山东烟台2019届高三高考一模试卷理科数学试题

1、2019年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.（5分）已知复数z满足（1i）z=2i（i为虚数单位），则Z=A.B.-1iD.1-i2.（5分）若集合M=x|x>1,N=xZ|0<x<4,则（CrM）Dn=A.0B.0,1C.0,1,2D.2,3,43.（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为（C.A.134.（5分）“ba>0”是A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既

2、不充分也不必要条件5.（5分）在平面直角坐标系xOy中，角日的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（-3,1）,则cos26=（）A.-35B.C.-5D.6. （5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（Ar»z）百Sc100A.8B.16C.32D.64，若BD=BC,3则AD'BD=（）7. （5分）在MBC中，AB=2,AC=3,/BAC=三3C.12二9. (5分)将函数f(x)=sin(6x例)(8>0,4的图象向右平移三个单位长度后，所得图象关于6轴对称，且兀f(-)1-一则当切取最小值时，函数2f（x）的解析式为（A.f(x)=sin(2

3、x)6B.jif(x)=sin(2x-)6C.n、f(x)=sin(4x)6D.10.（5分）设A,B,C,D是同一个球面上四点,jif(x)=sin(4x-)6ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥16C.8. （5分）我国南北朝时期数学家祖的I,提出了著名的祖附I原理：“缘哥势既同，则积不容异也”.“哥”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体“哥势既同”，其中俯视图中的圆弧为积相等.已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足D-ABC体积的最大值为27,则该球的表面积为（A.36二B.64二C.100二D.144二（5分）若

4、函数f（x）=exe、+sin2x,则满足f（2x21）+f（x）A0的x的取值范围为（）A.C.(-修(-B.D.12.2x（5分）已知E、F2分别为双曲线一（一:一1）%二）一1（yu（1,二）=1的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足-1-IMF1MF2=0,若直线MF2与双曲线的另一个交点为N,则AMFiN的面积为（）A.12B-12.2C.24D-24.2、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.13. （5分）已知（ax）（2十x）5的展开式中x3的系数为40,则实数a的值为.3xy-3_014. （5分）已知x,y满足约束条件4xyW0，则z=2x+y的最小值是.x+

5、y-4<015. （5分）在&ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若a=2,asinB=J3bcosA,则ABC周长的最大值为.八一lnx,0：x<2e16. （5分）已知f（x）=，若万程f（x）mx=0有2个不同的实根，则实数m的f（4e-x）,2e：x:4e取值范围是（结果用区间表示）.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17. （12分）已知数列an中，a1=1,an=2an+1（n22,nwN）.（1）记bn=lOg2

6、（小+1）,判断an是否为等差数列，并说明理由；bn（2）在（1）的条件下，设Cn=,求数列Cn的前n项和Tn.an118. （12分）如图，在平面四边形ABCD中，AABC等边三角形，AC_LDC,以AC为折痕将AABC折起，使得平面ABC，平面ACD.（1）设E为BC的中点，求证：AE_L平面BCD;（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为-,求二面角A-BD-C的余弦值.219. （12分）已知F为抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A,B两点.当直线与x轴垂直时，AB=4.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M,

7、抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列，求点P的坐标.20. (12分)2019年2月13日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数X和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N()<J2),其中N近似为样本平均数X，。2近似为样本方差s2.2X

8、(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X|_N(N,。2),令Y=CTa一口则YLIN(0,1),且P(XWa)=P(Y<).a利用直方图得到的正态分布，求P(X工10).(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z之2)(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望.参考数据：后8天竺，0,773419-0.0076,若丫1N(0,1),则P(YW0.75)=0.7734.321. (12分)已知函数f(x)=eX2ax+3a2e、(awR),其中e=2.71828.为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的

