.选B例3如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要佃枚棋子，

13、摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要127枚棋子，摆第n2个图案需要3n23n1枚棋子.解法一：(数字探究法)图形对应的点的个数是7、19、37、可以33看作7=23-13,19=33-23,37=43-33(n1)-n解法二：(割补法)第n个图形的点数和为(n1)2n2n(n1)=3n23n1例4在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0,2）,延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C伯1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为例5在反比例函数的10y

14、xox图象上,有一系列点A1、A2、A3、An、An+1，若的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A1、A2、A3、An、An+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、Sn,则S1=,则S1+S2+S3+Sn=用n的代数式表示）例6如图2,在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如（1,0），（2,0），（2,1），（3,2），（3,1），（3,0）,，根据这个规律探索可得第100个点的坐标为.例7已知点P的坐标为（m,0）,在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y=的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方M1在第二象限形的顶点（第23题图）（1）如图所示，若反比例函数解析式为尸,P点坐标为（1,0）,图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1