实变函数及泛函分析基础试卷及答案

1、试卷:得分一、单项选择题(3分X5=15分)1、1、下列各式正确的是()(A)而AA；(B)lima.A;nn1knnn1kn(C)limAnAk；(D)UmAnA；nn1knnn1kn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是()-_(A)Pc(B)mP0(C)PP(D)PP3、下列说法不正确的是()(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设fn(x)是E上的a.e.有限的可测函数列，则下面不成立的是()(A)若fn(X)f(X),则fn(x)f(X)(B)SUpfn(x)是可测函数n(C)inffn(x)是可测函数；

2、(D)若fn(x)f(x)，则f(x)可测n5、设f(x)是a,b上有界变差函数，则下面不成立的是()(A)f(x)在a,b上有界(B)f(x)在a,b上几乎处处存在导数b(C)f(x)在a,b上L可积(D)f(x)dxf(b)f(a)a得分二.填空题(3分X5=15分)1、(CsACsB)(A(AB)o一2、设E是0,1上有理点全体，则E=,E=,E=.3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有(第1页,共18页)则称E是L可测的4、f(x)可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f(x)为a,b上的有限函数，如果对于a,b的一切分划，使31称f

3、(x)为a,b上的有界变差函数得分三、下列命题是否成立？若成立，则证明之；若不成立，则举反例说明.(5分X4=20分)1、设ER1,若E是稠密集，则CE是无处稠密集2、若mE0,则E一定是可数集.3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。4.设f(x)在可测集E上可积分，若xE,f(x)0,则e“x)0(第2页,共18页)得分四、解答题（8分X2=16分）.一x2.x为无理数1、（8分）设f（x）口.，则f（x）在0,1上是否R可积，是否L1,x为有理数可积，若可积，求出积分值。2、(8分)求limln(x-n)excosxdxn0n（第3页,共18页）得分五、证明题（6分X4+1

4、0=34分）1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c.上的实值连续函数，则对于任意常数2、（6分）设f（x）是a,E（x|f（x）a是闭集。3、（6分）在a,b上的任一有界变差函数f（x）都可以表示为两个增函数之差（第4页，共18页）4、(6分)设mE,f(x)在E上可积，enE(|f|n),则limnmen0.n5、(10分)设f(x)是E上ae有限的函数，若对任意0,存在闭子集FE,使f(x)在F上连续，且m(EF)，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)(第5页，共18页)试卷一答案:试卷(参考答案及评分标准)一、1.C2D3.B4.A5.D一、1.2、0,1;

5、0,13、mTm(TE)m(TCE)n4、充要5、|f(Xi)f(X1)|成一有界数集。i1三、1.错误2分.5分2 .错误2分例如：设E是Cantor集，则mE0,但Ec,故其为不可数集.5分3 .错误2分x,xE;例如：设E是a,b上的不可测集，f(x)例如：设E是0,1上有理点全体，则E和CE都在0,1中稠密x,xa,bE;则|f(x)|是a,b上的可测函数，但f(x)不是a,b上的可测函数.5分4.错误2分mE0时，对E上任意的实函数f(x)都有f(x)dx05分E四、1.f(x)在0,1上不是R可积的，因为f(x)仅在x1处连续，即不连续点为正测度集.3分因为f(x)是有界可测函数，

6、f(x)在0,1上是L可积的分因为“*)与*2ae相等,进一步,1.10,1f(x)dx0xdx鼻8分(第6页,共18页)2.解：设fn(x)ln(-n)excosx,则易知当n时，fn(x)0n.2分(又因处140，(t3),所以当n3,x0时，tt2ln(xn)nxln(xn)nxln3ln3(1x)4分nnxnn33从而使得|fn(x)|(1x)ex6分3但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的，故有limfn(x)dxlimfn(x)dx08分五、1.设E0,1,AEQ,BE(EQ).；B是无限集，可数子集MB2分；A是可数集，AMM.3分BM(BM),EABAM(BM),八.5分+i

7、且(AM)(BM),M(BM),EgBc.6分2.xE,则存在E中的互异点列4,使limxnx.2分nI*xnE,f(xn)a.3分:f(x)在x点连续，f(x)limf(xn)anxE5分E是闭集.6分3.对1,0,使对任意互不相交的有限个(ab)(a,b)nn当(biaj时，有|f(b)if(ai)12分1 1i1（第7页，共18页）将a,bm等分，使Xix1,对T：x1z0z1zkx,有i1kf(z)f(z1)1,所以f(X)在Xi1,xi上是有界变差函i1数.5分xb所以V(f)1,从而V(f)m,因此，f(x)是a,b上的有界变差函x1a数.6分4、f(x)在E上可积limmE(|f

8、|n)mE(|f|)02分据积分的绝对连续性，0,0,eE,me,有|f(x)|dx.4分e对上述0,k,nk,mE(|f|n),从而nme。|f(x)|dx,即%limnmq06分n1_一5.nN,存在闭集FnE,mEFn了在匕连续2分令FFn,则xFk,xFn,nk,xFnf(x)在F连jnknn、，3k续4分又对任意k,mEFmE(Fn)m(EFn)nknnkn1m(EFn).6分nk2故m(EF)0,f(x)在FE连续.8分又m(EF)0,所以f(x)是EF上的可测函数，从而是E上的可测函数.10分(第8页，共18页)试卷二：实变函数试卷二专业班级姓名学号题号一二三四五总分得分注意事项

