完整倍长中线与截长补短提高班教师版

1、和谐社会豆籍可口”目史鼻一这回和谐了!T领先中考培优课程初二秋季第2讲提高班教师版学瑁科到学方甩BD倍长中线与截长补短倍长中线题型一：倍长中线A例题精讲CDCCD,求证：ABAC.B，知识互联网-JtJffF【例1】已知ABC中，AD平分BAC,且BD则CDE/BDA,初二秋季第2讲提高班教师版2E【解析】延长AD到E,使DEAD，连接CE.BAD,BADCAD,CEDCAD,CEAC,.CEAB,CED,AD平分BAC,截长补短定义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍.其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角.AABDCE其中BDCD,延长AD使得

2、DEAD,则4BDEWCDA.思路导航#ABAC.【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳:已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1;已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1;已知中线+高证等腰三角形，如拓展2.【解析】AD平分/BAC,，/BAD=/CAD【拓展1】已知ABC中，AD平分/BAC,且ADXBC,求证：AB=AC.ADXBC,ADB=ZADC=90°.ABDACD(SAS)AB=AC.【拓展2】已知ABC中，ADBC,且BDCD,求证：AB=AC.【解析】'ADXBC,且BDCDAD所在直线是线段BC的垂直平分线根据垂直平分线上的点到

3、线段两端点距离相等故AB=AC.典题精练初二秋季第2讲提高班教师版【例2】如图，已知4ABC中，ABAC,CE是AB边上的中线，延长AB至UD,使BDAB.给出下歹U结论：AD=2AC;CD=2CE;/ACE=/BCD;CB平分/DCE,则以上结论正确的是.【解析】正确.ABAC,BDAB,，AD=2AC.、正确.延长CE到F,使EFCE,连接BF.CE是AB的中线，AEEB.Y领先中考培优课程在4EBF和4EAC中AEBEAECBEFCEFEEBFAEAC .BFACABBD,EBFEAC FBCFBEEBCAACBDBCFBCADBC中FBDBFBCDBCBCBC AFBCADBC.CDC

4、F2CE,ZFCB=ZDCB即CD=2CE,CB平分/DCE.错误.FCB=/DCB,而CE是AB边上中线而不是/ACB的角平分线故/ACE和/BCD不一定相等.如图，在ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：BD=DE=EC;AB+AE>2AD;AD+AC>2AE;AB+AC>AD+AE,则以上结论正确的是.【解析】点D、E为边BC的三等分点，BD=DE=CE延长AD至点M,AE至点N,使得DM=AD,EN=AE,连接EM、CN,则可证明ABDAMED,进而可得AB+AE>2AD,再证明ADEANCE,进而可得AD+AC>2AE,将两式相加可得到AB

5、+AE+AD+AO2AD+2AE,即AB+AC>AD+AE.均正确.初二秋季，第2讲,提高班,教师版4【例3】E是AD上一点，延长BE交AC于F,如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线,AFEF,求证：ACBE.【解析】延长AD到G,使DGAD,连接BG.BDCD,BDGCDA,ADGDAADCAGDBACGB,GEAF又AFEAFEF,AEFBEDBEBG,AC【例4】在正方形ABCD中,PQXBD于P,CP、CN、DN.延长PM至点N,使PM=MN,连结易证PMQANMD,.PB=PQ=DN,/PQD=/NDMPQ/DN,又/BPQ=/BDN=90/PBQ=ZBDC=/NDC=4

6、5°V族先中考培优课程初二秋季第2讲提高班教师版5再证ABPCDNC(SAS)题型截长补短思路导航示例剖析ADACDAAECCBBDD延长AC,使得ADAB补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等在ABC中，A的平分线交初二秋季第2讲提高班教师版ABACCD,B40,求C的大小（希望杯培训题B:C在线段AB上截取ADACPM=MN,，PM，MC,且PM=CM截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段【解析】在AB上截取AEAC，连接DE.AEAC,BADAACDAAED,CAED,CDABACCD,AEEBDEDB40ADAD,CDBEDEAED80典题精练【例6】如图

7、，在ABC中，B2C,求证：ABBDAC.BAC的平分线AD交BC于点D.【解析】方法（截长）在AC上截取AB连接在4ABD和AAED中ABAE,BADAABDAAEDEAD,ADADBDEDAED又AEDEDCEDCEDEC方法二：（补短）延长AB到点E使得ACAE在AAED和AACD中，AEAAEDAACD,，CAC,EADADADABCEBDE2C2BDEBDEBEABBDAC.方法三:（补短）延长DB到点E使得ABBE则有ABCEABABC2CCAEEADAEABEACEABDE,BDEBBADEBDEDAEDACACDAC,连接.AB+BD=AC若题目条件或求证结论中含有“c”的条件

