第七章 参数估计

1、第七章 参数估计o第一节第一节 点估计、区间估计与标准误点估计、区间估计与标准误o第二节第二节 总体平均数的估计总体平均数的估计o第三节第三节 标准差与方差的区间估计标准差与方差的区间估计o第四节第四节 相关系数的区间估计相关系数的区间估计o第五节第五节 比率及比率差异的区间估计比率及比率差异的区间估计o总体参数估计：总体参数估计：在研究中从样本获得一组数在研究中从样本获得一组数据后，通过这组信息，对总体特征进行估计，据后，通过这组信息，对总体特征进行估计，即从局部结果推论总体的情况。即从局部结果推论总体的情况。o总体参数估计分点估计和区间估计两种。总体参数估计分点估计和区间估计两种。第一节

2、点估计、区间估计与标准误o一、点估计的定义一、点估计的定义o点估计点估计(point estimation)：用某一样：用某一样本统计量的值来估计相应总体参数的值。本统计量的值来估计相应总体参数的值。o点估计的优点在于它能够提供总体参数的估点估计的优点在于它能够提供总体参数的估计值。计值。o二、良好估计量的标准二、良好估计量的标准o1.1.无偏性无偏性o无偏估计量无偏估计量(unbiased estimate)：用多个样：用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏差的平均本的统计量作为总体参数的估计值，其偏差的平均数为数为0。o样本平均数样本平均数 是总体平均数是总体平均数的无偏估计值；但样

3、的无偏估计值；但样本方差本方差s2不是总体方差不是总体方差2 2的无偏估计值，的无偏估计值，2 2的无的无偏估计值是偏估计值是 。X21nso2.2.有效性有效性o当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异小者有效性高，变异大者有效性低，偏估计变异小者有效性高，变异大者有效性低，即方差越小越好。即方差越小越好。 o的无偏估计值有的无偏估计值有 、Md、Mo等，但等，但 的的变异最小。故变异最小。故 是是最有效的估计值。最有效的估计值。XXXo3.3.一致性一致性o当样本容量无限增大时，估计值应能够越来当样本容量无限增大时，估计值应能够越来越接近它

4、所估计的总体参数，估计值越来越越接近它所估计的总体参数，估计值越来越精确，逐渐趋近于真值。精确，逐渐趋近于真值。o当当N时，时， ， 2 2。Xo4.4.充分性充分性o一个容量为一个容量为n的样本统计量，是否充分地反映的样本统计量，是否充分地反映了全部了全部n个数据所反映总体的信息。个数据所反映总体的信息。o 比比Md、Mo充分性高；充分性高； 比比AD、Q更具有更具有充分性。充分性。o点估计总是以误差的存在为前提，也不能提供点估计总是以误差的存在为前提，也不能提供正确估计的概率。正确估计的概率。Xo三、区间估计与标准误三、区间估计与标准误o（一）区间估计的定义（一）区间估计的定义o区间估计区

5、间估计(interval estimate)：根据估计量以一定：根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围，用数轴上的一可靠程度推断总体参数所在的区间范围，用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。段距离表示未知参数可能落入的范围。o区间估计在点估计的基础上，不仅给出一个估计的范围，区间估计在点估计的基础上，不仅给出一个估计的范围，使总体参数包含在这个范围之内，而且还能给出估计精使总体参数包含在这个范围之内，而且还能给出估计精度并说明估计结果的有把握的程度。度并说明估计结果的有把握的程度。o（二）置信区间与显著性水平（二）置信区间与显著性水平o置信区间置信区间(confidence

6、 interval, CI)：置：置信间距，是指在某一置信度时，总体参数所在信间距，是指在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。的区域距离或区域长度。o置信区间的上下两端点值称为置信界限置信区间的上下两端点值称为置信界限(confidence limits)。o显著性水平显著性水平(significance level)：估计总体：估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符号号 表示表示。有时也称之为意义阶段、信任系数等。有时也称之为意义阶段、信任系数等。o显著性水平在假设检验中，还指拒绝虚无假设时显著性水平在假设检验中，还指拒绝虚无

