大学物理质点动力学习题解答

1、第二章习题解答2-17质量为2kg的质点的运动学方程为r=(6t2-1)i?+(3t2+3t+1)?(单位：米，秒)，求证质点受包力而运动，并求力的方向大小。解：=a=d21/dt2=12?+6?,日=病=24?+12?为一与时间无关的恒矢量，质点受包力而运动。F=(242+122)1/2=12j5N,力与x轴之间夹角为:二二arctgFy/Fx=arctg0.5=26342-18质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为:r=acosot?+bsinot?,a,b,为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。证明：,a=d2r/dt2-2(acost?bsint?)-2r4f2f1

2、T，=“N2,rNi工2gF=ma=-mco2r,。作用于质点的合力总指向原点2-19在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2,物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为n,求在力F的作用下两物体的加速度及纯内张力，不计滑轮和纯的质量及轴承摩擦，绳不可1NiT*f11Fmga*伸长。解：以地为参考系，隔离m1,m2,受力及运动情况如图示，其中：f1=Ni=m1g,f2=.N2=.(N1+m2g)=.(m1+m2)g.在水平方向对两个质点应用牛二定律：T-Nm1g=m1aF-m1g-R(m1+m2)g-T=m2a+可求得：a=F-2Nm1g_Rgmm2将a代入中，可求得：T=m1(F小mm22-20天

3、平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2的物体(mwm2)，天平右端的托盘上放有整码.问天平托盘和八整码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和纯的质量及轴以承摩擦，绳不伸长。入解：(B离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用口后匕心牛顿第二定律：m1gTm2gTTT-m1g=mm2gT=m2aT=2T由可求得:2mim2g2mlm2gmim2mim2I二,I=所以，天平右端的总重量应该等于T,天平才能保持平衡。2-2i一个机械装置如图所示，人的质量为mi=60kg,人所站的底板的质量为m2=30kgo设绳子和滑轮的质量以及滑轮轴承的摩擦力都可略去不计，若想使

4、所站着的底板在空中静止不动,此人应以多大的力量拉绳子？此时人对升降机的压力是多大?解：装置的各部分和人的受力如图所示，据题意有:Ti=TiT2=丁2T3=丁3N=NT2=2T3Ti=T2TiT3-N-m2g=0T3N-m1g2.21题图IIIIIIIIIIIIIIIIIIII解方程组得:i/、T3=4gm2)g一i、N(3m)-m2)g4代入数据得:(T3=220.5N,即人应以220。5N的力量拉绳子？此时人对升降机的压N=367.5N力是367.5N。2-22桌面上有一质量mi=1kg的木板，板上放一个质量为m2=2kg的物体。已知物体和板之间的滑动摩擦系数=0.4,静摩擦系数为Mq=0.

5、5,板和桌面间的滑动摩擦系数H=0.3o222题图(i)今以水平力拉板，物体和板一起以加速度a=im/J运动，计算物体和板以及板和桌面间的相互作用力;(2)若使板从物体下抽出，至少需用多大的力？解：以地为参考系，隔离mi、m2,其受力与运动情况如图所示,f2fiN2Fa2NiaifimigJNim2g,(1)物体和板之间的最大静摩擦力可提供的最大加速度大于a=1m/s2,所以它们之间无相对运动。fi=1Nf2=2.94NJ=maif2=N2心解方程组并代入数据得:N2-N1-m2g=0所以物体和板以及板和桌面间的相互作用力分别为1N和2.94N(2)其中，Ni=Ni,fi=fi=noNi,f2

6、=n2N2,选图示坐标系o-xy,对mi,m2分别应用牛顿二定律，有oNimiai”im1g=0JF-0N1-2N2-m2a2JN2-N1-m2g=0解方程组，得a1二0ga2=F-J0m1g-2m1g-2m2g/m2要把木板从下面抽出来，必须满足a2ai,即F-mig-2mig-2m2gm20gFJ0J2mlm2g=0.50.3129.8=2.352N即要把木板从下面抽出来，沿水平方向必须用大于2.352N的力2.23沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg,t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度(注意，推力大于重力时才启动)F(N)t(s)I解：根据推力

7、F-t图像，可知F=4.9t(t020),令F=mg,98即4.9t=2X9.8,t=4s,因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0;t=420sJ：为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20S时，y=yi,V=Vmaxt20s为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标y=y2.第二阶段的动力学方程为：F-mg=mdv/dtdv=F/mdt-gdt=4.9/2tdt-9.8dtvttodv=4.9/2Jdt-9.8工出t20._.2v=4.9/4t-9.8t44.9t20vmax=v(20)=314m/sdy=vdt=

