事件的相互独立性

1、一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理二、几个重要定理三、例题讲解三、例题讲解1.6 独立性独立性四、小结四、小结一、事件的相互独立性(一一) 两个事件的独立性两个事件的独立性由条件概率，知由条件概率，知)()()(BPABPBAP 一般地，一般地，)()(APBAP 这意味着：事件这意味着：事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概发生的概率有影响率有影响.然而，在有些情形下又会出现：然而，在有些情形下又会出现：)()(APBAP ,.,),23(5取取到到绿绿球球第第二二次次抽抽取取取取到到绿绿球球第第一一次次抽抽取取记记有有放放回回地地取取两两次次每每次次取取出出一一个个

2、红红绿绿个个球球盒盒中中有有 BA则有则有 )(ABP.发发生生的的可可能能性性大大小小的的发发生生并并不不影影响响它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 53)(BP 引例，则，则若若0)( AP.,)()()(,独独立立简简称称相相互互独独立立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是两两事事件件设设BABABPAPABPBA 2. 定义注注. 1则则若若, 0)( AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.2 独立与互斥

3、的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 则则例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.可以证明：可以证明： 特殊地，特殊地，时时，有有当当0)(, 0)( BPAPA与与B 独立独立 A与与B 相容相容(

4、 不互斥不互斥) 或或 A与与B 互斥互斥 A与与B 不独立不独立证证若若A与与B 独立独立, 则则 )()()(BPAPABP 0)(, 0)( BPAP0)()()( BPAPABP AB故故即即 A与与B 不互斥不互斥(相容相容).若若A与与B互斥，则互斥，则 AB = B发生时，发生时，A一定不发生一定不发生.0)( BAP这表明这表明: B的发生会影响的发生会影响 A发生的可能性发生的可能性(造成造成A不发生不发生), 即即B的发生造成的发生造成 A发生的概率为零发生的概率为零. 所以所以A与与B不独立不独立.理解理解: BA3.性质1.5(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可

5、能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.证证 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1 P(A)= P( ) P(A)即即 与与A独立独立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 与与A独立独立.(2) 若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件也相互独立也相互独立.；与与 BA；与与 BA.BA 与与证证 BAABBBAAA )()()()(BAPABPAP )()()(ABPAPBAP 注注 称此为二事件的独立性称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭关于逆运算封闭.又又 A与与B相互独立相互独立)()()(ABPAP

6、BAP )()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP )(对偶律对偶律BABA )()(BAPBAP )(1BAP )(1BAP )()()(1ABPBPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1 APBPAP )(1 )(1 BPAP ).()(BPAP 例例1 分别掷两枚均匀的硬币，令分别掷两枚均匀的硬币，令A=硬币甲出现正面硬币甲出现正面H，B=硬币乙出现反面硬币乙出现反面T，试验证，试验证A、B相互独立相互独立 解解 样本空间样本空间 =HH, HT, TH, TT共含有共含有4个基本事个基本事件，它们发生的概率均为件，它们发生的概率均为1/4而而A=

7、HH, HT，B=HT, TT，AB=HT，故有，故有P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ，所以所以A、B相互独立相互独立甲甲, 乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中已知甲击中敌机的概率为敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 B= 乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中 .BAC 则则依题设依题设,5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP A与与B不互斥不互斥 ( P(A)+P(B)=1.11P(A+B) )由于由于 甲

8、，乙甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不影射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以响乙击中敌机的可能性，所以 A与与B独立独立,进而进而.独独立立与与 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.81. 三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念(二) 多个事件的独立性定义定义.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2. 三事件相互独立的概念三事件相互

9、独立的概念定义.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. n 个事件的独立性定义定义 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21两两两两相相互互独独立立，则则称称nA

10、AA.12)11(1032个式子个式子共共nCCCCCnnnnnnnn 定义定义)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互独独立立，则则称称nAAA 例例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令孩是等可能的，令A=一个家庭中有男孩，又有女孩一个家庭中有男孩，又有女孩，B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形讨论对下列两种情形讨论A与与B的独立性；的独立性；（1）家庭中有两个小孩；（）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。）家庭中有三个小孩。 A=(男，女），（女，男）

11、男，女），（女，男）解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,其概率各为1/4,此时B=(男，男)(男，女)(女，男)AB=(男，女)(女，男)P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=1/2 则事件A,B不独立，（2）类似可求，但有P(AB)=P(A)P(B)成立，则A与B相互独立。注注. 相互独立相互独立nAAA,21两两相互独立两两相互独立nAAA,21设一个口袋里装有四张形状相同的卡设一个口袋里装有四张形状相同的卡片片.在这四张卡片上依次标有下列各组在这四张卡片上依次标有下列各组数字：数字：110，101，011，000 从袋中任取一张卡片，记从袋中任取一张卡片，记1位