8、，需要添加辅助线时多考虑“截长补先中考培优堞程初二秋季第2讲提高班教师版学再科到学府里建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法【例7】已知：在ABC中，ABCDBD,ADBC,求证：B【解析】方法一：在DC上取一点E,使BDDE,如图1,在4ABD和4AED中，ADBDED,ADAD.AABDAAED.ABAE,BAED.又AEABCDBDCDDEECEAC,EACAED2CC.B2图2方法二：延长DB到点E,使BEAB,如图2,ABCDBD,EDCD.在AED和AACD中，ADBC,EDCD,ADAD.AAEDAACD.EC.ABD2EB2C.【探究对象】截长补

9、短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：过某一点作长边的垂线；在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法：延长短边。通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。初二秋季第2讲提高班教师版领先中考培优课程¥【变式一】正方形点F在BC上，EAF=45°,求证：EF=DE+BF.ABCD中，点E在CD上,G【解析】延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG由四边形ABCD是正方形得:ADG=ABF=90,AD=AB又.DG=BFMDG且/ABF(SAS)GAD=FAB,.-.AG=AF由四边形A

10、BCD是正方形得DAB=90°GAE=DAF+FAB=GAFEAF=90°DAF+GAD=45°=45°GAFGAE=FAE=45°X/AG=AF,AE=AE任AG0任AF(SAS)EF=GE=GD+DE=BF+DEEAF=45°,领先中考培优课程【变式二】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上,请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？初二秋季第【解析】数量关系为：EF=BFDE.理由如下：在BC上截取BG,使得BG=DF,连接AG由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90°,AD=AB又DE=BG.

11、ADEABG(SAS)EAD=GAB,AE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=DAG+EAD=GAEGAF=GAEEAF=90°45°=45°GAF=EAF=45°X1.AG=AE,AF=AF.EAFGAF(SAS)EF=GF=BFBG=BFDE【变式三】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°,请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？初二秋季，第2讲,提高班,教师版,.:.1.10【解析】数量关系为：EF=DEBF.理由如下：在DC上截取DG,使得DG=BF,连接AG由四边形ABCD

12、是正方形得ADG=ABF=90°,AD=ABX/DG=BFADGABF(SAS)GAD=FAB,AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=BAF+GAB=GAFGAE=GAFEAF=90°45=45°GAE=FAE=45°X1.AG=AF,AE=AE.EAGEAF(SAS)EF=EG=EDGD=DEBF【变式四】正三角形ABC中,请问现在EF、BE、E在AB上，F在AC上EDF=60CF又有什么数量关系？,DB=DC,BDC=120°,领先中考培优课程初二秋季第2讲提高班教师版D【解析】数量关系为：EF=BE+FC,理由

13、如下延长AC至ij点G,使得CG=BE,连接DG由ABC是正三角形得:ABC=ACB=60X/DB=DC,BDC=120；DBC=DCB=30DBE=ABC+DBC=60°+30°=90°,ACD=ACB+DCB=60°+30°=90°GCD=180°ACD=90°DBE=DCG=90°X/DB=DC,BE=CG,.DBEDCG(SAS)EDB=GDC,DE=DG又DBC=120=EDB+EDC=GDC+EDC=EDGGDF=EDGEDF=12060=60°GDF=EDF=60°X/D

14、G=DE,DF=DF.GDFEDF(SAS)FAB=30°,AD=R,EF=GF=CG+FC=BE+FC【变式五】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15°求AAEF的面积.初二秋季第2讲提高班教师版12S频先中考培优课程Y【解析】延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG,过E作EHAG前面如变式一所证,ADGABF,EAGEAFGAD=FAB=30°,Saeag=Saeaf在RtAADG中，GAD=30；AD=73AGD=60°,AG=2设EH=x在RtAEGH中和RtAEHA中AGD=60°,HAE=45°HG=

15、x,AH=xAG=2=HG+AHJ3xx,3EH=x=33Saeag=Saeaf=1EHAG=M.2CB、DC【例8】已知：正方形ABCD中，/MAN=45°,绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M、N.r领先中考培优堞程学落科别学四里如图1,当/MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN.当/MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.【解析】图1中的结论仍然成立，即BMDNMN.（20