9、单调性；(2)当xW(0,)时，eX(x-a)+3a2e"-x2-a2+10>f(x)恒成立，求a的取值范围.(二)选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)d3x=1t在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的1y-3.3t2非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为02近.2-cos21(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；_11(2)设点P(1,_J3),直线l与曲线C相交于两点A,B,求+的值.''、

10、9;|PA|PB23.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=2x1mx+2.(1)当m=1时，求不等式f(x)22的解集；(2)若实数m使得不等式f(x-2)>m在xw-1,曲恒成立，求m的取值范围.2019年山东省烟台市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：1-5:ABDAD6-10:CABCC11、12:BC1.【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.2i2i(1i)【解答】解：由(1i)z=2i,得z=-=-1+i,1-i(1-i)(1i)z=1+i故选：A.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.2.

11、【分析】可求出集合N,然后进行补集、交集的运算即可.【解答】解：N=0,1,2,3,4,CrM=x|xW1；(CrM)C1n=0,1.故选：B.【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算.3 .【分析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n=C；C；=6,取出的两球中至少有1个红球的对1个红球的概率.立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有【解答】解：甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球,现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n=C2c=6,取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式得：八1

12、八1L取出的两球中至少有1个红球的概率为p=12凸=5.故选：D.【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4 .【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.1111【斛答】斛：当b>a>0时，一a一成立，反之当b<0,a>0时，满足一a，abab11但baaa0不成乂,即b>a>0te>的充分不必要条件，故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键.5 .【分析】由任意角的三角函数的定义求得sin日，然后展开二倍角公式求cos2日.【

13、解答】解：角日的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（-3,1）,op10则cos2i-1-2sin21-2()10故选：D.【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题.6 .【分析】根据程序框图进行模拟计算即可.【解答】解：当a=1,b=2时，S=ab=2,Sc100成立，则a=2,b=2,S=ab=2M2=4,S<100成立,则a=2,b=4,S=ab=2w4=8,S<100成立，则a=4,b=8,S=ab=4x8=32,S<100成立，则a=8,b=32,S=ab=8x32=256,S<100不成立，输出b=32,故选：C

14、.【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键.再通过向量八H口，、"人井'B山LEV人#一r,7 .【分析】本题主要是找到两个基底向重aB，AC，然后用两个基底向重表小AD，BD5【解答】解：由题意，画图如下:CD2则：BD：的运算即可得出结果.22-ABAC,3322-BC=(AC-AB)=一33TTTT212TL2TAD=ABBD=AB-AB-AC=-AB-AC.PH1F2r2F2FADBD=(-AB-AC)(-AB-AC)3333ACABACcosBACJT9229故选：A.【点评】本题主要考查基底向量的建立，以及用两个基底向量表示别

15、的向量.本题属基础题.8 .【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与2圆锥体的所得组合体,4结合图中数据计算该组合体的体积即可.1人，【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与1圆锥体的组合体,4如图所示;1111则该组合体的体积为V=_m_m1m1m2+父一nx12M2=321所以对应不规则几何体的体积为136【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题.9 .【分析】由题意利用函数y=Asin(sx+G)的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由f(2)0求出再根据所得图象关于y轴对称求出s,可得f(x)的解析式.【解答】解：将函数f(x)

16、=sin(0x+4)(6>0,4一)的图象向右平移2工个单位长度后，可得6y=sin(ox十中)的图象;68n1冗所得图象关于y轴对称，+e=kn+,62jif（一）=一1 .1一=sin(冗+e)=一sin中，即sin©=，则当®取取小值时,2 2H一A31二一66故选：C.=kn+，取k=T,可得。=4,，函数f(x)的解析式为f(x)=sin(4x+一).36【点评】本题主要考查函数y=Asin(cox+g的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题.10.【分析】由题意画出图形，求出三棱锥D-ABC的外接球的半径，代入表面积公式求解.【解答】解：如图,BABC是

17、斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D-ABC体积取最大值为27,由AB=AC,AB_LAC,BC=6,可得斜边BC上的高AE=3,AB=AC=3V2，,11_.一由Xm372M3&MDE=27,解得DE=9,32AE2则EF=1.DE球O的直径为DE+EF=10,则球O的半径为1x10=5.2，该球的表面积为S=4二52=100二.故选：C.【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.11.【分析】判断函数f(x)为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f(2x2-1)+f(x)>0化为2x21>x,求出解集即可.

