备战2018年高考数学一轮复习热点难点专题25利用正余弦定理破解解三角形问题

1、专题25利用正（余）弦定理破解解三角形问题考纲要求：1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题基础知识回顾：c1.S=absinC.21.abc=-=-=2R.其中sinAsinBsinCR是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：(1)a：b：c=sinA：sinB：sinC;(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c22accosB,c2=a2+b22abcosC.变形:cosA=b2+c2-a22bc，a+cbcosB=,cosC=2aca2+b2-

2、c220b.-1(1)S=Qaha(ha表小a边上的图).(2)111abcS=二absinC=二acsinB=二bcsinA=.2224R3.在ABC43,已知a,b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形2X-一一AAA日JY地/T"BCCkAAcB关系式a<bsinAa=bsinAbsinAvavba>ba>ba<b解的个数无解一解两解一解一解无解4.三角形常用的面积公式1（3）S=a（a+b+c）（r为内切圆半径）.应用举例：类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】【北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试】已知AABC中，B=-,a=

3、J2.333.一（n）若MBC的面积为,求b的值.【答案】(I)a=；(n)b=5/T4.4利用面积公式【解析】试题分析：tl)利用正弦定理得到siM=走,又得到锐角的值J2S=Locsin5解得仁=3点.由余弦定理知&=J'5.2试题解析：(I)解：由正弦定理号二二，可得当二里.所以就政二”.siiUsin?-虱2S1D一3JF在三角形中，由已知占"，所以$=.4(II)由面积公式S=1/jcsiii5可得逆以在，解得f二mJ5.2222由余?玄定理知.二M4-C3-C8S=2+18-5=14,所以b二4SBCD在BC边上，AD=【例2】【2017江苏泰兴中学高三月

4、考】在ABC中，/A=34,AB=6,AC=3/，点BQ求AD的长.【答案】10.【解析】设加的内角/胡Cjs,所对边的长分别是心也门由余弦定理得S=a+J-2北3/瓢=(3啦+片-2乂3版X6X34=18+36-36)=90,所认尸守诉.又由正弦定理得5MHim二2=*s31010由题设知0(史名所以3K。二寸在血中J因为幽二加，所以N勉U/瓦所以/皿U冗一2B,故由正弦无理得但7r=丁lL=产”16sin八一上8AmIfcosScos6点评：正、余弦定理的应用原则(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；

5、以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.类型二、利用正(余)弦定理判断三角形形状【例3】【重庆市第一中学2018届高三上学期期中考试】已知AABC的内角AB、C所对的边分别为3bca、b、c,满足tanA=22.b2c2-a2rji)(1)若A0,I,求角A;,2(2)若a+c=bcosC十73bsinC，试判断AABC的形状.【答案】(1)a=E;(2)&ABC为正三角形.3【解析】试题分析：根据三角函数

6、的余弦定理公式得到b2+c2-a2=2bccosA,结合题干中的公式可得珈公山当，根据特殊角的三角画数值得到/二£.由正弦定理得到2cos234“+$口©=4避85©+屈遥而，化简后得到3=',结合第一问得到&1BC为正三角形.3(1)由余弦定理知：庐+1_，=2m84,(2)a+c=bcosC+J3bsinC,由正弦定理有：sinA+sinC=sinBcosC+J3sinBsinC,而A=B+C,，sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+V3sinBsinC,即cosBsinC+sinC=/3sinBsinC,而sinC#0,73s

7、inB-cosB=1，.二sin'bL-,B=(0,n),B=工，6233_又由(1)知sinA=，:A=01)及B=,A=一,从而A=B=C=,2333因此MBC为正三角形.点睛：第一问结合余弦定理，得到角A的三角函数值；第二问，先由正弦定理的到cosBsinC+sinC=gsinBsinC,再化一得到角B,根据第一问A,得到两角相等，可以知道三角形为等边三角形。【例4】【2017河南洛阳统考】在MBC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且btanA,ctanB,btanB成等差数列.(1)求角A；(2)若a=2,试判断当bc取最大值时AABC的形状，并说明理由.冗【答案】(1

8、)A=;(2)等边三角形.3【解析】(1)因为btanA,ctanB,btanB成等差数列，所以btanA=(2cb)tanB.由正弦te理得sin二一,=2sinC-sinB卜义建,又因为0<B，所以sinB#0,coscos三所以sinAcosB=2sinCcosA-cosAsinB,即sin(A+B)=2sinCcosA,所以sinC=2sinCcosA,又因为0<C父冗，所以sinC#0,所以cosA=1,而0mAcn,所以a=±.23一.22.,(2)由余弦定理得a2=b2+c2_2bccos£,所以4=b+cbe之2bebe=be,3当且仅当b=c时