8、(4.9/4t2-9.8t44.9)dty12022020j.|0dy=4.9/44tdt9.8；tdt+4M4.91dty1=1672m第三阶段运动学方程2_v=314-9.8(t-20)(1),y-y1=314(t-20)-4.9(t-20)2(2)令v=0,由（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32,代入（2）中，得y2-y1=5030y2=ymax=5030+1672=6702（m）2.24 汽车质量为1.2X10kN,在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15,沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t（m）,自t=5s开始匀速运动，试求公路面

9、作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力的大小，并指出是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示：v=ds/dt=1.5t2+20,v|t=5=1.5X52+20=57.5m/s,an=v2/R=57.52/100=33设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy,应用牛顿第律：Ncos，fsin二二mgNcos=mg-fsinaNsin”Tcos：-manNsin久=man+fcostf=m(g0-an)cos4-sin：tg：/得：tg：=(manfcos：)/(mg-fsin二)mgtg:-fsin-tg-=manfcos：,:gtgu-an=9

10、.8tg15“-33=-30.430,二f0,说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。2.25 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tga=0.02,所受阻力等于卡车重量的0.04,如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少?解：设卡车匀速上坡时，速率为v,牵引力为F,功率为N,由质点平衡方程有，F=(0.04+sina)mg,.N=Fv=(0.04+sina)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v,牵引力为F,功率为N,由质点平衡方程有F+mgsina=0.04mg,F=(0.04-sina)mg,N=(0.04-sina)mgv.令N=N,即(0.

11、04+sina)mgv=(0.04-sina)mgv,可求得：v=v(0.04+sina)/(0.04-sina).利用三角函数关系式，可求得：sina=tga=0.02,v=3v=3X15X103/602m/s=12.5m/s.2.26 如图所示，质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N,木块在A点时具有向右的速率v=6m/s、求力T将木块从A拉至B点时的速度。20.m8s/2.27题图口2.26题图已解：以A为原点建立图示坐标o-x,木块由A到B,只有拉力T做功:444AWxc2dx二普：0004

12、(4-x)294/2d(4-x)29=一:2(4-x)20=50(4-x)2+9|：=50父(53)=100J设木块到达B时的速度为v,由动能定理：A=gmv23mv02v=j2A/m+v02=2x100/0.5+6220.88m/s,方向向右2.27 如图所示，质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F,F=60N,木块在A处有向上的速度v=2m/s,求木块被拉至B时的速度。3.86m/s.解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy,木块在由A到B的运动过程中受三个力的作用，各力做功分别是：An=0;Aw=-mg(yB-

13、yA)=-1.2X9.8X0.5=-5.88J;F大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。0.50.50.505、，AF=fFydy刁FcosHdy=dy00.5T00.52(0.5-y)24/2d(0.5-y)2二-00.50.52(0.5-y)2/2d0.52(0.5-y)2=亨父20.52+(0.5y)21/2|0.5=0.5F(2-1)=0.560(-2-1)=12.43J22由动能止理：AnAwAf=mvB-1mvA代入数据，求得vb=3.86m/s.2.28 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置,并以速度V0向右运动，弹簧的劲度系数为

14、k,物体与支撑面间的滑动摩擦系数为N求证物体能达到的最远距离l为1十瓦1)kmg证明：质点m由弹簧原长位置运动到最远位置1,弹力F和滑动摩擦力f对质点做负功，导致质点动能由mvo2/2变为0。根据动能定理：AF+Af=0-mvo2/2其中，A=kjldl=gk12,Af=Nmgl,代入中，并整理，有：kl2+2nmgl-mvo2=0.这是一个关于l的一元二次方程，其根为：.22-2mg二(2mg)4kmv0l=2k,负根显然不合题意，舍去，所以，l=-个。+N(Nmg)2+kmv。2=丁市+-1)2.29 滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度vc刚好在水平方向，已知

15、A、B两点的垂直距离为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30o角，不计摩擦，求：运动员离开B处的速率vb;B、C的垂直高度差h及沟宽d;运动员到达平台时的速率vc.工器题图解：运动员在整个运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒，取B点为势能零点。mgH=mvB2/2二vb=2gH=29.825=22.1m/s运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜抛运动规律可知，vc=vbcos30o=19.1m/smvB2/2=mvc2/2+mghh=(vb2-vc2)/2g=6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：=0=vBsin30o-gt,t=vb/2g=1.13s,由水平方向的

16、位移公式可求得跨越距离d=VBcos30ot=21.6m.230题图2.30装置如图所示，球的质量为5kg,杆AB长1m,AC长0.1m,A点距O点0.5m,弹簧的劲度系数为800N/m,杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时的速度为V,弹簧原长：l=、，0.52+0.12=0.51,在小球从水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：0=2mv2-mgAB+2k(OA+AC-l0)2,可求得：v=.J2gAB-k(OAAC-l

