完整版现代控制理论第3版课后习题答案

1、现代控制理论参考答案第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-2添统方块结构图解：系统的模拟结构图如下:(s)X图1-3双军入双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下:x1x2X2KbJ2X3?KPKnX3X3X4J1J1?X4X3?X5K1X3K1X61KpX5XJ1J1X6K1K1X1X6KpKpK1K；令（s）y,则yX1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为X1?X2?X3?X4?X5?X60100000000K1-0Kp0KbJ2KpKnJ11K10J10001J00000KpJ10K1K1K?X1X2X3X4X5X60000u0K1KpX1X

2、2X3y100000X4X5X61-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令i1x1,i2x2,ucx3,输出量yR2x2xi有电路原理可知:R1x1L1x1x3u?L2x2R2x2x3R111xix3uL1LiLi既得x2R21xx3L2L2xix2Cx3x31Cx11Cx2yR2x2写成矢量矩阵形式为:0xi。又2。x3巴01LiLixi0R21x2L2L2110x3CCxi0r20x2x31-4两输入ui,2,两输出yi,y2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状

3、态空间表达式和传递函数阵。uiAyiy2图1-30双输入-双输出系统模拟结构图解：系统的状态空间表达式如下所示:xi0100xi00X2a2ai0a6x2bi0x31001x300x40a5a4a3x40b2xix2y1010x3x4(sIA)a21sa10a5a,a3Wux(s)(sIA)1Ba21sa10a61bi0Wuy(s)C(sIA)1Ba5a4a3b2a21a10a61b10a5a4a3b21-5系统的动态特性由下列微分方程描述(2)y5y7y3yu3u2u列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令X1X2X3oX1oX2。X3X1X1X2X3相应的模拟结构图如下:

4、X2X31-6(2)已知系统传递函数W(s)一6(s1-2，试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图s(s2)(s3)101解：W(s)一6(S1)一r一43-s(s2)(s3)W(s)(sIA)2s3(s3)2s3s2s01u11xi3100xiX20300X2X30020X3X40000X4X110c1X23-33X3X41-7给定下列状态空间表达式X1010X10x2230x21ux3113x32X1y001X2X3(1) 画出其模拟结构图(2) 求系统的传递函数解：siAs(s3)22(s3)(s3)(s2)(s1)(siA)1(s3)(s2)(s1)1Wux(s)(siA

5、)1B1(s3)(s2)(s1)s32s32(s3)s(s3)s5s10001(s1)(s2)2s32s302(s3)s(s3)0s5s1(s1)(s2)1(s3)(s2)(s1)(s3)s(s3)(2s1)(s3)1Wuy(s)C(sIA)1B(2s1)(s2)(s1)(s3)s(s3)(2s1)(s3)1(s3)(s2)(s1)1-8求下列矩阵的特征矢量010(3)A3021276解：A的特征方程10IA3212763621160解之得：11,22,331时,010Pli302p211276P31P11P21P31解得：P21P31P11令P111P111nP211P311P122P22P

6、32解得:P22P32P12P12P122P2P224P321P11(或令Pn1,得RP21P31010Pl22时,302P221276P32P121010P1313时，302P231276P33(或令P121/12P222)1P322P133P23P33P131解得：P233Pl3,P333P13令Pl31得P3P233P3331-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）X1X2X3Y1y2412X1102x2113X3X1X2X3解：A的特征方程41212(1)(3)201131,23,312P11P112P213P213P31P31解之得P21P31P11令P111P111得P1

7、P211P311412P11P111102P213P211113P31P31123时,斛之信P12P221,P22P32令P121P121得P2P220P32031时,412P13P13102P23P23113P33P33解之得P130,P232P33令P331P130P232P331012T1112011012311T1B1122701153110120314CT102011203101约旦标准型31081x030x52u00134314yX2031-10已知两系统的传递函数分别为W1（S）和W2（S）W1(s)1s2s1s211W2(s)s13s40s1试求两子系统串联联结和并联连接时，系

8、统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结W(s)W2(s)W1(s)1s2s1s21s25s7(s1)(s3)1(s1)2(s2)(s3)(s4)1(s1)(s2)（2）并联联结W(s)W1(s)皿(s)1s2s1s213111-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为11W2(s)Wi(s)25s22IW(s)W(s)s(s1)21s0s2求系统的闭环传递函数解：W1(s)W21(s)IW(s)W(s)I1s1s2IW1(s)W2(s)s1s(s3)s2s31W(s)IW(s)W2(s)W(s)11ss1s2ss11s1s2s3(s2)(s1)

