奥数典型问题专项训练

1、行程问题1 .甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？2 .甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。3 .甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？4

2、 .周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）？5 .一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？参考答案：1.5又5/9米2.千米3.300米4.1000米5.5分钟工程问题1. 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天.若甲

3、先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？2. 师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成.已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需天数相同.师傅与徒弟甲合作所需的天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同.问：两徒弟单独完成这项工程各需多少天？3. 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成.甲先做8小时,乙接着做6小时也可以完成.如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？4. 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成.若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？5. 一个水池有两个排

4、水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？参考答案1.42.甲26又2/3天,乙40天3. 214. 14又1/35. 10数字问题1 .一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？2 .把23个数：3,33,333,，333（23个3）相加，则所得的和的末四位数是多少？3 .将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有二个数字，两个

5、3之间有三个数字，两个4之间有四个数字，那么这样的八位数中最小的是？4 .从1,2,3,，2004,2005这些自然数中，最多可以取几个数，才能使其中每两个数的差不等于4?5 .有一个电话号码是六位数，其中左边三个数字相同，右边三个数字是按由大到或由小到大顺序排列的三个连续的自然数，六个数字之和恰好等于末尾的两位数，这个电话号码是多少？参考答案：1.2.24070293.4.10045.555321或333012分数、百分数应用题1 .一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高20%,可以比原计划提前1小时到达；如果先以原速度行驶240千米后，再将速度提高25%,则可提前40分钟到达.求甲、乙两地

6、之间的距离及火车原来的速度。2 .甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与乙生产的零件数量的五分之三相等，又等于丙生产的零件数量的四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，问：这批零件共有多少个？3 .菜园里西红柿获得丰收，收下全部的3/8时，装满3筐还多24千克,收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？4 .服装厂一车间人数占全厂的25%,二车间人数比一车间少1/5,三车间人数比二车间多3/10,三车间是156人，这个服装厂全厂共有多少人？5 .二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数的3/4,二班少先队员占本班人数的5/6,

7、求两个班各有多少人？参考答案：1.甲、乙两地相距540千米，原来火车的速度为每小时90千米。5.一班48人，二班42人同余问题1. 若a为自然数，证明101(a2005-a1949).2. 2.给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数.3. 3.求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数.4. 4.设2n+1是质数，证明：1：2：，n2被2n+1除所得的余数各不相同.5. 5.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除.6. 参考答案：7. 1.提示：对于任何自然数a,a5与a的个位数字相同.8. 2.提示：有两个数的差能被11

8、整除9.10. 4.分析这道题肯定不可能通过各数被2n+1除去求余数.那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾.而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理.从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的.证明：假设有两个数a、b,(awb,设b<a,且1&aWn,1<b<n),它们的平方a2,b2被2n+1除余数相同那么，由同余定义得a2b2三0(mod(2n+1)即(a+b)(ab)三0(mod(2n+1),由于2n+1是质数.二a+bm0(mod(2n+1)或ab三0(mod(2n+1).由于a+b,ab均小于2n+1且大于

9、零，可知，a+b与2n+1互质，ab也与2n+1互质.即a+b与ab都不能被2n+1整除.产生矛盾，.原题得证.说明：这里用到一个重要的事实：如果AE0(mod»,p是质数，那么A或B中至少有一个模p为零.p是质数这一条件不能少，否则不能成立。例如23m0(mod®，但2、3被6除余数不为0。5.证明：二质数中仅有一个偶数2,不小于5的质数是奇数.又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类：6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5,(n是自然数)，其中6n,6n+2,6n+4都是偶数，又316n+3.，不小于5的质数只可能是6n+1,6n+5.又自然数除以

10、6余数是5的这类数换一记法是：6n1,(不小于5的质数)21=(6n±1)21=36n2±12n=12n(3n±1),这里n与(3n±1)奇偶性不同，其中定有一个偶数，2|n(3n±1),，24|12n(3n土1).，结论成立.说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法.最值问题1 .一个两位数被它的各位数字之和去除，所得的余数最大是多少？2 .有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块。那么这4袋糖块的总和最少是多少？3 .将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得的5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？4 .有

11、13个不同的非零自然数，他们的和是100,问其中偶数最少有多少个，最多有多少个？5 .用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各一次，组成一个被减数，减数，差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？参考答案：1.152. 823. 3124. 最少5个，最多7个5. 784浓度问题1 .有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是啕勺糖水100克，问每种应取多少克？2 .一个容器里装有10升纯酒精，倒出1升后，用水加满，再倒出1升，用水加满，再倒出1升，用水加满，这时容器内的酒精溶液的浓度是？3 .有若干千克4%勺盐水，蒸发了一