18、【解答】解：函数f(x)=exe*+sin2x,定义域为R,且满足f(-x)=e/ex+sin(-2x)=-(exex+sin2x)=-f(x),.f(x)为R上的奇函数；又f'(x)=ex+e"+2cos2x之2+2xcos2x之0恒成立，f(x)为R上的单调增函数；又f(2x2-1)+f(x)>0,得f(2x2-1)-f(x)-f(-x),2,-2x-1-x,即2x2x-10,1斛得x<T或xA2所以x的取值范围是(-00,T)U(1,收).2故选：B.【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题.12.【分析】设|MF=

19、m,|MF2=n,根据双曲线的定义和MF_LMF2,可求出m=6,n=2,再设NFz|=t，则NFi|=4+t根据勾股定理求出t=6即可求出三角形的面积.【解答】解：设MFi=m,MF2=n,22Fi、F2分别为双曲线上一L=i的左、右焦点,46m-n=2a=4,|FiF2|=2c=2V10.-H>MF1MF2=0,MF1_MF2,m2n2=4c2=40,.,、222(m-n);mn-2mn,即2mn=40-16=24,mn=12,解得m=6,n=2,设NF2=t，则NF1=2a+t=4+t,在R3NMF1中可得(4+t)2=(t+2)2+62,解得t=6,MNI=6+2=8,11.AM

20、N的面积S=-MNMF1=一父8父6=24.22故选：C.【点评】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.二、填空题：9一113.314.15.616.(，-)13.【分析】把(2+x)5按照二项式定理展开，可得(a-x)(2+x)5的展开式中x3的系数，再根据(a-x)(2+x)5的展开式中x3的系数为40,求得a的值.【解答】解：:(ax)(2+x)5=(ax)(32+80x+80x2+40x3+10x4+x5)的展开式中x3的系数为40a-80=40,11a3,故答案为：3.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项

21、式系数的性质，属于基础题.14 .【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用Z的几何意义，即可得到结论.3xy-3-0【解答】解：作出x,y满足约束条件x-y<0的对应的平面区域如图：x+y-4<0由z=2x+y得y=-2x+z,由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线的截距最小,此时z最小，由3xy-3=0x-y=0.一33解得A(-,-)44339此时z=一父2+=,444.9故答案为：9.4【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.15 .【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sinAsinB=J3sinBcosA,结

22、合sinB>0,可求tanA=J3,结合范围Aw(0,n),可求a=二,由余弦定理，基本不等式可求4之bc,进而可求b+c<4,即可计算3得解MBC周长的最大值.【解答】解：=a=2,asinB=J3bcosA,由正弦定理可得：sinAsinB=J3sinBcosA,sinB0,1 sinA=/3cosA,可得：tanA=Q,2 A(0,二)，jiA=一,3222_22由余弦定理a=b+c-2bccosA,可得：4=b+cbc至2bcbc=bc,当且仅当b=c时等号成立,2222.由4=b2c2-bc=(bc)2-3bc,可得：(bc)2=43bc三434=16,即b+cW4,当且

23、仅当b=c时等号成立，&ABC周长a+b+c<2+4=6,即其最大值为6.故答案为：6.【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16.【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f(x)mx=0有2个不同的实根等价于y=f(x)的图象与直线y=mx的交点个数为2,由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y=f(x)相切与点P(x0,y0),由1 .,1,f'(x)=,则此切线方程为：ylnx0=一(x%)，又此直线过原点(0,0),则求得x0=e,即切线方xx011程为：y=