9、01s1s1s1s(s3)1s31-11(第2版教材)1W1(s)s12已知如图1-22所示的系统，其中子系统11、2的传递函数阵分别为1W(s)0求系统的闭环传递函数解：1W(s)W(s)s12s1(21s121IW(s)W(s)s3W(s)1Iw(s)W(s)W1(s)s311s(s。s2ss2ss25s22s2s1s1s2s32s(s1)(s2)2ss25s222(s2)s2s1s31s(s2)s(s2)2ss12(s1)2(3s8)22(s2)(s5s2)s36s26s(s2)(s25s2)s1s25s2s2s25s21-12已知差分方程为y(k2)3y(k1)2y(k)2u(k1)3

10、u(k)试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为1(1) b1解法1：W(z)2z3z23z2x(k1)101x(k)u(k)021y(k)11x(k)解法2:x1(k1)X2(k)x2(k1)2x1(k)3x2(k)uy(k)3x1(k)2x2(k)010x(k1)23x(k)1u(k)y(k)32x(k)求T,使得T1B口111得T1所以01T1AT11CT32310110所以，状态空间表达式为401z(k1)z(k)u(k)511y(k)31z(k)第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt1(2) A=4解：第一种方法：令IA0112则0,即

11、140。41求解得到13,2113时，特征矢量pP11P21由Ap1P11P211时，特征矢量P2P12P22,A/口11P12P12由AP22P2,得，彳41P22P22P12P224P12P22P12P22P211Ate1e3t13t-e21-e2第二种方法,即拉氏反变换法:3te1:-e41:-e23t3t1-e41-e2sIsI43-3AteL11siA13t-e2第三种方法,3te1:-e41:-e23t3t1-e41-e2即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知3te14143tete1:-e41:e43t3t3-e41e4Ate3t13te42-51t13t1eee244t13t1ee-

12、e22tt阵。A3te13te2卜列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足,试求与之对应的(3)t2etet2t2te2e2t2te2e2etet2(4)t23te3te123te3te解：（3）因为I,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2etet2e2t2e2t2t4e2t4e2etet(4)因为所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件3t3t3e1e41e233te433te22-6求下列状态空间表达式的解:1.0初始状态输入时单位阶跃函数。解:sIsi因为At12sL1si12s1sBu131t2t1t22t1t22-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1

13、s和1s,而u1和U2为分段常数。U2+图2.2系统结构图解：将此图化成模拟结构图列出状态方程ku1U2X22x11x1X20U1则离散时间状态空间表达式为14xk1GTxkHTukcxkDukAteTeAtdtB得:AtesIL1At,.e出当T=1时当T=0.1时dt0.10.1eCTke10.10.1ke0.90.1第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何?(1)系统如图3.16所示:图3.16系统模拟结构图15解：由图可得:XiaX1uX2bX2X3CX3X2XiXiX2CX3X4yX3dX4X3状态

14、空间表达式为:XiX2X3a0100b10000dX4X1X2X3X410u00由于X2、X3、X4与U无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与X3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。(3)系统如下式:XiX2X3X1X2X3解：如状态方程与输出方程所示,A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有a0,b0要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有c0,d0。3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一:16rankM12,系统不能控。rankN2,系统能观。方法二：将系统化为约旦标准形2,ABCCA则

15、状态矢量：AiPiPiA2P22P2P21-11-1T-111,C11-2-2-2-21T-1AT212T-1B12121212-311212CT1-1T-1B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为112411241-31-10的列,12121-11212-200-4系统可观。3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数111(1)A,b,C11021解：构造能控阵:171MbAb1要使系统完全能控，则i1构造能观阵：要使系统完全能观，则123-4设系统的传递函数是2,即1210CCA1,即1210y(s)sa32u(s)s10s27s18(1)当a取何值时，系统将是不完全能

16、控或不完全能观的？(2)当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式(3)当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式解：(1)方法1:W(s)2su(s)sa(s1)(s3)(s6)系统能控且能观的条件为W没有零极点对消。因此当a=1或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观方法2：y(s)sau(s)(s1)(s3)(s6)a-1a3a-610615s1s3s611,23,361001?X030X1u0061a1a3a6vyX10615系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观(2)当a=1,a=3或a=6时，系统可化为能控