9、1、本试卷共6页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整一.单项选择题(3分X5=15分)得分1 .设M,N是两集合，则M(MN)=()(A)M(B)N(C)MN(D)2 .下列说法不正确的是()(A) F0的任一领域内都有E中无穷多个点，则Po是E的聚点(B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则Po是E的聚点(C)存在E中点列R,使RP0,则Po是E的聚点(D)内点必是聚点3 .下列断言()是正确的。(A)任意个开集白交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4 .下列断言中()是错误的。(A)零测集是可测集；

10、(B)可数个零测集的并是零测集；(第9页，共18页)（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集;5,若f（x）是可测函数，则下列断言（）是正确的(A) f(x)在a,bL可积|f(x)|在a,bL可积;(B) f(x)在a,bR可积|f(x)|在a,bR可积(C) f(x)在a,bL可积|f(x)|在a,bR可积;得分填空题（3分X5=15分）_1_11、设An,2,nnn2、设P为Cantor集,(D) f(x)在a,R广义可积f(x)在a,+L可积1,2,|,则|im_An。=o则P,mP,P=3、设S是一列可测集，则mSimSi1i14、鲁津定理：5、设F（x）为a,

11、b上的有限函数，如果则称F（x）为a,b上的绝对连续函数。三,下列命题是否成立？若成立，则证明之；若不得分成立，则说明原因或举出反例.（5分X4=20分）1、由于0,10,10,1,故不存在使0,1和01之间11对应的映射。（第10页，共18页）2、可数个零测度集之和集仍为零测度集3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数四.解答题（8分X2=16分）x,x为无理数八设,1E有理数,则f（x）在0,1上是否R可积，是否L可积,（第11页，共18页）若可积，求出积分值。2、求极限lim-nxsin3nxdx.n01n2x2得分五.证明题（6分X3+82=34分）1.（6

12、分）1、设f（x）是（，）上的实值连续函数，则对任意常数c,Ex|f（x）c是一一开集.（第12页，共18页）2. (6分)设0,开集GE,使m*(GE),则E是可测集3. (6分)在a,b上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差4. (8分)设函数列fn(x)(n1,2,III)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),证明：fn(x)ae收敛于f(x)o(第13页，共18页)5. (8分)设f(x)在Ea,b上可积，则对任何0,必存在E上的连续函数(x),使|f(x)(x)|dx试卷二(参考答案及评分标准)一、1,C2,C3,B4,C5,A二、1,0,22,c;0;3,4,设

13、f(x)是E上ae有限的可测函数，则对任意0,存在闭子集EE,使得f(x)在E上是连续函数，且m(EE)05,对任意0,0,使对a,b中互不相交的任意有限个开区间n-nai,bi,i1,2,|,n,只要bai，航有|F(bJF(ai)|、1.错误(第14页，共18页)(0)ri记(0,1)中有理数全体R(r1,r2,|)2(rn)rn2,n1,2“(x)x,x为01中无理数,显然是0,1恻(0,1)上的11映射。5分2 .正确2分设Ei为零测度集，0m*JjEi)m*E0,所以，m*(HE)0因此，jEi是零测度集。5分3 .错误2分例如：取E(0,),作函数列：fn(x)1，X(0，nn1,

14、2,1110,x(n,)显然fn(x)1,当xE。但当01时，E|fn1|(n,)且m(n,)这说明fn(x)不测度收敛到1.5分4 .错误2分xcos0x1例如：f(x)x2x,01,显然是0,1的连续函数11一一II111,则容易证明320,x0.如果对0,1取分划T:0-III2n2n1川2nn11|f(xi)f(xi1)|7，从而得到V(f)0i1i1四、1.f(x)在0,1上不是R可积的，因为f(x)仅在x1处连续，即不连续点为正测度集3分因为f(x)是有界可测函数，所以f(x)在0,1上是L可积的.6分(第15页，共18页),1一I111t因为f(x)与xa.e.相等，进一步，f(

15、x)dxxdx一8分0,102nx2设fn(x)2-sin3nxdx，则易知当n时，1nxfn(x)02分一nx又|fn(x)|-4分1 nx但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的6分故有limfn(x)dxlimfn(x)dx08分五、1.xE,f(x)c.1分f(x)在x点连续，对f(x)c0,U(x,工当yU(x,)时，有|f(y)f(x)3分f(x)cf(y)f(x)f(x)cf(y)c,yE5分因此U(x,)E,从而E为开集.6分2.对任何正整数n,由条件存在开集GnE,使*_1八m(GnE)1分n令G0Gn,则G是可测集3分1又因m(GE)m(GnE)一对一切正整数n成立，因而m

16、(GE)0,即nMGE是一零测度集，所以也可测.5分由EG(GE)知，E可测。6分x3、易知g(x)V(f)是a,b上的增函数2分(第16页，共18页)令h(x)g(x)f(x),则对于ax1x2b有h(x2)h(xi)g(x2)g(xi)f(x2)f(x1)x2V(f)f(x2)f(xi)|f(x2)f(xi)|f(x2)f(xi)0xi所以h(x)是a,b上的增函数4分因止匕f(x)g(x)h(x),其中g(x)与h(x)均为a,b上的有限增函数.6分4、因为fn(x)在E上“基本上”一致收敛于f(x),所以对于任意的kZ,存在可测集EkE,fn(x)在Ek上一致收敛于f(x),且_1八m(EEk)3分k令E*|jEk,则fn(x)在E*上处处收敛到f(x)5分m(EE*)m(EeJm(EEk):k=1,2*所以m(EE)08分5、证明：设enE|f|n,由于f(x)在E上a.e