24、-x再结合图象可得：实数m的取值范围是m<,得解.可得：y=f(x)在(0,4e)的图象关于直线x=2e对称,f(x)-mx=0有2个不同的实根等价于y=f(x)的图象与直线y=mx的交点个数为2,y=f(x)的图象与直线y=mx的位置关系如图所示,设过原点的直线与y=f(x)相切与点P(x0,y0),q1由f'(x)=一,x.1,则此切线万程为：y-lnx0=(x-x0),x0又此直线过原点(0,0),则求得x0=e,，、-1即切线方程为：y=1x,e由图可知：当y=f（x）的图象与直线y=mx的交点个数为2时，1实数m的取值氾围是m<-,e1故答案为：（-0°

25、,一）.e【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型.三、解答题：17 .【分析】（1）根据题意，由于bn=log2（an+1）,分析可得当n=1时，计算可得b的值，当n22时,分析bn-bn的值，综合即可得答案；（2）由（1）的结论求出bn的通项公式，进而可得Cn=J,由错位相减法分析可得答案.2n【解答】解：（1）根据题意bn=log2（an+1）,当n=1时，有匕=log2（a1十1）=log22=1；,an-1,2an_i2_/当n至2时，bnbn,=log2(an+1)log2(an,+1)=log?-=log2-=

26、log22=1；an1an1所以数列bn是以1为首项、公差为1的等差数列.（2）由（1）的结论，数列bn是以1为首项、公差为1的等差数列，则bn=2+（n1）=n,则an+1=2n,于1101.11nTn=1M+2M(一)2+3M(一)3+.+(n1)M(一)n+nM()n,2222211c1a1c1-Tn=1M()2+2M()3+.+(n-1)x(-)n+nM(一严，22222空1-12/1、n1_d1n-n(-)-1-'2n-2n1，111c1。1c122，口_/I、2_/I、3_/I、n7/I、n力，一可得：-Tn=-(-)(-).(-)-n(-)-2222222所以Tn=2空.

27、2bn的通项公式，属于综合题.再求出AE-LBC,由此能证明AE,L平面【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列18 .【分析】（1）推导出CD_L平面ABC,从而CD_LAE,BCD.(2)由DC_L平面ABC,知/DBC即为BD与平面ABC所成角，从而在直角ADCB中，tan/DBC=%=3,以C为坐标原点，分别以CD，CA所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立空BC2间直角坐标系Cxyz.利用向量法能求出二面角A-BD-C的余弦值.【解答】证明：(1)因为平面ABC_L平面ACD,平面ABCn平面ACD=AC,CDU平面ACD,CD_LAC,所以CD_L平面ABC.又

28、AE仁平面ABC,所以CD_LAE.在等边AABC中，因为E为BC的中点，所以AE_LBC.因为AE_LCD,AE_LBC,CDpBC=C,所以AE_L平面BCD.(2)解：由(1)知DC_L平面ABC,所以/DBC即为BD与平面ABC所成角，DC3于是在直角ADCB中，tan/DBC=DC=3.BC2以C为坐标原点，分别以CD，CA所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设等边AABC的边长为a,则CD=3a,C(0,0,0),A(0,a,0),B(0,a,事,D(3a,0,0),2222AB-(0,-a,-3a),AD=(3a,-a,0),CB-(0,-,

29、-a),CD=(3a,0,0).2222224设平面ABD的一个法向量为m=(x1,y1,Z1),ABm=0-fyia=0则4T，即22,ADm=03-ax1-ay=0令4=1,则y=4,%=23,于是1=(遍，向1).3 34设平面BCD的一个法向量为n=(&,y2,z2),CBn=0则4CDn=0工13nay2T-az2=0，即22ax2=02是n=(0,-J3,1).所以cos：m,n=-2432解得x2=0,令Z2=1,则y2=-a/3,于由题意知二面角A-BD-C为锐角，所以二面角A-BD-C的余弦值为.4B【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中