7、假设时可能出现的犯错误的概率水平。可能出现的犯错误的概率水平。o1 为置信度或置信水平为置信度或置信水平(confidence level)。o（三）区间估计的原理与标准误（三）区间估计的原理与标准误o区间估计是根据抽样分布理论，用抽样分布的区间估计是根据抽样分布理论，用抽样分布的标准误标准误(SE)计算区间长度，解释总体参数落入计算区间长度，解释总体参数落入某置信区间可能的概率。某置信区间可能的概率。o区间估计存在成功估计的概率大小及估计范围区间估计存在成功估计的概率大小及估计范围大小两个问题。大小两个问题。o统计分析一般采取的办法：在保证置信度的前统计分析一般采取的办法：在保证置信度的前提

8、下，尽可能提高精确度。提下，尽可能提高精确度。o0.05水平和水平和0.01水平是人们习惯上常用的两个显水平是人们习惯上常用的两个显著性水平。著性水平。o区间估计的原理是抽样分布理论。在计算区间估计区间估计的原理是抽样分布理论。在计算区间估计值，解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计值，解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及抽样分布的标准误量的分布规律及抽样分布的标准误(SE)。o抽样分布可提供概率解释，而标准误的大小决定区抽样分布可提供概率解释，而标准误的大小决定区间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标准误变小。准误变小。o

9、平均数的区间估计平均数的区间估计=X 第二节 总体平均数的估计o样本平均数的平均数与母总体的平均数相同样本平均数的平均数与母总体的平均数相同( )，故对平均数总体的平均数进行估，故对平均数总体的平均数进行估计就是对母总体平均数的估计。计就是对母总体平均数的估计。178X o一、估计总体平均数的步骤一、估计总体平均数的步骤o1.1.根据实得样本的数据，计算样本的平均数与标准根据实得样本的数据，计算样本的平均数与标准差。差。o2.2.计算标准误计算标准误 。o（1）当总体方差已知时）当总体方差已知时o（2）当总体方差未知时）当总体方差未知时XX=n1X=nsnX=1sno3.3.确定置信水平或显著

10、性水平。确定置信水平或显著性水平。o统计学上一般规定显著性水平统计学上一般规定显著性水平 为为0.05或或0.01。o4.4.根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表。计表。o一般当总体方差已知时，查正态表；当总体方一般当总体方差已知时，查正态表；当总体方差未知时，查差未知时，查t值表。确定值表。确定Z /2与与t /2。o5.5.计算置信区间。计算置信区间。o（1）如果查正态分布表，置信区间可写作：）如果查正态分布表，置信区间可写作：o（2）如果查）如果查t值表，置信区间可写作：值表，置信区间可写作：o6.6.解释总体平均数的置信区间。解释总体平均数的

11、置信区间。(1)/2(1)/2XXXX+ZZ /2/2XXXX+ZZ (1)/2(1)/2XXXX+tt /2/2XXXXtt o二、总体方差二、总体方差2 2已知时，对总体平均数已知时，对总体平均数的估的估计计o1.当总体分布为正态时，不论样本当总体分布为正态时，不论样本n的大小，的大小，其标准误均为：其标准误均为：o2.当总体为非正态分布时，只有当样本容量当总体为非正态分布时，只有当样本容量n30时，才能根据抽样分布对总体平均数时，才能根据抽样分布对总体平均数进进行估计，否则不能进行估计。行估计，否则不能进行估计。X=no【例例7-1】o已知母总体为正态分布，已知母总体为正态分布，=7.0

12、7=7.07，从这个，从这个总体中随机抽取总体中随机抽取n1=10和和n2=36的两个样的两个样本，分别计算出本，分别计算出 ， ，试问总，试问总体参数体参数的的0.95和和0.99置信区间。置信区间。1X279Xo解：解：o平均数的标准误：平均数的标准误： 117.072.2410Xn227.071.1836Xno用用n1=10的样本估计总体参数的样本估计总体参数：o0.95的置信区间的置信区间o0.99的置信区间的置信区间78 1.962.24791.96 1.1876.781.3782.58 2.24792.58 2.2472.283.8o根据根据n2=36的样本估计总体参数的样本估计总