12、些水分后变成了10%勺盐水，在加300克4%勺盐水,混合后变成%勺盐水，问最初的盐水是多少千克？4 .已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为3%,第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为2%。求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。5 .有A、B、C三种盐水，按A与B的数量之比为2:1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B的数量之比为1:2混合，得到浓度为14%的盐水；按A、B、C的数量之比为1:1:3混合，得到浓度为的盐水,问盐水C的浓度是多少？参考答案：1. 甲25,乙752. %3.4. %5. 8%设数解题1 .某班一次考试，平均分为85分，其中7/8及格，及格的同学平均分为90

13、分，那么不及格的同学平均分是多少？2 .小明上山的速度是每分钟150米，下山的速度是每分钟300米，求上山后又沿原路下山的平均速度。3 .某班同学的平均身高为138厘米，其中男生比女生多1/5,女生平均身高比男生高10%这个班男生平均身高是多少？4 .阅览室看书的学生中，男生占25%有来了一些学生后，学生总人数增加20%男生占总数的40%男生增加百分之几？5 .六年级三个班人数相等，一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生人数是全部男生人数的3/8,全部女生人数占全年级人数的几分之几？注：也可称为赋值法己心里知道就可以了。参考答案：1.2.3.4.5.设数时，最好不要将单位名称写出，自5

14、0200米每分钟132厘米92%7/15不定方程1 .小华买圆珠笔若干支，正好付出10元钱，他所买的圆珠笔有两种，有1元1支的，也有1元5角一支的，每种都多于4支，他两种圆珠笔各买了多少支？2 .有甲乙两种卡车，甲车的载重量为6吨，乙车的载重量为8吨。现有煤144吨，要求一次运完，每种车都不少于4辆，而且每一辆卡车都要满载，问甲乙两种卡车各需多少辆？3 .一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，）。男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为分，而全班的平均成绩为分。如果该班的人数多于30人，少于50人，问有多少男生和多少女生参加了测验?4 .某地水费，不超过10吨时，每吨元；超过10吨时

15、，每吨元，张家比李家多交水费元，如果两家的用水量都是整数吨。问两家各交水费多少元？5 .有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。若购甲4件，乙10件，丙1件共需420元。现购甲乙丙各一件共需多少元？最大公约数与最小公倍数1 .两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少？2 .已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31.求这两个自然数。3 .已知两个自然数的和是54,并且它们的最小公倍数与最大公约数之间的差为114,求这两个数。4 .将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边

16、长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）5 .写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。参考答案：1. 362. 31,186或62,933. 24,304. 21厘米5. 6,10,15或10,12,15或10,15,18整除问题1 .任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除.2 .证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除.3 .某个七位数2000口口能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？4 .在865后面补上三个数字，组成一个

17、六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。5 .求能被26整除的所有六位数(x1991y)。参考答案：1. 提示：该数能被1001整除2. 略3. 8,8,04. 8650205. 819910、119912、719914和619918奇偶分析1 .能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？9口8口7口6口5口4口3口2口1=282 .在a、b、c三个数中，有一个是2003,一个是2004,一个是2005。问(a1)(b2)(c-3)是奇数还是偶数。3 .用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：axbxcxd-a=1991axbxcxd-b=1993axbxcxd-

18、c=1995axbxcxd-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。4 .有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？5 .任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。参考答案：1 .不能2 .偶数3 .不存在4 .提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。5 .略时钟问题1 .在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？2 .现在是2点15分，再过几分

19、钟，时针和分针第一次重合？3 .在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120°?4 .小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？5 .一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？参考答案：1. 10点5又5/11分钟和10点38又2/11分钟2. 61又4/11分钟3. 7点16又4/11分钟和8点整4. 32又2/11分钟5. 快10又10/143分钟（按旧钟上的时间）奇偶分析1.能否在下式中填入适当的+”，

20、“-”，使等式成立?9口8口7口6口5口4口3口2口1=282 .在a、b、c三个数中，有一个是2003,一个是2004,一个是2005。问(a1)(b2)(c-3)是奇数还是偶数。3 .用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：axbxcxd-a=1991axbxcxd-b=1993axbxcxd-c=1995axbxcxd-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。4 .有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？5 .任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。参考答案：1 .不能2 .偶数3 .不存在4 .提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。5 .略简单的枚（列）举法1 .用0,1,2,3四个数字组成一个三位数，可以组成多少个偶数（每个数字最多用一次）？2 .在一个长方形中划6条直线，最多能把它分成多少份？3 .从1到100的自然数中，完全不含数字“9”的有多少个？和b是自然数，