天津学大教育信息咨询有限公司八年级上学期数学寒假课程学案勾股定理及其逆定理初步

1、第四讲勾股定理及其逆定理初步第一部分知识梳理一、勾股定理1 .如果直角三角形的两直角边边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这一定理在我国称为勾股定理22 .在4ABC中，/0=90°,a、b、c分别是/A、/B、/C的对边.(1)若a=5,b=12,则c=13;(2)若c=4,a=用,则b=3;(3)若/A=30,a=1,则c=2,b=V3;(4)若/A=45°,a=1,则b=1,c=V2。二、勾股定理的逆定理1 .如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。我们把这个定理叫做勾股

2、定理的逆定理。2 .勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别：联系：都与三角形的三边有关并且都包含等式a2+b2=c2;都与直角三角形有关。区别：勾股定理是以一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边数量关系，即a2+b2=c2。勾股定理的逆定理是以'个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形。两者的条件和结论相反。3 .在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。第二部分例题与解题思路方法归纳类型一：勾

3、股定理求解三角形【例题1】(2010?荷泽)如图所示，在RtAABC中，/C=90,ZA=30°,BD是/ABC的平分线，CD=5cm,求AB的长.R选题意图1本题利用了角平分线定义、直角三角形中30。的角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识.R解题思路1先有/A=30°,那么/ABC=60,结合BD是角平分线，那么可求出/DBC=ZABD=30,在RtADBC中，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD,再利用勾股定理可求BC,同理，在RtAABC中，AB=2BC,即可求AB.R参考答案1解：二.在RtAABC中，/C=90,/A=

4、30°,BD是/ABC的平分线，/ABD=/CBD=30,AD=DB,又RtCBD中，CD=5cm,.BD=10cm,BC=5cm,.AB=2BC=10cm.【课堂训练题】1.如图所示，AACB和4ECD都是等腰直角三角形，/ACB=ZECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证：ZACEABCD;.AC=BC,EC=DC./ACE=/DCE-/DCA,/BCD=/ACB-/DCA,/ACB=/ECD=90,/ACE=/BCD.在4ACE和ABCD中,ACEABCD(SAS).（2）解：又/BAC=45,EAD=/EAC+/BAC=90,即EAD是直角三角形。.DE=13.

5、为3,则AC的长是（）工A.B.C.D.7R参考答案1解：作ADX13于D,作CEL13于E,/ABC=90,/ABD+/CBE=90又/DAB+ZABD=90/BAD=/CBE又AB=BC,/ADB=/BECABDABCEBE=AD=3在RtABCE中，根据勾股定理，得BC=,在RtAABC中，根据勾股定理，得AC贽=2;故选A.2.如图，直线1上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为（）A.4B.6C.16D.55R参考答案1解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD,%1/ACD=90;2.如图，已知那BC中，/ABC=90°,AB=BC,三角形的

6、顶点在相互平行的三条直线li,12,13上，且ll,12之间的距离为2,12,13之间的距离/ACB+/DCE=ZACB+/BAC=90/ABC=/CED=90,AC=CD,ACBADCE,.AB=CE,BC=DE;在RtAABC中，由勾股定ac2=ab2+bc2=ab2+de2,即/BAC=/DCE,理得：E一E即Sb=Sa+Sc=11+5=16,故选C.类型二：勾股定理的实际应用【例题2如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在-侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点.已知/BAC=60,/DAE=45,点D到地面的垂直距离DE=m.求点B到地面的垂直距

7、离BC.R选题意图1考查了勾股定理在实际问题中的应用。R解题思路1在RtAADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在RtAABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长.R参考答案1解：在RtDAE中， /DAE=45,/ADE=/DAE=45AE=DE=, AD2=AE2+DE2=()2+()2=16.AD=4,即梯子的总长为4米.AB=AD=4在RtAABC中，./BAC=60,./ABC=30; .AC=AB=2;BC2=AB2-AC2=42-22=12;BC=m;，点B到地面的垂直距离BC=m.【课堂训练题】1.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿

8、地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.(图2,图3备用)图1图2图3R参考答案解：在RtAABC中，/ACB=90,AC=8,BC=6由勾股定理有：AB=10,扩充部分为Rt9CD,扩充成等腰泻BD,应分以下三种情况：如图1,当AB=AD=10时，ACXBD,.CD=CB=6.ABD的周长=10+10+2X6=32m.如图2,当AB=BD=10时，BC=6m,/.CD=10-6=4m,.AD=ABD的周长=10+10+4=(20+)m.如图3,当AB为底时，设AD=BD=x,则CD=x-6,由勾股定理得：AD=x,解得,x=.ABD的周长为m

9、.2.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源.为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10:00,甲、乙二人相距多远还能保持联系吗？R参考答案1解：如图，甲从上午8:00到上午10:00一共走了2小时，走了12千米，即OA=12.乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时，走了5千米，即OB=5.在RtAOAB中，AB2=122十52=169.AB=13,因此，上午10:00时，甲、乙两人相距13千米.15>13,.甲、乙两人还能保持联系

10、.答：上午10:00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系.类型三：利用方程思想求解三角形【例题3小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出求AC的长.R选题意图1在直角ABDC中根据勾股定理得到BC的长，进而在直角AABC中，根据勾股定理，求出AC的长.BC.R解题思路1本题解决的关键是利用勾股定理，先求出两个直角三角形的公共边R参考答案1解：BD=CD=2,设AB=x,贝UAC=2x,，x2+8=4x2,AC=2AB=.1.如图，滑杆在机械槽内运动，/ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移

11、动0.5米时，求滑杆顶端R参考答案1解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC-x.AB=DE=2.5,BC=1.5,ZC=9CT,.-AC=2,.BD=C.5,.在RtAECD中，CE=1.5.-2-x=1.5,x=C.5,即AE=C.5.答：梯子下滑C.5米.2 .如图，/AQB=90°,OA=45cm,OB=15cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好路程BC是多少?R参考答案1解：二.小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的

12、运动时间相等，即BC=CA,设AC为x,则OC=45x,由勾股定理可知ob2+oc2=bc2,又OA=45,OB=15,把它代入关系式152+(45-x)2=x2,解方程得出x=25(cm).答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm.3 .如图，AABC中，有一点P在AC上移动.若AB=AC=5,BC=6,贝UAP+BP+CP的最小值为（A. 8C.9.8R参考答案B. 8.8D.10解:从B向AC作垂线段BP,交AB于设AP=x,贝UCP=5x,在RtAABP中,BP2=AB2AP2,0在RtBCP中，BP2=BC2-CP2, .AB2-AP2=BC2

13、-CP2,.-5x=6(5x)解得x=1.4,在RtAABP中，BP=4.8,AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8.故选C.类型四：勾股定理的逆定理【例题4已知a、b、c为4ABC的三条边，且满足a2+b2+c2=10a+24b+26c-338.(1)试判断三角形的形状；(2)求三角形最长边上的高.R选题意图本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；直角三角形有两种求面积的方法.R解题思路(1)先将式子进行化简，配方成完全平方的形式，求得a,b,c,根据勾股定理的逆定理进行判断即可；(2)根据(1)求出三角

14、形的面积，再由最长边乘以最长边上的高除以2也等于这个三角形的面积，求出最长边上的高.R参考答案解：(1)a2+b2+c2=10a+24b+26c-338 .a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0(a-5)2=0,(b-12)2=0,(c-13)2=0a=5,b=12,c=13 a2+b2=c2=169.ABC是直角三角形；(2)祥BC最长边为c,设c上的高为h.Saabc=X5X12=30,又,Saabc=30=30,h=.【课堂训练题】1.已知a,b,c为4ABC的

15、三边，且(a-c):(a+b):(cb)=-2：7：1,试判断GABC的形状.R参考答案1解：(a-c):(a+b)=-2：7.9a+2b-7c=0 .1(a-c):(c-b)=-2：1 .a-2b+c=0 .1(a+b):(c-b)=7：1 -a+8b-7c=0 +得a：c=3:5,-得a：b=3:4.a：b:c=3:4：5ABC是直角三角形.2.已知：AABC的周长是4+2,AB=4,AC=.(1)判断AABC的形状；(2)若CD是AB上的中线，DELAB,/ACB的平分线交DE于E,交AB于F,连接BE.求证：DC=DE,并求ADBE的面积.ABC的周长是4+2,AB=4,AC=,BC=