9、取等号.即当b=c=2时，bc取得最大值.此时AABC等边三角形.类型三、利用正(余)弦定理解决与三角形面积有关的问题【例5】【河北省石家庄市普通高中2018届高三10月份月考】设ABC勺内角A,B,C所对的边长分别为a,4b,c,且cosB=,b=2.5(1)若A=30°,求a；(2)求ABC面积的最大值.5【答案】(1)a=(2)3343【解析】试题分析：<1)785=不二4亚=,由正弦定理求出口的值；(2)由余弦定理，结合基本不等式，求出血的最大值，艮阿求出&”C面积的最大值.aah劭力9=一试题解析：因为号=右，所以5.ab-c因为*=*+<?,ABC,由

10、正弦定理日nd端n占可得。二3(2)因为4=M+d9r=。工+d16的面积标+d20f_0a+c=2710,所以o因为1+1之Zac,所以2函-工函三4,所以。心w1。，(当以=e=J15时等号成立)所以MBC面积的最大值为3.【例6】【2017浙江省金华、丽水等十二校高三联考】在&ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b(1-2cosA)=2acosB.(1)证明：b=2c；(2)若a=1,tanA=2衣，求ABC的面积.【答案】(1)详见解析；(2)逑.11【解析】(1)28$4)=2185由正弓统理得我用(1285冷=24口/8£刀J艮口si口方=2sinc

11、os£=2cossin8=24口(*+丑)=2sinC,即b=2cx(2)"/tanX-5-=2/2r/.sinJ=22cos-Xj5iDiJ+cos2j<=(2/2c©sJ)2+cos2j1=1,cosj4解得3/=苧，由余弦定理有8"=叫二生/I，解得d力2722V21.二.3,Sl二一加工口二仁sinA-j3211点评：三角形面积公式的应用原则A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.1.一1._1.(1)对于面积公式S=-absinC=-acsinB=-bcsin222(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.方法

12、、规律归纳：1 .三角形中常见的结论(1) A+B+C=兀.(2)在ABC43,A>B?a>b?sinA>sinB?cosAvcosB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(4)三角形内的诱导公式：sin(A+E)=sinC；cos(A+B)=cosC；A+BCA+BCtan(A+B)=tanC；sin-2-=cos;cos-2-=sin2.(6)在ABC,A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.(7) 4ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列且a,b,c成等比数列.2 .判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边

13、为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.实战演练：1.12017四川省成都市高三摸底】在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,2bcosC-2ccosB=a,则角A的大小为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由正弓玄定理得2siuBssC2sinCeos=sin/=sin(H+C)=&inBcosC+cosBsinCfsin£0osC=3swCoosiD2Ccos03sinCeos2Ca,IcosC2=3(cosCa-sinCa),tm?C=：tanC=

14、日,：且=2C,_C为锐角，所以C=£/=£.3 6322.12017北京市高三入学定位考试】在AABC中，若b=1,c=J3,A=E,则cos5B=()6A.-B.1C.1或-1D.立或02222【答案】A3【解析】由b=1,c=J3,A=结合余弦定理得a=1+32父1父43M=1,得a=1,由a=b,62二f5二3-B-A=,cos5B=cos=662c3.12017河南省天一大联考】在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若：<cosA,则AABC为.bA钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】AcsinC一【斛析】根据正弦te理

15、信一=<cosA,那么sinC=sinBcosA，根据A+B+C=n，所以bsinBsinC=sin(A+B),所以sin(A+B)<sinBcosA,整理为：sinAcosB<0,三角形中sinA>0,所以cosB<0,那么一<B<冗.24.12017河南省郑州市高三质检】已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且(bc)(sinB+sinC)=(ag3c)sinA,则角B的大小为()A.30°B,45°C,60°D120°【答案】A3+C-If的F，所以【解析】由正弦定理一二7(i>-955

16、+sin(丹一毡#/得gd(8+0-sinAsm出sxnC(皆一短0为即犬一J二才一胡的，所以才+P-b=而占的又因为所以归寸,5.【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知HEC的内角力，R,。所对的边分别为。，匕，*且a+2c=2bcosA（1）求角B的大小；（2）若方=2点，以+匚=4,求4AC的面积.【答案】（1）3（2）/【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角关系化简得_1cosH=_1c7?72,即得角R（2）由余弦定理得。十皿=12,配方得9+。-口£二12,解得四=4,最后根据三角形面积公式求面积试题解析：（1）因为口+

17、2。=2比0艰，由正弦定理，得sim4十2印门。=2里门氏口s4.因为+可，所以sin4+2sinC4+E）=2smHcosA.即sin4+lainAuu5B+2gRsinB=ZumRcoM,n1CQ15所以;sin4，（l十及0sB）=0,因为sim4W0,所以,2.又因为0</?<叮，2ftB=所以3.（2）由余弦定理/+/-益“。5H=/及h=2&得，X+C函=iz,即9+。"-此=12.又因为+匚=4,1%#LS耍arc-acsinB=-x4x-=j3所以"=4,所以“网222”6.【黑龙江省齐齐哈尔地区八校2018届高三期中联考】在“人RC中,