13、体参数：o0.95的置信区间的置信区间o0.99的置信区间的置信区间76.781.378 1.96 1.1879 1.96 1.18792.58 1.18792.58 1.1875.782.04o【例例7-2】o有一个有一个49名学生的班级，某学科历年考试名学生的班级，某学科历年考试成绩的成绩的 ，又知今年某次考试成绩是，又知今年某次考试成绩是85分，试推论该班某学科学习的真实成绩分数。分，试推论该班某学科学习的真实成绩分数。 = o解：解：o定置信水平为定置信水平为0.95，查正态表得，查正态表得Z(1 )/2=1.96。50.7149Xn85 1.96 0.7185 1.96 0.7183

14、.686.4o三、总体方差三、总体方差2 2未知，对总体平均数的估计未知，对总体平均数的估计 o总体方差未知，用样本的无偏方差总体方差未知，用样本的无偏方差( )作为总体方作为总体方差的估计值，实现对总体平均数差的估计值，实现对总体平均数的估计。因为在总体的估计。因为在总体方差未知时，样本平均数的分布为方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查分布，故应查t值表，值表，确定确定t /2或或t(1 )/2。o有两种情况：有两种情况：o（1）总体的分布为正态时，可不管）总体的分布为正态时，可不管n之大小。之大小。o（2）总体分布为非正态时，只有）总体分布为非正态时，只有n30，才能用概率，才能用

15、概率对其抽样分布进行解释，否则不能推论。对其抽样分布进行解释，否则不能推论。o【例例7-3】o假设假设2 2未知，未知，n1=10， =78，s1=8，n2=36， =79，s2=9，问其总体参数，问其总体参数的的0.95置信区间是多少？置信区间是多少？2X21= 0 .2 8 6nso解：平均数的标准误解：平均数的标准误o0.95的置信区间的置信区间o当当n1=10时，时，df1=9，t0.05/2=2.26211111182.67110 1nXssnn22222191.52136 1nXssnno当当n2=36时，时，df2=35，t0.05/2=2.04271.9684.04 792.0

16、42 1.52792.042 1.5275.982.1782.2622.67782.2622.67o【例例7-4】o某班某班49人期末考试成绩为人期末考试成绩为85分，标准差分，标准差s=6，假设此项考试能反映学生的学习水平，假设此项考试能反映学生的学习水平，试推论该班学生学习的真实成绩分数。试推论该班学生学习的真实成绩分数。o解：解：ot0.05/2(40)=2.021o0.95的置信区间的置信区间852.021 0.86683.25 86.75第三节第三节 标准差与方差的区间估计标准差与方差的区间估计o一、标准差的区间估计一、标准差的区间估计o根据抽样分布的理论，当样本容量为根据抽样分布的

17、理论，当样本容量为n30时，时，样本标准差的分布为渐近正态分布，标准差的样本标准差的分布为渐近正态分布，标准差的平均数：平均数：o标准差分布的标准差：标准差分布的标准差：o置信区间可写作：置信区间可写作：sX2sn1/21/2nnssZsZo【例例7-5】o有一随机样本有一随机样本n=31，sn-1=5，问该样本，问该样本之总体标准差的之总体标准差的0.95置信区间。置信区间。o解：此题解：此题n30，样本标准差的分布可视为，样本标准差的分布可视为渐近正态分布，即渐近正态分布，即Z0.05/2=1.96。 o0.95的置信区间为：的置信区间为：50.6352 315 1.96 0.6355 1

18、.96 0.6353.766.24o二、方差的区间估计二、方差的区间估计o 根据根据2分布：分布： o自正态分布的总体中，随机抽取容量为自正态分布的总体中，随机抽取容量为n的样本，的样本，其样本方差与总体方差比值的分布为其样本方差与总体方差比值的分布为2分布，这样分布，这样可直接查可直接查2表确定其比值的表确定其比值的0.95与与0.99置信区间。置信区间。222122221nXXnsnso总体方差的总体方差的0.95与与0.99置信区间：置信区间：o查查df=n1的的2表确定表确定 与与 。2/22211222/21/211nnnsns2()/2o【例例7-6】o已知某测验分数的样本已知某测