12、位上上的的数数字字为为取取到到的的卡卡片片第第 iAi 证明：证明：;,)1(321两两相互独立两两相互独立AAA.,)2(321不相互独立不相互独立AAA练证证 (1)()(2142)(321APAPAP 41)(21 AAP)()(21APAP 41)(31 AAP)()(31APAP 41)(32 AAP)()(32APAP ;,321两两相互独立两两相互独立AAA )()2(321AAAP040 81)()()(321 APAPAP.,321不相互独立不相互独立AAA110，101，011，000.)2(,)2(,. 121个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任意其中任意则则相互独

13、立相互独立若事件若事件nkknAAAn )( . ,)(,.运运算算封封闭闭独独立立性性关关于于个个事事件件仍仍相相互互独独立立所所得得的的立立事事件件们们的的对对中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它则则将将相相互互独独立立个个事事件件若若nAAAnAAAnnn212122 两个结论n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:nAAA,21设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则）nAAAP211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率

14、的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(nAAAP21结论的应用结论的应用nAAA,21则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：nAAA,21至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“)(nAAAP21=1- - p1 pn 例例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒假设每个人血清中是否含有肝炎

15、病毒相互独立，混合相互独立，混合100个人的血清，求此血清个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率中含有肝炎病毒的概率.解解,1,2,.100iAii第 人的血清含有肝炎病毒则则004. 0)( iAP10021AAAB 100肝肝炎炎病病毒毒个个人人的的混混合合血血清清中中含含有有 B依题设，依题设，相互独立相互独立10021,AAA)()(10021AAAPBP )(110021AAAP )(110021AAAP )()()(110021APAPAP 1001)(11AP 100)004. 01(1 100)996. 0(1 33. 0 事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的

16、应用：中的应用：一个元件的可靠性一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常由元件组成的系统正常工作的概率工作的概率. 例例5 设一个系统由设一个系统由2n 个元件组成，每个元件个元件组成，每个元件的可靠性均为的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作是相，且各元件能否正常工作是相互独立的互独立的.(1) 求下列两个系统求下列两个系统和和的可靠性；的可靠性；(2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？系统系统.系统系统.解解,个个元元件件正正常常工工作作第第设设iAi rAPi )(则则),2,1(ni 设设 B

17、1= 系统系统正常工作正常工作n+22nn+112nn+22nn+112n B2= 系统系统正常工作正常工作考察系统考察系统：设设 C = 通路通路正常工作正常工作 ， D= 通路通路正常工作正常工作 每条通路正常工作每条通路正常工作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而 系统系统正常工作正常工作两条通路中两条通路中至少至少有一条正常工作有一条正常工作DCB 1nnnnAAAAAA22121 )()(21nAAAPCP )()()(21nAPAPAP nr )()(221nnnAAAPDP )()()(221nnnAPAPAP nr )()(1DCPBP )(1DCP )(1DCP

18、)()(1DPCP 2)1(1nr )2(nnrr 系统系统正常工作的概率：正常工作的概率：考察系统考察系统：系统系统正常工作正常工作通路上的每对并通路上的每对并联元件正常工作联元件正常工作 B2= 系统系统正常工作正常工作)()(22211nnnnAAAAAA )(1)(iniiniAAPAAP )(1iniAAP )()(1iniAPAP 2)1(1r )2(rr ), 2, 1(ni )()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBP 所以，系统所以，系统正常工作的概率：正常工作的概率：nrr)2( nnrr)2( (2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？10

19、 rnnnnnnrrrrfrrfrfrfxfyxxnnxfnxxf 2)2(, 12)2(1)1()2)2(2)()2()()0(0)1()()2()(2亦即亦即即即是凹的，从而是凹的，从而故曲线故曲线，则，则令令nnrr 2)2()()(12BPBP 即系统即系统的可靠性比系统的可靠性比系统的大的大.,发发生生的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件表表示示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n推导如下：推导如下：,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1

20、 knAAA三、内容小结)()()(,. 1BPAPABPBA 两事件独立两事件独立 ).()()()(),()()(),()()(),()()(,CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA三个事件相互独立三个事件相互独立.,. 2相相互互独独立立与与与与与与相相互互独独立立重重要要结结论论BABABABA则则相相互互独独立立设设事事件件,nAAA213)(nAAAP21）nAAAP211( )()()(nAPAPAP211作业：作业：P56 37;43(3,4)备用题伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色其第一面染成红色,

21、第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A , B, C 分别分别记投一次四面体出现红记投一次四面体出现红, 白白, 黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件, 问问 A,B,C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红由于在四面体中红, 白白, 黑分别出现两面黑分别出现两面, 因此因此,21)()()( CPBPAP又由题意知又由题意知例例2-1,41)()()( ACPBCPABP故有故有因此因此 A、B、C 不相互独立不相互独立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(C

22、PAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击问击落飞机的概率是多少落飞机的概率是多少?射击问题射击问题1解解,名射手击落飞机名射手击落飞机第第为为设事件设事件iAi事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, ,1021AAAB 则则.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPA

23、P .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 ,个个人人击击中中敌敌机机表表示示有有设设iAiA, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机分别表示甲、乙、丙击中敌机 , ,1CBACBACBAA 由于由于,

24、7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP则则2)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 因为因为)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP 7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458.