18、角几日£所对的边分别为口也12cosAcosCcosB-,（1）若公”成等比数列，13,求亢曲5.C的值.若皿,-皿组=回出皿娟-麻EHwH,"b,且。=2,求翻网周长的取值范围.13【答案】（1）5；（2）（4,6）.【解析】试题分析：(1)由&瓦。成等比数列，可得配=oc，根据正弦定理可得sinZBusirMsinC,再由cos8=|j求出角Bd的最小值，将言+署通分，利用两角和的正弦公式化简为自，从而可得结果；2)利用二倍角的正弦公式及二倍角的余弦公式将8s2A-ss28=eSiIMcaM-esiI山casB化为而(28-9=.(24-9，可得C=W,再利用正

19、弦定理将日月BC周长表示为就+9，利用三角函数的有界性可得结果.试题解析：(1)vcos5=b,/s,n5=il,由2,C成等比数列,得心.又由正弦定理,得sin'3=sinXsinC,sinAsinCsinCcosA+cosCsinAsin(C+/)sinBsinAsinCsinAsinCsin2BsinB13=".例28裔=淅卜1)；cos2/+lco$2B+1&.、上百.,、.sm2Asm2B(2)原等式可化为2222an-sin2BCGs2fi="-sin2-cos2X即2222一改,小氏又"，8E(0叱,8弋2-及索X+-B=-jr-_C

20、=3,又，3.=-=-A=atB=雷一（d+C）=又。-2,由正弦JE理sindsin8Ein匕，设3,44得如a崎喑y浮飞侧。)1=0+b+c，&4C周长4.4.2茎、,-stn&+71口（彳-骁）+2a闺s+/4）+2=专g./亭.2#0<<?<-a9且，且0十用台孔所以7注以7.【山东省滨州市2018届高三上学期期中考试】在AABC中，内角A,B,C的对边分别为2巾储，且庆=生，3a=27(I)若b=2,求sinB的值；(n)若b+c=6,求AABC的面积.21【答案】（I）sinB=；（n）2V3.14【解析】试题分析：(I)直接在AABC中运用正弦定

21、理即可得出结论;(n)由已知及余弦定理可求bc=8,进而利用三角形面积公式即可计算得解试题解析：(I)在AABC中，由正弦定理得2出二2-.2sinBsin32二.32sin2痴,解得sinB=尸3=2-=,2.72.714.21所以sinB=14-8ser）+2=4眄值+/）+2(n)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得28=b2+c2+bc,所以28=(b+cj-bc,因为b+c=6,所以bc=8,所以AABC的面积为SbcsinA=1=2Q.22218.【北京市海淀区2018届局三上学期期中考试】如图，在四边形ACBD中，cos/CAD=，且ABC7为正三角形.(I)求cos/

22、BAD的值;(n)若CD=4,BD=J3,求AB和AD的长.【答案】U(2)AB=",AD="14【解析】试题分析：(I)由8叱皱二一工，可得就二空，利用两角差的余弦公式可求得77cosZAW的值f(II)AB=ACBCxf犯二了，在和&1见中由余弦定理得x2+y2+jq?=16;，解方程组即可的结果.1+/一亍呼=3试题解析：C【)因为8辽CAD=-f/CADE町j,五=cos-CAD一一3=cos/CADcossinZCADsin一33114.3.31F一7272_11一14(n)设AB=AC=BC=x,AD=y，在AACD和AABD中由余弦定理得AC2AB2A

23、D2-2ACADcosCAD=CD222AD2-2ABADcos.BAD=BD2代入得222/exyxy=16(72211xy-xy=37解得x=f或x=f(舍)y=,7y=-79.MBC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量mcosA,sinA*，；2-sinA,cosA.(1)若m+A|=2,求角A的大小;(2)右mn=1,a=3,/C=，求c的值.3【答案】二3.6(1)一;(2)二642【解析】试题分析：(1)由同+司二小。+oo必-sinJ+coszl+sin/4)=54+2*/(8以一切必)=2,可得tan?d=1,从而可得结果(2)由为法元=1,可得cosj!=以再由正弦定理可得结果.4试题解析：1)由已知而+荷=(应+844必#05/+4山4)1所以同+同=j及+8M-sW）+（8Sji+&皿4）1，4+zJ（ssA-嘘nA）=2?所以4+R5（coiX-sinji）=4,解得co&j4=sinatanJ=1TT又因为。/用,所以H二二.4(2)因为法.k=1,所以coJ(J5siiU)十siivi8s=1,则81=4，所以/小因为，二二上,则工=,解得。=垃suvfsmC而X243【方法点睛】以三角形和平面向量为