17、0)2/m-229.81-800(0.50.1-0.51)2/5-4.28m/s2.31卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当a粒子和氢原子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明，氢原子速度可达a粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射a粒子能量的64%。试证明此结论(碰撞是完全弹性的，且a粒子质量接近氢原子质量的四倍)。证明：设氢原子质量为m,碰前速度为零，碰后速度VH,a粒子质量为4m,碰前速度为V.，碰后速度为VJ根据完全弹性碰撞基本公式：4mVa=4mVa+mvH日口4v0f=4v0t4VH(1)“即，1VS-%=vh-%十X4,彳#8v=5vh,vh=8vJ5=1.6vEh二mvH

18、2/2EO(4mvJ/22(1.6v-.)2-2-=0.644V2.32m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率v滑行并与m碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。解：整个过程可分为两个阶段：第一阶段，机车与车厢发生完全非弹性碰撞而获得共同速度v,由于轨道阻力远小于冲力，可认为质点系动量守恒，Mv=(M+m)v,v=Mv/(M+m)第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了s,速度由v变为零，由动能定理，有-fs=0-(M+m)v2/2,一.22将v,代入，可求得f=m2.33 如图所示，质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg,

19、用l=1m长的纯子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度，问摆沿铅直方向升起若干？233题图解：用v0,v分别表示子弹穿过摆前后的速度，u表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆开起的最大高度为h由动量守恒：mv0=mv+MV,可得V-m(v0-v)-0.002(500-100)-0.8由能量守恒：MV2=Mgh2_2h=V2/2g=0.82/(29.8)=0.033m2.34 如图所示一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm,今有一质量为200g的铅快在高30cm处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。解：框架静止时，弹簧伸长Al=0

20、.1m,由平衡条件mg=kAl,求得:k=mg/Al=0.2X9.8/0.1=19.6N/m2铅块洛下h=30cm后的速度v。，可由能重寸包方程求出：mgh=Wmv。2二4题图v0=2gh=29.80.3=2.42m/s设铅快与框架碰后的共同速度为v,由动量守恒:mv0=2mv,v=-2v0=2.42/2=1.21m/s设框架下落的最大距离为x,由机械能守恒：*m+m)v2+2kl2=(8+x)2-2mgx,进行整理并代入数据，可得x的一元二次方程：x2-0.2x-0.03=0,x=0.3m2.35 如图所示，质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧

21、相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为mo=0.01kg的子弹以速率vo=100m/s沿水平方向射于mi内，问弹簧最多压缩了多少？解：整个过程可分为两个阶段处理。第一阶段：子弹射入mi内，发生完全非弹性碰撞，动量守恒，设子弹质量为m。，子弹与mi获得的共同速度为v,则有m0V0=(mi+m0)vv=v0m0/(mi+m0)(1)第二阶段：子弹与mi以共同速度v开始压缩弹簧至mi与m2有相同的速度V,压缩结束；在此过程中，由m0,mi,m2组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为l.由动量守恒，有：(mim0)v=(mim2m0)Vmimm0v0V二v二m1m2mom1m

22、2mo由能量守恒:2(mim0)v2=2(mim2m0)V22kl2(3)将、代入中，可求得：,1,11、l=m0Vo():0.25mkm1mom1m2m02.36 -10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g的小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。解：设鸟被子弹击中后与子弹共有的速度为v,由动m1Vo=(色mz)v=10m/sv二mivo=0.01110m1m20.010.1由平抛运动公式h=12gt2,可求得子弹落地时间:t=、2h/g=/2父4.9/9.8=1s,所以，水平距离S=vt=10X1=10m2.37 棒球质量为0.

23、14kg,用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s,求力的最大值，打击时，不计重力。2.37题图解：由F-t图可知:当0MtM0.05时,F=0.05Fmax当0.05WtM0.08时，F=00Fmax斜截式方程y=kx+b,两点式方程(y-yi)/(x-xi)=(y2-yi)/(X2-xi)0.080.050.08由动量定理：m.v=Fdt=富tdt菊(0.08-t)dt000.05可求得Fmax=245N2.38 地球质量为6.0X1024kg,地球与太阳相距149X106km,视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。2.65M10

24、40kgm2/sQ2242二(149109)2解：L=mvr=mr=6.010365246060_，-26.02二1494210365246060一一402=2.6510kgm/s2.39 一个质量为m的质点在o-xy平面内运动，其位置矢量为r=acoaW+bst?,其中a、b和是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。证明：v=dr/dt=-asint?bcost?22.02a=dv/dt=-a，cost?一b，sin，tj，=-r运动学观点：L=rmv=(acost?bsint?)m(-asinti?bcost?)?=?=0,?=?(-?)=I?L=mabcos2t?mabsin2tl?=mabI?显然与时间t无关，是个守恒量。动力学观点：-=rF=rmarm(-2r)-m2rr=0,该质点角动量守恒。,*二06同明2一4。题图2.40质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面上与固定点A相连。弹性纯的劲度系数为8N/m,其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度V0如图所示。当小球的速率变为v时，它与A点的距离最大，且等于800mm,求此时的速率V及初速率V0.