19、验分数的样本n=10， ，问该测验分数总体方差问该测验分数总体方差2 2的的0.95和和0.99置信区间是多少？置信区间是多少？21o解：计算解：计算0.95的置信区间，此时的置信区间，此时 =0.05o查查2 表，表，df=9时，时， ， 20.025 919 20.975 92.729 0.2869 0.286192.720.1350.95o（2）计算）计算0.99的置信区间，此时的置信区间，此时 =0.01o查查2 表，表，df=9时，时， ， 20.005 923.6 20.995 91.7329 0.2869 0.28623.61.7320.111.49o【例例7-7】on=31，s

20、n-1=5问的问的0.95置信区间？置信区间？o解：先求方差的置信区间，当解：先求方差的置信区间，当df=30，查，查2表，表，o不等号两边都开平方，取正平方根，结果为不等号两边都开平方，取正平方根，结果为 20.0254720.97516.822230 530 54716.8215.9644.63.996.68o三、二总体方差之比的区间估计三、二总体方差之比的区间估计o根据根据F分布的意义，从总体方差为分布的意义，从总体方差为 与与 的两总体的两总体中，分别随机抽取容量为中，分别随机抽取容量为n1与与n2的两样本，计算其样的两样本，计算其样本方差之比本方差之比 ，服从，服从F分布分布(df1

21、=n11, odf2=n21)。因为样本方差只是。因为样本方差只是 与与 的无偏估计，的无偏估计，所以其样本方差之比所以其样本方差之比 ，多数围绕总体方，多数围绕总体方o差之比差之比 上下波动，少数有所偏离，形成上下波动，少数有所偏离，形成F分布。分布。22122121=nnsFs122121nnss22122121=nnsFs212222212= = o如果两总体方差如果两总体方差 ，其样本方差之，其样本方差之比多数应在比多数应在1上下摆动。因此，对二总体方上下摆动。因此，对二总体方差相等的区间估计用差相等的区间估计用 。11=ln21rZr2122=1o根据根据F分布，可估计二总体方差之比

22、的置信区间：分布，可估计二总体方差之比的置信区间：o若二总体相等，上式可写作：若二总体相等，上式可写作：1122222111/2222/21211nnnnssFFss11222211/222/21111nnnnssFFss o【例例7-8】已知已知n1=10， ，n2=15， 。问二总体方差之比。问二总体方差之比 在在0.99置信置信区间，能否说二总体方差相等？区间，能否说二总体方差相等？1215ns2216ns2122o解：解：o单侧概率，单侧概率，F0.01=4.03 (df1=9, df2=14)o0.99的置信区间：的置信区间：21221554.034.036621220.213.36

23、o（2）双侧概率，）双侧概率，F0.01=4.54，(df1=9，df2=14)o0.99的置信区间：的置信区间：21221554.544.546621220.183.78第四节第四节 相关系数的区间估计相关系数的区间估计o一、积差相关系数的抽样分布一、积差相关系数的抽样分布o（一）当总体的相关系数（一）当总体的相关系数为负值时，样本为负值时，样本r的分的分布呈不同程度的正偏态。当布呈不同程度的正偏态。当为正值时，相关系数为正值时，相关系数r的分布呈不同程度的负偏态。在的分布呈不同程度的负偏态。在0的情况下，的情况下，只有样本容量充分大（即只有样本容量充分大（即n500）时，才渐近正）时，才渐