16、(4+2)-4-()=,?AC2+BC2=AB2,.ABC是直角三角形；(2)过点C作CM±AB交AB于M,.DE，AB, .CM/DE, ./DEF=ZMCF,又AD=CD,ZA=ZACD, ./BCM=/A,/ACD=/BCM, .CE平分/ACB,/ACE=/BCE,/DCF=/MCF,/DCF=/DEF,DC=DE=AB=2, .DBE的面积=2X22=2.类型五：勾股数【例题5观察下列勾股数：3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;，a,b,c根据你发现的规律，请写出(1)当a=19时，求b、c的值；(2)当a=2n+1时，求b、c的值；(3)用(2)的

17、结论判断15,111,112是否为一组勾股数，并说明理由.R选题意图此题主要考查学生对勾股数及规律题的综合运用能力.R解题思路(1)仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1,根据此规律及勾股定理公式不难求得b,c的值.(2)根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值.(3)将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是.R参考答案解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1,即c-b=1 a=19,a2+b2=c2,，192+b2=(b+1)2,2 .b=180,，c=181;(2)通过观察知c-b=1,3 (2n+1

18、)2+b2=c2,c2-b2=(2n+1)2,(b+c)(c-b)=(2n+1)2,4 .2b+1=(2n+1)2,b=2n2+2n,c=2n?+2n+1;(3)由(2)知，2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1为一组勾股数，当n=7时，2n+1=15,112-111=1,但2n2+2n=112w11,15 .15,111,112不是一组勾股数.【课堂训练题】1.(1)一位同学从勾股数飞4,5”中发现，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法.你发现了吗？请你写出一下几组勾股数组：5,；7,;9,;(2)写出一般规律的表达方式，(用字母n表示，n为正整数),.R参考答案1解：(1);；(2)

19、一般规律的表达方式：n,2,若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2,则称这一组正整数(a、b、c)为商高数”，下面列举五组商高数”：(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(12,16,20),注意这五组商高数”的结构有如下规律：,根据以上规律，回答以下问题：(1)商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？(2)写出各数都大于30的两组商高数；(3)用两个正整数m、n(m>n)表示一组商高数，并证明你的结论.R参考答案1解：(1)有一个偶数、两个奇数或三个偶数；(2) (40,42,58,),(119,120,169);(3) a=2mn,b=m2-n

20、2,c=m2+n2证明：a2+b2=(2mn)2+(m2-n2)2=4m2n2+m4-2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2a2+b2=c2.类型六：添加辅助线构造直角三角形【例题6（2006?临沂）AABC中，BC=a,AC=b,AB=c.若/C=90,如图1,根据勾股定理，则a2+b2=c2.若9BC不是直角三角形，如图2和图3,请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.R选题意图1本题考查了勾股定理的运用.通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.R解题思路1当那BC是锐角三角形时，过点A作ADLBC,垂足为D,设CD为x,根据AD不变由勾股定理得

21、出等式b2-x2=AD2=c2-（a-x）2,化简彳#出a2+b2>c2.当ABC是钝角三角形时过B作BDLAC,交AC的延长线于D,设CD为x,根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2.化简得出a2+b2<c2.R参考答案1解：若9BC是锐角三角形，则有a2+b2>c2若"BC是钝角三角形，/C为钝角，则有a2+b2<c2.当"BC是锐角三角形时，证明：过点A作AD±BC,垂足为D,设CD为x,则有BD=a-x根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2即b2x2=c2a+2axx2.-a2+b2=c2+2axa>0

22、,x>0,2ax>0.a2+b2>c2.当"BC是钝角三角形时,证明：过B作BDXAC,交AC的延长线于D.设CD为x,贝U有BD2=a2-x2根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2.即a2+b2+2bx=c2.,.b>0,x>0,2bx>0,a2+b2<c2.【课堂训练题】1.（2009%峰）公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测彳导BC=CD=10米，/B=/0=120°,/A=45.请你求出这块草地的面积.R参考答案1解：连接BD,过C作0EXBD于E,.BC=DC=10,/ABC=/BCD=120,/1=72=30