16、12密云一模）AD证明：如图2,在MB的延长线上截取BE=DN,连结AE易证ABEADN(SAS).，AE=AN;ZEAB=ZNAD.:BAD90,NAM45 BAMNAD45： EABBAM45. EAMNAM.又AM为公共边, AAEMANM.，ME=MN. .MNMEBEBMDNBM即DNBMMN.猜想：线段BM、DN和MN之间的等量关系为：DNBMMN证明：如图3,在DN延长线上截取DE=MB,连结AE.A，AM=AE;/MAB=/EAD.易证AMNAEN(SAS).MNEN.DNDEEN,r领先中考培优课程DNBMMN.初二秋季第2讲提高班教师版不,卓丽萨您=F0*«.15

17、EDFF-，C领先中考培优课程【解析】E、交AC于F.求AFDCADBECBECBECGA初二秋季第2讲提高班教师版16/氏训练2.【解析】思维拓展训练（选讲）训练3.BCACCD.A108,BD平分ABC交AC于D点.求证:B已知AD为ABC的中线,证：BECFEF.又ADB、ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F,EDFEDN90,利用SAS证明EDNAEDF,，ENEF,解一：（截长）作FHAE于点H分别证明AFHAFD,EFHEFC,如图,ABC中，ABAC,ADB、ADC的平分线分别交AB于AE在EBN中，BEBNEN,.BECFEF.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点,且A

18、F平分DAE,求证：AEECCDE是BC边上的一点,.AHAD,HEEC.AEAHHECDEC（补短）延长AF,BC交于点G先证明ADFWGCF,.CGDACD,GFAD,DAFEAF,GEAFBDCB延长FD到N,使DNDF,连接BN、EN.易证ABNDACFD,.BNCF,N.AEEG,AEECAECCD.ADCGDFHF【解析】训练4.领先中考培优堞催学理科到学而思一_wwgw.paiy口ucce方法一：在BC上截取BD平分ABC,.在ABD与EBD中ABEB,ABDAABDAEBD,又ADB36CDE72,BCBEEC方法二：如图，延长ABACABCCBCFFABADBADBBF五边形

19、求证：E点使BEBA,连结DE.ABDEBD.DEBBDBDDEB108DEC1854CDEBCCA到CDCEACCDBAC108,连结BF.AABC.FAB72.1-ABC,2又FBD54ABACFD.AFCD.，BCACCD.ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,/ABC+/AED=180；AD平分/CDE.延长DE至F,使得EF=BC,连接AC、AF."BC+/AED=180°,zAEF+ZAED=180°，"BC=ZAEF.AB=AE,BC=EF,.ABCeAEF.EF=BC,AC=AF.BC+DE=CD,，CD=DE+EF=DF.ADCR

20、ADF,.-.ZADC=ZADF即AD平分/CDE.初二秋季领先中考培优调2讲提高班教师版www.speiygiucgrri【演练1】在4ABC中，AB5,AC9,则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么?【解析】中线倍长，2AD7【演练2】在RDABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE90.若AD3,BE4,则线段DE的长度为【解析】如图，延长DF至点G,使得DFFG,联结GB、由AFFB,有4ADFBGFBGAD3,ADFBGF,ADIIGBGBEACB180,GBE90,，GEJGB2EB25.又DFFG,EFDG,DEGE5.题型二截长补短课后演练【演练3】

21、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN60,射线MN与/DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系?（提示：过点M作MG/BD交AD于点G）【解析】猜测DMMN过点M作MG/BD交AD于点G,AGAM,.GDMB7领先中考培优堞程120.1,"ADM/NMB,而/DGM/MBN.DGMAMBN,，DM【演练4】如图所示，已知4ABC中,分BAC,求证:【解析】解法一：如图，过ACCDD作DEVCDAC,12,：RtAACDRtAAED,.CDDE,ACAE.又VDEBE,B45,ACBC,AB.AD平.DEB为等腰直角三角形.有DEB

22、EBECD.：ABAEBEACCD.解法二：如图，延长B45,AD公共,ADEAADB有AEAB.故ABACCEACCD.E【演练5】已知：如图，ABCD是正方形，/FAD=/FAE.求证:BE+DF=AE.【解析】延长CB至M,使得BM=DF,连接AM.AB=AD,ADLCD,ABXBM,BM=DF.ABMAADF，"FD=ZAMB,/DAF=/BAMABIICD，"FD=/BAF=/EAF+/BAE=/BAE+ZBAM=ZEAM，"MB=/EAM.AE=EM=BE+BM=BE+DF.初二秋季第2讲提高班教师版20Uyr*&,领先中考培优课程fcom学理科到学漉E、F分别在BD、AD上.DECD,ABC和ACB,BD、CE交于点O,测试1.如图所示，已知4ABC中，AD平分BAC,EFAC,