24、近正态分布，而且趋于正态很慢。这时，抽样分布的标态分布，而且趋于正态很慢。这时，抽样分布的标准误准误(SEr)为为211rrno偏态分布偏态分布o两个特点：两个特点：o一是左右不对称（即所谓一是左右不对称（即所谓偏态偏态）；）；o二是当样本增大时，其均数趋向二是当样本增大时，其均数趋向正态分布正态分布。o偏态分布又可分为正偏态分布和负偏态分布两种类型：偏态分布又可分为正偏态分布和负偏态分布两种类型：o如果频数分布的高峰向左偏移，如果频数分布的高峰向左偏移，长尾长尾向右侧延伸称为向右侧延伸称为正偏态分正偏态分布，也称右偏态分布；布，也称右偏态分布；o如果频数分布的高峰向右偏移，长尾向左延伸则成为

25、如果频数分布的高峰向右偏移，长尾向左延伸则成为负偏态分负偏态分布，也称左偏态分布布，也称左偏态分布。1212121 2pe ee eDp pe ep q p q n np qnn n n o（二）当总体相关系数（二）当总体相关系数=0时，样本相关时，样本相关系数的分布，服从自由度系数的分布，服从自由度df=n2的的t分布，分布，标准误为：标准误为：212rrno（三）当总体相关系数（三）当总体相关系数0时，样本相关系数的时，样本相关系数的分布，只有当分布，只有当n充分大时，才渐近正态分布，其分充分大时，才渐近正态分布，其分布函数很复杂。布函数很复杂。o统计学家费舍利用统计学家费舍利用o 或或o

26、将将r值转换成值转换成Z值，这些值，这些Z值渐近服从正态分布，即值渐近服从正态分布，即费舍费舍Z分布，其标准误为：分布，其标准误为：13ZSEn1=1.1513lg1rZr221=1rrZZereo二、积差相关系数的区间估计二、积差相关系数的区间估计o（一）当总体相关系数为零时（一）当总体相关系数为零时odf=n2/2/2rrrtrt212rrno（二）当总体相关系数不为零时（二）当总体相关系数不为零时o1.n1.n500500/2/2rrrZrZ211rrno2.2.利用费舍利用费舍Z Z函数分布计算函数分布计算o利用利用Z的置信区间，估计相关系数的置信区间，估计相关系数r的置信区的置信区间

27、的具体步骤间的具体步骤o（1）将样本相关系数转换成）将样本相关系数转换成Z函数函数o利用公式计算利用公式计算o查查rZr转换表转换表1=1.1513lg1rZr221=1rrZZereo（2）计算）计算Zr的置信区间的置信区间oZrZ /2SEZ13ZSEno（3）将）将Zr的置信区间转换成相关系数的置信区间转换成相关系数o利用公式计算利用公式计算r值值o查附表查附表rZr转换表，将转换表，将Zr转换成转换成r值值2/212RRrrtno【例例7-9】o某校某校120名学生通过甲乙两测验，计算相关名学生通过甲乙两测验，计算相关系数为系数为r=0.24，问该两测验总体相关系数，问该两测验总体相关

28、系数的的0.95置信区间。置信区间。 o解：假设其总体相关系数为解：假设其总体相关系数为=0=0，ot0.05/2(118)=1.98（取（取df=120的近似值）的近似值）o0.95的置信区间的置信区间 2211 0.240.08921202rrSEn0.241.98 0.0890.241.98 0.0890.0640.416o查附表查附表8，r=0.24时时Zr=0.245 oZ0.05/2=1.96,因此因此0.95置信区间：置信区间：110.092531203ZSEn0.245 1.96 0.09250.245 1.96 0.0925rZ0.0640.426rZoZr=0.064，差附

29、表，差附表8（Zr-r转换表）转换表）得得r为为0.064oZr=0.426，查附表，查附表8（Zr-r转换表）转换表）得得r为为0.40（近似值）（近似值）o因此，总体相关系数因此，总体相关系数的置信区间为的置信区间为0.0640.0640.400.40。o三、等级相关系数的区间估计三、等级相关系数的区间估计o斯皮尔曼等级相关系数在斯皮尔曼等级相关系数在9n20时，时，rR的分的分布近似为布近似为df=n2， 的的t分布。分布。212RrrSEn5np df=n2o若若n20，rR的分布近似正态分布，标准误的分布近似正态分布，标准误ot /2改为改为Z /2求置信区间。求置信区间。1 po【