23、°,.ABD=90,.-0E=5,BE=5./A=45,AB=BD=2BE=10,S四边形AB0D=SABD+SAB0D=AB?BD+BD?0E=X10X|0+X10>5=150+25.2.如图，C在线段AB上，AB=3A0,分别以AC、B0为边在线段角形那CD与BCE,若AC=6,则DE的长度是（）A.6B.9C.6D.3R参考答案1解：分别过点D,E做AB的垂线段DM,EN,垂足AB的同侧作两个正三DEF为直角三角为M,N,过点D做DFLEN垂足为F,则四边形DMNF为矩形，三角形形.,.AC=6,AB=18,BC=12,ACD与BCE是等边三角形,MC=3,CN=6,.D

24、F=MN=9,DM=3,EN=6.EF=ENFN=ENDM=6-3=3EAMCN.DE2=DF2+EF2,即DE2=92+(3)2=108DE=6,故选C.第三部分课后自我检测试卷A类试题:1.如图所示,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边（x>y）,下列四个说法：x2+y2=49,x-y=2,2xy+4=49,x+y=9.其中说法正确的是(A.B.C.D.2.如图，AABC和4DCE都是边长为4的等边三角形，点B、E在同一条直线上,连接BD,则BD的长为（C.3.如图,小明用一块有一个锐

25、角为30。的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，=1.7324.张老师在一次探究性学习”课中，设计了如下数表:n2345a22-132-142T52Tb46810c22+132+142+152+1(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a=,b=,c=;(2)猜想：以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.5 .如图所示的一块地，AD=12m,CD=9m,ZADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.B类试题：6 .如图，在ZABC中，/C=

26、2/B,D是BC上的一点，且ADLAB,点E是BD的中点,连接AE.(1)求证：/AEC=/C;(2)求证：BD=2AC;(3)若AE=6.5,AD=5,那么AABE的周长是多少？7 .小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m,50m,第三边上的高为30m.请你帮小强计算这块菜地的面积.(结果保留根号)8 .我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.(1)写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称,;(2)如图，将以BC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到ADBE,连接AD

27、、DC,若/DCB=30°,试证明；DC2+BC2=AC2.(即四边形ABCD是勾股四边形)C类试题：9 .如图，AACB和ECD都是等腰直角三角形，/ACB=/ECD=90°,D为AB边上一点,求证：(1) ZCEABCD;(2) AD2+DB2=DE2.10.在ZABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且/MDN=90,如果BM2+CN2=DM2+DN2,求证：AD2=(AB2+AC2).课后自我检测试卷参考答案A类试题：1 .解：大正方形的面积是49,则其边长是7,显然，利用勾股定理可得x2+y2=49,故选项正确；小正方形的面积是4,则其边

28、长是2,根据图可发现y+2=x,即x-y=2,故选项正确；根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4Xxy+4=49,化简得2xy+4=49,故选项正确；x+y=9,无法证明，故此选项不正确.故选B.2 .解：,ABC和4DCE都是边长为4的等边三角形，./DCE=/CDE=60,BC=CD=4./BDC=/CBD=30./BDE=90.BD=4.故选D3 .解：在RtAACD中，/CAD=30°,AD=3,设CD=x,贝UAC=2x,由AD2+CD2=AC2,得，32+x2=4x2,x=1.732,所以大树高1.732+1.683.4（米）.4 .解：（1）

29、由题意有：n21,2n,n2+i；（2）猜想为：以a,b,c为边的三角形是直角三角形.证明：a=n2-1,b=2n;c=n2+1a2+b2=(n2-1)2+(2n)2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2而c2=(n2+1)2根据勾股定理的逆定理可知以a,b,c为边的三角形是直角三角形.5 .解：连接AC,在RtAADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225, AC=15,在AABC中，AB2=1521,AC2+BC2=152+362=1521,，AB2=AC2+BC2,ZACB=90, .Saabc-SCD=AC?BC-AD?CD=<15X36-X12>9=270-54=216.答：这块地的面积是216平方米.B类试题：6 .证明：(1)ADXAB,ABD为直角三角形.又