偏导数定义及其计算法ppt课件

1、第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数记为记为偏导数偏导数的的处对处对在点在点则称此极限为函数则称此极限为函数存在存在如果极限如果极限取得增量取得增量相应地函数相应地函数时时处取得增量处取得增量在在而而固定在固定在当当内有定义内有定义的某个邻域的某个邻域在点在点设函数设函数定义定义, ),( ),( , ),(),(limlim),(),( , , ),( ),(0000000000000000 xyxyxfzxyxfyxxfxzyxfyxxfzyxxxyyyxyxfzxx ,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyx

2、xxz ).,(00yxfx一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法yyxfyyxfy ),(),(lim00000 的的偏偏导导数数，即即处处对对在在点点同同理理可可定定义义函函数数yyxyxfz ),( ),( 00 ,00yyxxyz ,00yyxxyf ,00yyxxyz ).,(00yxfy记作记作的的偏偏导导数数，记记为为对对数数那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是函函的的偏偏导导数数都都存存在在处处对对内内每每一一点点在在区区域域如如果果函函数数 ),(, ),( ),(xyxfzxyxDyxfz ,xz ,xf ,xz).,(yxfx ),( 的的偏偏导导数数，记记

3、为为在在对对同同理理可可定定义义函函数数yyxfz ,yz ,yf ,xz).,(yxfy偏导数的概念可以推行到二元以上函数偏导数的概念可以推行到二元以上函数 ),( ),( 处处在在如如果果zyxzyxfu ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz2312 21yxyz.7 . )2 , 1( 3 122处处的的偏偏导导数数在在求求例例yxyxz ,8 2213 . 2222的的偏偏导导数数求求例

4、例zyxr 解解 xr类似地，有类似地，有. , rzzrryyr 22222zyxx ;rx 看看作作常常量量，得得和和把把zy222zyxx 证明证明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成原结论成立立zyzxxzyxxxxzy2ln1 ),1,0( 3 求求证证设设例例证明证明 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT . 1 ) ( 4 pTTVVpRRTpV为为常常数数为为已已知知理理想想气气的的状状态态方方程程例例).0, 0(),

5、0, 0( ,),(, yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点阐明：有关偏导数的几点阐明： 2. 求分界点、不延续点处的偏导数要用求分界点、不延续点处的偏导数要用定义讨论；定义讨论；解解 )0 , 0(xf0 ).0 , 0(yf xxx0|0|lim0 拆拆开开；是是一一个个整整体体记记号号，不不能能偏偏导导数数 .1xu 一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 延续，延续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 延续，延续，. . 偏导数存在与延续的关系偏导数存在与延续的关系但函数在该点处并不延续但函数在该点处并不延续. .偏导数存在偏导数存在 延续延续.

6、. 0, 00,),( 222222yxyxyxxyyxf例例如如，函函数数处处，依依定定义义知知在在 )0 , 0( , 0)0 , 0()0 , 0( yxff4. 4. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如下图如下图0 x0y几何意义几何意义: :0 x0y. ),( 00000轴轴的的斜斜率率对对处处的的切切线线曲曲线线在在点点所所截截得得的的就就是是曲曲面面被被平平面面偏偏导导数数xTMMyyyxfxx . ),( 00000轴轴的的斜斜率率对对处处的的切切线线曲曲线线在在点点所所截截得得的的就就是是曲曲面面

7、被被平平面面偏偏导导数数yTMMxxyxfyy ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数. .二、高阶偏导数二、高阶偏导数 ),( 的的二二阶阶偏偏导导数数为为设设yxfz 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx. , 13 5 33222222323xzyzyxzx

8、yzxzxyxyyxz 及及，求求设设例例问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？. 0 ln)( 6222222 yuxuyxx,yu满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程验验证证函函数数例例. ),( 22两两个个混混合合偏偏导导数数相相等等内内这这内内连连续续，那那么么在在该该区区域域在在区区域域及及的的两两个个混混合合偏偏导导数数如如果果函函数数定定理理Dyxzxyzyxfz 解解 22lnyx xu,22yxyyu 22xu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 22222)(2)(yxxxyx ,)(22222yxxy 2222222222)()(yxyxyxxy ,22yxx ),ln(2122yx . , 0 1 7 222222222zyxrzuyuxuru 其其中中满满足足方方程程证证明明函函数数例例证明证明 xu 22xu由函数关