30、例例7-10】oN=15，rR=0.41，问其总体相关系数的，问其总体相关系数的0.95置信区置信区间。间。o解：解：o查查t表，表， t0.05/2(13)=2.160，0.95置信区间：置信区间：2211 0.410.2532152RrrSEn0.41 2.16 0.2530.136 0.956 第五节第五节 比率及比率差异的区间估计比率及比率差异的区间估计o一、比率的区间估计一、比率的区间估计o（一）比率的抽样分布（一）比率的抽样分布o比率的分布为二项分布。比率的分布为二项分布。o当当np5（或（或nq5）时，样本比率）时，样本比率 的分布为渐的分布为渐近正态分布。近正态分布。o平均数平

31、均数o标准误标准误ppppqn po样本比率样本比率 ，是总体比率，是总体比率p的点估计值，的点估计值，因此当总体因此当总体p、q未知时，可用未知时，可用 、 代替，代替， 比率的标准误：比率的标准误：xpn p q ppqno比率的标准误与二项分布的标准差意义相同，比率的标准误与二项分布的标准差意义相同，只是使用的单位不同。二项分布用成功的次数只是使用的单位不同。二项分布用成功的次数表示：表示：o若用比率表示，则：若用比率表示，则：=np= npq=pnpqpqnnn=pnppno（二）比率的区间估计（二）比率的区间估计o1.当当 时，比率的置信区间时，比率的置信区间np5/2/2ppqpq

32、pZpZnn o【例例7-11】o从四年级学生中随机选从四年级学生中随机选50人，施测某测验，人，施测某测验，结果通过者结果通过者30人，未通过者人，未通过者20人，问整个人，问整个四年级学生对该测验通过的人数比率。若四四年级学生对该测验通过的人数比率。若四年级有年级有500人，通过人数为多少？人，通过人数为多少？o解：解： oZ0.05/2=1.96，p的的0.95置信区间置信区间:o通过该测验的人数则为：通过该测验的人数则为： 300.650p 1 0.60.4q 5np 0.6 0.40.069350ppqn0.61.960.06930.46 0.74p 0.46 500 0.74 50

33、0230 370o【7-12】o某校随机抽取某校随机抽取174名学生进行兴趣调查，结名学生进行兴趣调查，结果发现其中优果发现其中优72人爱好音乐，是估计全校人爱好音乐，是估计全校爱好音乐的学生所占半分比的置信区间。爱好音乐的学生所占半分比的置信区间。o解：解：op的的0.95置信区间置信区间7204138174p 10.41380.5862q 5np 0.4138 0.58620.0373174ppqn0.4138 1.96 0.03730.341 0.487o2.当当 ，或，或 甚小时，此时二项分布不甚小时，此时二项分布不接近正态，也就是说比率的抽样分布不接近接近正态，也就是说比率的抽样分布

34、不接近正态。此时置信区间的估计，直接查根据二正态。此时置信区间的估计，直接查根据二项分布计算的统计表（附表项分布计算的统计表（附表13）。）。21=2RrrSEn2 po【例例7-13】o随机抽取初中三年级学生随机抽取初中三年级学生30人，调查得知人，调查得知严重偏科者为严重偏科者为3人，问初三学生偏科人数的人，问初三学生偏科人数的0.95置信区间，或初三学生偏科的真实人置信区间，或初三学生偏科的真实人数是多少？数是多少？o二、比率差异区间估计二、比率差异区间估计o（一）两样本比率差异的抽样分布（一）两样本比率差异的抽样分布o从总体比率分别为从总体比率分别为p1与与p2的两总体中随机抽取样本容的两总体中随机抽取样本容量为量为n1与与n2的样本，得到的样本，得到 与与 。当。当n1p15，n2p25时，统计量时，统计量 的分布为正态分布。的分布为正态分布。o平均数：平均数：o标准误：标准误：1212pppp121 12212ppp qp qnn p1 2=pppD221()=nXXsNo如果如果p1与与p2未知，可分别用两样本的比率未知