17、标准I型1801x001827001x0u101(3)根据对偶原理，当a=1,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为0018ax1027x1u01100y001x3-6已知系统的微分方程为：y6y11y6y6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：a06,a111,a26,a33,b06系统的状态空间表达式为0100001x0u61161传递函数为s1一-1_一一一一W(s)C(sI-A)B6000s611s616s36s211s6其对偶系统的状态空间表达式为:0066x1011x0u0160y001x传递函数为W(s)6s36s211s63-9已知系统的传递函数为2一一W(s)

18、s6s82-s4s3试求其能控标准型和能观标准型2解：W(s)s6s8/2s5-1-s4s3s4s3系统的能控标准I型为19010xxu-3-41y52xu能观标准II型为0-35xxu1-42y01xu3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。解：A0100x230x1u1132y001x01 ,C00120132_MbAbAb1272511rankM23,系统为不能控系统，不能变换为能控标准型C001NCA1132CA179rankN3,系统为能观系统，可以变换为能观标准型。3-11试将下列系统按能控性进行分解(DA1210010,b0,C1043111解：014M

19、bAbA2b000139rankM=2<3,系统不是完全能控的构造奇异变换阵Rc:R1b010,R2Ab0,R31301,其中R3是任意的，只要满足Rc满秩020即Rc010001得R1c1300321_ARcARc14200111bRcb0CcRc1213-12试将下列系统按能观性进行结构分解(1)A010,b04312解：由已知得A01040,C1111100,b0,C11131C111则有NCA232CA2474rankN=2<3,该系统不能观111构造非奇异变换矩阵R1,有R1232001311则R0210001%R01AR0%Ro1buycR%100%3-13试将下列系统

20、按能控性和能观性进行结构分解1002,C(1)A223,b201111解：由已知得MAAbAb221226202rankM=3,则系统能控21NcAcA21121257411rankN=3,则系统能观所以此系统为能控并且能观系统取Tc212262，则Tc21141214Tc21b13233-14求下列传递函数阵的最小实现(1)解:B0AcBcCcDc系统能控不能观取R1R1BcCCcR所以最小实现为A1,1，Cmcc1验证：CmsiAm3-15设1和2是两个能控且能观的系统22(1)解:(1)2：A22,b21,C2试分析由1和2所组成的串联系统的能控性和能观性,试分析由1和2所组成的并联系统

21、的能控性和能观性,1和2串联当i的输出yi是2的输入U2时，X2x32xiX2并写出其传递函数;并写出其传递函数。AbA2b则rankM=2<3,所以系统不完全能控。W(s)C(sIA)1B(s2)(s当2得输出y2是1的输入u1时因为MbAbA2brankM=3则系统能控因为NccAcA2rankN=2<3(2)1和2并联则系统不能观1343)(s4)1s27s12W(s)C(sIA)1s27s1223014MAAbAb21413124因为rankM=3,所以系统完全能控c211NcA322，2一-cA654因为rankN=3,所以系统完全能观2s2as2空122wsCsIABs

22、1s2s3现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质:(1) Q(x)2Xi3x211x22x1x2X2X32x1X322(2) v(x)Xi4x22cccX32X1X26X2X32X1X3解：(1)由已知得Q(x)Xic11_x1x2x3x13x2x3x1x211x3x222X3XiX2X311211XiX2X320,13121171因此Q(x)是负定的(2)由已知得24Q(x)%X2X3Xi4x23x3x(3x2X3X2X3XiX2X3X1X2X3110,0,160因此Q（x）不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程:a1a?xa22试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条

23、件。解：方法（1）:要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足A的特征值均具有负实部。即:a11a21(a110a12a22a22)a11a22a12a21有解，且解具有负实部。即：a11a220且a11a22a12a21方法（2）：系统的原点平衡状态Xe0为大范围渐近稳定，等价于AtPPA匕P2儿巳2atppaq,得到2a210P11ana22a21P1202a122a22P2212alia1202a112a210若312ana22a214(a11a22)(ana2202a122a22a12a21）0,则此方程组有唯一解。即12(a11a22)AAa21a22(a12a22a21an)(