30、线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.19.【分析】(1)由题意可得AB=2p=4,即可求出抛物线的方程,(2)设直线1r2AB的方程为y=x1,联立yy二4xy=x-1消去x,得y2-4y-4=0,根据韦达定理结合直线【解答】解:PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标(1)因为F(R,0),在抛物线方程y2=2px中，令x=p，可得y=±p.22于是当直线与AB=2p=4,解得p=2.所以抛物线的方程为(2)因为抛物线y2=4x的准线方程为x=1,所以M(-1,-2).设直线AB的方程为y2=4xy消去J=x1x,得y2-4y-4=

31、0.设A(Xi,y1),B(x2,y2),则y十丫2=4,丫伙=-4.yo2Xo1若点P(xo,y0)满足条件,则2kPMkPA+kPB,y0-'yi.y01y2X0-X1x0-x2222代入化简可得2(y。2)y。24因为点P,A,B均在抛物线上，所以比=汉，t=江，x2=.4442y°yiy22No(yiy2)y0y1y2将yi+y2=4,yiy2代入，解得y0±2.将y0=±2代入抛物线方程，可得X0=i.于是点P(i,±2)为满足题意的点.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强.20.【

32、分析】(D直接由平均数公式及方差公式求解；(2)(i)由题知N=9,仃2=78,则XN(9,i.78)，求出仃，结合已知公式求解P(X<i0).(ii)由(i)知P(XAi0)=iP(XWi0)=0.2266，可得Z口B(20,0.2266),由P(Z22)=iP(Z=0)-P(Z=i)求解P(Z之2),再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E(Z).【解答】解：()X=6M0.03+7M0.i+8M0.2+9M0.35+10Mo.i9十11Mo.09+i2M0.04=9，2一一一一一一一一一一一一一s=(6-9)20.03(7-9)20.1(8-9)20.2+(9-9)父2M0.35+(

33、10-9)父2M0.19+(11-9)父2M0.09+(12-9)父2M0.04=1.78；(2)(i)由题知9=9,1=i78,.XUN(9,1.78),仃=7178=2410310-9,P(X<10)=P(Y<)=P(YE0.75)=0.77343(ii)由(i)知P(X>10)=1P(X<10)=0.2266,可得ZUB(20,0.2266),P(Z-2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)=1-0.773420-C200.22660.773419=1-(0.7734200,2266)0,00760.9597.Z的数学期望E(Z)=20x0,2266=4,532.【点

34、评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题.21 .【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)令g(x)=ex(x-a-1)-x2+2ax-a2+10只需在xw(0,收)使gmin(x)>0即可，通过讨论a的范围,求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可.2xx2xX【解答】解：(1)由题意可知，f'(x)=ex_2a_3a2e=e-2.-3a=(e3apea),ee当a=0时，f'(x)=ex>0,此时f(x)在R上单调递增；当a>0时，令f'(x)=0,解

35、得x=ln(3a),当xw(3,ln(3a)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x5ln(3a),")时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当a<0时，令f'(x)=0,解得x=ln(a),当xw(-«,ln(a)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当xw(ln(a),收)时，f'(x)>0,f(x)单调递增;综上，当a=0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，xw(g,ln(3a)时，f(x)单调递减，xW(ln(3a),收)时单调递增；当a<0时，xw(-oo,ln(a)时，f(x)单调递减，xln(-a),)时单调递增.(2)由ex(x-a)+3a2e-x2-a2+10af(x),可得，ex(x-a-1)-x22ax-a2100,x22令g(x)=e(x-a-1)-x2ax-a10,只需在XW(。，+=C)使gmin(x)A0即可,XXXg'(x)=e(x-a-1)e-2x2a=(e-2)(x-a),当aw0时，xa>0,当0<x<ln2时，g'(x)<0,当x>In2时，g'(x)>