24、a12a22Aa121a21an)2a)2其中detAana22a2a2125要求P正定，则要求1Pi(如a22)2(a24aa22)Aaja202aa22)A豆0因此ana220,且detA04-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。(1)双(2)双解：(1)系统唯一的平衡状态是Xe0o22选取Lyapunov函数为V(x)XiX20,则V(x)2x禺2x2X22x1(x2x2)2x2(2x13x2)2x126x1x26x22(Xi葭)23x222V(x)是负定的。|x|有V(x)0即系统在原点处大范围渐近稳定。(2)系统唯一的平衡状态是xe0选取Lyapunov函数为V(x

25、)x；x|0,则V(x)2x1/2x2x22x1(x1x2)2x2(x1x2)2x122x20V(x)是负定的。|x|,有V(x)即系统在原点处大范围渐近稳定。4-6设非线性系统状态方程为:x22a(1x2)x2x1,a0试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有:f(x)一a(1X22x2)x2x1J(x)fxx1a4ax23ax226Q(x)JT(x)J(x)01011a4aX23ax21a4aX23ax200202a8ax26ax2很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为V(x)为2V(x)2x1&2x2X22x1x22

26、x2(x1a(1x2)2x2)-222a(1x2)x20V(x)是负定的。|x|,有V(x)0即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9设非线性方程：&x2&x3x2试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：(1)采用克拉索夫斯基法，依题意有:f(x)x23Xix2J(x)f(x)xT013x；1V(x)fT(x)f(x)x2x；x2x23x1x22x2/32(xx2)IIx|,有V(x)。取PIQ(x)JT(x)J(x)03x201113x21013x12213x122013x2则Q(x)0213x1,根据希尔维斯特判据，有:13x；22710,2203x12213x122(3x

27、21)20,Q(x)的符号无法判断。(2)李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为V(x)3432x1&420,则V(x)3x3&3%&3x3x23x2(x3x2)3x20V(x)是负定的。|x|,有V(x)o即系统在原点处大范围渐近稳定。4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数&-x12x12x2%-x2解：假设V(x)的梯度为:计算V(x)的导数为:选择参数，试选a11a22a11x1al2x2a21x1a22x2V1V(x)(V)T&a11Ka12x22aUxla12a21x1x21,配a210,于是得：X2父为a21xla22x2x2

28、2223a22&2al2x1x22a11xix?Vx1,显然满足旋度方程x2x2V2,即21220,表明上述选择的参数是允许的。则有:勺x2x1V(x)(12x1x2)x2x21-？2,则V(x)是负定的，因止匕,1一x为2是和x2的约束条件。计算得到V(x)为:x1(x20)x2(x1x1V(x)x1dx1x2dx2001/22、一(Xx2)21cV(x)是正定的，因此在12为“0即入乂22范围内，xe0是渐进稳定的28现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为:1110*011x0u1011试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1,-2,-3。解：依题意有：1110A01

29、1,b01011011MbAbA2b012rankM3,系统能控。112系统0(A,b,C)的特征多项式为:IA(1)3(1)133221则将系统写成能控标准I型，则有双引入状态反馈后，系统的状态方程为:&(AbK)xbu,其中K为13矩阵，设Kk0klk2,则系统K(A,bK,C)的特征多项式为:32f()detI(AbK)3(3k2)2(2根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：f()(1)(2)(3)362116比较f()与f()各对应项系数，可解得：k03(1k。)5kl9k29,则有：K-5-9-9。5-3有系统:c210Xxxu011y10x29(1)画出模拟结构图。(2)

30、若动态性能不满足要求，可否任意配置极点?(3)若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵。解(1)系统模拟结构图如下：题5-3系统模拟结构图0(A,b,C)完全能控。(2)系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统对于系统0(A,b,C)有：可任意配置极点01MbAbrankM2,系统能控，故若系统动态性能不潴足要求，1 1(3)系统0(A,b,C)的特征多项式为：IA(2)(1)232则将系统写成能控标准I型，则有&01x0Uo2 31K(AbK,C)的特征多引入状态反馈后，系统的状态方程为：&(AbK)xbu,设Kk°K,则系统项式为：-2一一f()detI(AbK)(3k1)(2k0)根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：22f()(3)2269比较f()与f()各对应项系数，可解得：k0713,K73。5-4设系统传递函数为(s1)(s2)(s1)(s2)(s3)试问能否利用状态反馈将传递函数变成s1(s2)(s3)30若有可